高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线课件 文.ppt

第七节抛物线 总纲目录 教材研读 1 抛物线的概念 考点突破 2 抛物线的标准方程和几何性质 考点二抛物线的定义及其应用 考点一抛物线的标准方程及其几何性质 考点三焦点弦问题 考点四直线与抛物线的位置关系 1 抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离 相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 焦点 直线l叫做抛物线的 准线 教材研读 2 抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的几个常用结论设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 af bf 弦长 ab x1 x2 p 为弦ab的倾斜角 3 4 以弦ab为直径的圆与准线相切 1 若点p到点f 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2 则p的轨迹方程为 a y2 8xb y2 8xc x2 8yd x2 8y 答案cp到f 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2 因此p到f 0 2 的距离与它到直线y 2 0的距离相等 故p的轨迹是以f为焦点 y 2为准线的抛物线 所以p的轨迹方程为x2 8y c 2 2015北京海淀一模 抛物线x2 4y的焦点到准线的距离为 a b 1c 2d 4 答案c由抛物线x2 4y得2p 4 p 2 所以焦点到准线的距离为2 c 3 2018北京丰台期末 已知抛物线y2 4x的焦点为f 点a在y轴上 线段af的中点b在抛物线上 则 af a 1b c 3d 6 答案c设点a 0 y0 由抛物线y2 4x知f 1 0 则点b的坐标为 点b在抛物线上 4 2 8 af 3 故选c c 4 2016北京海淀一模 已知点p x0 y0 在抛物线w y2 4x上 且点p到w的准线的距离与点p到x轴的距离相等 则x0的值为 a b 1c d 2 答案b由题意得点p到准线x 1的距离为x0 1 点p到x轴的距离为 y0 y0 x0 1 又 4x0 x0 1 b 5 2015北京海淀二模 以坐标原点为顶点 1 0 为焦点的抛物线的方程为 y2 4x 6 2017北京海淀一模 若抛物线y2 2px的准线经过双曲线x2 1的左焦点 则实数p 4 典例1 1 2017北京朝阳一模 设抛物线y2 8x的焦点为f 准线为l p为抛物线上一点 pa l a为垂足 如果直线af的斜率为 那么 pf a 8b 16c 4d 8 2 2016北京朝阳期末 设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点f 且与y轴交于点a 若 oaf o为坐标原点 的面积为4 则抛物线方程为 a y2 4xb y2 4xc y2 8xd y2 8x 考点一抛物线的标准方程及其几何性质 考点突破 答案 1 a 2 c 解析 1 设p x0 y0 由题意知a 2 y0 pa 2 x0 f 2 0 直线af的斜率为 点f到准线的距离为p 4 af的倾斜角为60 af 8 af 2 2 2 2 64 48 又 8x0 x0 6 pa 2 x0 8 由抛物线定义可知 pf pa 8 故选a 2 当a 0时 f 则l y 2 a s of oa 4 a 8 当a 0时 f 则l y 2 a s of oa 4 a 8 抛物线方程为y2 8x 方法技巧 1 抛物线的标准方程有四种不同的形式 要掌握焦点到准线的距离 顶点到准线 焦点的距离 通径长与标准方程中系数2p的关系 2 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx或x2 my m 0 3 焦点到准线的距离简称为焦准距 抛物线y2 2px p 0 上的点常设为 1 1已知直线l过抛物线c的焦点 且与c的对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 12 p为c的准线上一点 则 abp的面积为 a 18b 24c 36d 48 答案c不妨设抛物线方程为y2 2px p 0 当x 时 y p p 6 又p到直线ab的距离为p s abp 12 6 36 c 1 2若抛物线的焦点为直线3x 4y 12 0与坐标轴的交点 求抛物线的标准方程 解析对于直线方程3x 4y 12 0 令x 0 得y 3 令y 0 得x 4 所以抛物线的焦点坐标为 0 3 或 4 0 当焦点坐标为 0 3 时 设方程为x2 2py p 0 则 3 所以p 6 此时抛物线的标准方程为x2 12y 当焦点坐标为 4 0 时 设方程为y2 2px p 0 则 4 所以p 8 此时抛物线的标准方程为y2 16x 所以所求抛物线的标准方程为x2 12y或y2 16x 典例2 1 2015北京丰台二模 抛物线y2 4x的焦点为f 经过f的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a 与准线l交于点b 且ak l于k 如果 af bf 那么 akf的面积是 a 4b 3c 4d 8 2 2016北京石景山一模 已知抛物线y2 4x的动弦ab的中点的横坐标为2 则 ab 的最大值为 a 4b 6c 8d 12 3 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 考点二抛物线的定义及其应用 解析 1 设准线l与x轴的交点为m 则 mf p 2 因为 af bf 所以 ak 2 mf 2p 由抛物线定义知 af ak 所以 af bf 2p 在rt akb中 kb 2p 所以 kaf 60 所以 akf为等边三角形 因此三角形akf的面积为s 2p 2 p2 4 故选c 答案 1 c 2 b 3 2 2 设a x1 y1 b x2 y2 f为焦点 如图 过点a作ag 准线于g 过点b作bh 准线于h 根据抛物线的定义 得 af ag x1 1 bf bh x2 1 af bf ab x1 1 x2 1 ab x1 x2 2 ab ab中点的横坐标为2 x1 x2 4 ab 6 故 ab 的最大值为6 3 易知l2 x 1是抛物线y2 4x的准线 设抛物线的焦点为f 1 0 则动点p到l2的距离等于 pf 则动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点f到直线l1 4x 3y 6 0的距离 所以最小值是 2 方法指导与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 2 1已知抛物线c y2 x的焦点为f a x0 y0 是c上一点 af x0 则x0 a 1b 2c 4d 8 答案a由y2 x得2p 1 即p 因此焦点f 准线方程为l x 设点a到准线的距离为d 由抛物线的定义可知d af 从而x0 x0 解得x0 1 故选a a 2 2已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 a b 3c d 答案a易知抛物线y2 2x的焦点为f 由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线的距离 因此求点p到点 0 2 的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值 可以转化为求点p到点 0 2 的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点f到点 0 2 的距离 因此所求的最小值等于 选a a 2 3如图 正方形abcd和正方形defg的边长分别为a b a0 经过c f两点 则 1 解析由题意知 od de b dc a ef b 故c f 又抛物线y2 2px p 0 经过c f两点 2 1 0 又 1 1 答案1 2 由p 4 4x2 5px p2 0可简化为x2 5x 4 0 又x1 x2 从而x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而a 1 2 b 4 4 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 又 8x3 即 2 2 1 2 8 4 1 即 2 1 2 4 1 解得 0或 2 方法指导求抛物线焦点弦的三种方法 定义法 ab x1 x2 p 倾斜角法 ab 为ab的倾斜角 斜率法 ab 2p k为ab的斜率 3 1设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 经过点f的直线交抛物线于a b两点 点c在抛物线的准线上 且bc x轴 证明 直线ac经过原点o 典例4已知抛物线y2 2px p 0 过点c 2 0 的直线l交抛物线于a b两点 坐标原点为o 12 1 求抛物线的方程 2 当以 ab 为直径的圆与y轴相切时 求直线l的方程 考点四直线与抛物线的位置关系 由 得 1 m2 16m2 32 4m2 4 2 解得m2 3 即m 所以直线l的方程为x y 2 0或x y 2 0 方法指导 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线相交的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab xa xb p或 ab ya yb p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 4 1 2015北京朝阳二模 已知点a为抛物线c x2 4y上的动点 不含原点 过点a的切线交x轴于点b 设抛物线c的焦点为f 则 abf a 一定是直角b