高中数学《二次函数的图像与性质的应用》导学案 北师大版必修1(1).doc

第9课时二次函数的图像与性质的应用1.能熟练地对二次函数解析式配方,研究其定义域、值域、单调性、最值等.2.掌握二次函数的性质,并会对参数进行讨论.3.进一步体会数形结合思想的作用.在上节课我们共同学习了二次函数的解析式以及a决定开口方向和开口大小等性质,对于图像,我们知道了描点法和图像变换法,这节课我们来进一步研究二次函数的图像和性质,结合二次函数的图像,利用数形结合法解有关二次函数的最值问题,是本节知识的重点和难点,也是高考的热点问题.问题1:将二次函数的一般式f(x)=ax2+bx+c配为顶点式:,所以对称轴为,顶点坐标为.问题2:对于二次函数y=ax2+bx+c.当a0时,它的图像开口向上, f(x)在上是单调递减的,在上是单调递增的;当x=-b2a时,函数取得最小值.当a0)在闭区间p,q上的最值可能出现以下三种情况:(1)若-b2a0)在闭区间p,q上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(-b2a);当-b2ap,q时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间p,q上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(p)和f(q)中的较小值.问题4:解决函数应用问题的一般步骤:(1):弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系;(2):将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3):求解数学模型,得到数学结论;(4):将用数学方法得到的结论还原为实际问题.1.已知二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有两个实根x1,x2, 则x1+x2等于().a.0b.3c.6d. 不能确定2.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是().a.323 cm2b.4 cm2c.3 cm2d.2 cm23.设mr,x1,x2是方程x2-2mx+1-m2=0两个实数根,则x12+x22的最小值是.4.某超市为了获取最大利润做了一次试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售,则每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润?并求出最大利润.二次函数的图像与性质将函数y=-13x2-x+1配方,确定其图像对称轴、顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.二次函数在闭区间上的最值已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x-2,0时,求f(x)的最值;(2)当x-2,3)时,求f(x)的最值.二次函数在实际中的应用如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,ab宽20 m,水位上升到警戒线cd时,cd到拱桥顶o的距离仅为1 m,这时水面宽度为10 m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3 m的速度上升,从正常水位开始,持续多少小时到达警戒线?已知二次函数f(x)=-x2+bx+c对于任意x都满足f(1-x)=f(1+x).(1)求实数b的值;(2)比较f(-m2-m-1)与f(14)的大小.已知二次函数f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时,求f(x)的最小值g(t).经市场调查,商品在近100天内,日销售量和价格均为时间t的函数,且日销售量近似的满足关系g(t)=-13t+1093(tn,0t100),在前40天里价格为f(t)=14t+22(tn,0t40);在后60天里价格为f(t)=-12t+52(tn,400)的图像的对称轴为直线x=2,则下列关系:f(-2)=f();f(2)f();f(22)f().f(22)=f(),正确的是.4.已知二次函数y=f(x)的对称轴是x=2,其图像顶点为a,并且与x轴交于b,c两点,b点坐标为(-1,0),三角形abc的面积为18,求f(x) .(2013年辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设h1(x)=maxf(x),g(x),h2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记h1(x)的最小值为a,h2(x)的最大值为b,则a-b=().a.16b.-16c.a2-2a-16d.a2+2a-16考题变式(我来改编):答案第9课时二次函数的图像与性质的应用知识体系梳理问题1:f(x)=a(x+b2a)2+4ac-b24ax=-b2a(-b2a,4ac-b24a)问题2:(-,-b2a-b2a,+)4ac-b24a向下(-,-b2a-b2a,+)4ac-b24a问题3:(1)f(p)f(q)(2)f(-b2a)(3)f(q)f(p)问题4:(1)审题(2)建模(3)求模(4)还原基础学习交流1.cf(3+x)=f(3-x)知其图像的对称轴为x=-b2a=3,又由韦达定理知x1+x2=-ba=6.2.d设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形的面积和为s,则s=34x2+34(4-x)2=32(x-2)2+2323.当x=2时,s取最小值23 m2.故选d.3.1由=(-2m)2-4(1-m2)0,解得m212,又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2(1-m2)=6m2-21.4.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).当且仅当x=12时,y有最大值160元,即售价定为12元时,可获最大利润160元.重点难点探究探究一:【解析】y=-13(x+32)2+74,对称轴x=-32,顶点坐标(-32,74),函数在区间(-,-32上是单调递增的,在区间-32,+)上是单调递减的,函数的最大值为74,没有最小值.图像如图所示:【小结】根据配方后得到的表达式画图,可直接判断出函数的单调性及最值.探究二:【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,开口向上.(1)当x-2,0时,f(x)在-2,0上是单调递减的,故当x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11;当x=0时,f(x)有最小值f(0)=3.(2)当x-2,3)时,f(x)在-2,3)上是先减后增的,故当x=1时,f(x)有最小值f(1)=2.又|-2-1|3-1|,f(x)的最大值为f(-2)=11.【小结】对于“轴定,区间定”的二次函数问题,解答时直接利用二次函数的单调性解题;对于“轴定,区间动”的二次函数问题,解答时可以直接利用图像与二次函数单调性解题;重在用分类讨论的思想分析轴与区间的关系.探究三:【解析】(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2(a0),cd=10 m,cd到拱桥顶o的距离仅为1 m,则c点坐标为(-5,-1),把c点坐标代入y=ax2,解得a=-125,故抛物线的解析式为y=-125x2.(2)ab宽为20 m,设a(-10,b),把a点坐标代入抛物线的解析式y=-125x2中,解得b=-4,f(0,-4),ef=3,水位以每小时0.3 m的速度上升,30.3=10(小时),答:从正常水位开始,持续10小时到达警戒线.【小结】本题把实际问题转化为数学问题,即转化为点的坐标及函数解析式,应该注意点所在的象限,也就是点的坐标的符号.思维拓展应用应用一:(1)由f(1-x)=f(1+x)知二次函数的对称轴为直线x=1,即-b2(-1)=1,解得b=2;(2)-m2-m-1=-(m+12)2-34-3414,又f(x)在(-,1上是增函数,所以f(-m2-m-1)1时,f(x)在t,t+1上单调递增,所以当x=t时,f(x)取得最小值,此时,g(t)=f(t)=t2-2t+3;当t1t+1,即0t1时,f(x)在区间t,t+1上先减后增,故当x=1时,f(x)取得最小值,此时,g(t)=f(1)=2;当t+11,即t1),2(0t1),t2+2(t0).应用三:设前40天内日销售额为s,则s=(14t+22)(-13t+1093)=-112t2+74t+23983,s=-112(t-10.5)2+23983+14716,当t=10或t=11时,smax=808.5809,设后60天内日销售额为p,则p=(-12t+52)(-13t+1093)=16t2-2136t+56683,p=16(t-106.5)2-2524,40-2.由图像可知f(22)f().4.解:二次函数f(x)的对称轴是x=2, 又b点坐标为(-1,0),c点坐标为(5,0),|bc|=6.abc面积为18,即12|bc|m|=18, m=6,即a点坐标为(2,6),f(x)=a(x+1)(x-5),将a点坐标(2,6)代人上述式子,可得a=23,f(x)=23(x+1)(x-5),即f(x)=23(x2-4x-5).全新视角拓展b函数f(x)和g(x)的