高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 理.ppt

第三节圆的方程 总纲目录 教材研读 1 圆的定义及方程 考点突破 2 点与圆的位置关系 考点二与圆有关的最值问题 考点一求圆的方程 考点三与圆有关的轨迹问题 教材研读 1 圆的定义及方程 2 点与圆的位置关系点m x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 若m x0 y0 在圆外 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 若m x0 y0 在圆上 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 若m x0 y0 在圆内 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 1 2015北京 2 5分 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 1b x 1 2 y 1 2 1c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2 d 答案d由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选d 2 以线段ab x y 2 0 0 x 2 为直径的圆的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 8d x 1 2 y 1 2 8 b 答案b直径的两端点分别为 0 2 2 0 圆心为 1 1 半径为 故圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 3 圆x2 y2 2x 4y 3 0的圆心到直线x y 1的距离为 a 2b c 1d d 答案d由题意知圆的圆心是 1 2 圆心到直线x y 1的距离为 4 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 则圆c的方程为 x 2 2 y2 10 答案 x 2 2 y2 10 解析易得线段ab的中垂线方程为2x y 4 0 与x轴的交点坐标为 2 0 即为圆心c的坐标 所以半径为 cb 所以圆c的方程为 x 2 2 y2 10 5 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 2 4 半径是5 答案 2 4 5 解析方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则a2 a 2 故a 1或2 当a 2时 方程为4x2 4y2 4x 8y 10 0 即x2 y2 x 2y 0 亦即 y 1 2 不成立 故舍去 当a 1时 方程为x2 y2 4x 8y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 故圆心为 2 4 半径为5 考点一求圆的方程 考点突破 典例1 1 一个圆经过椭圆 1的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 2 经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程为 答案 1 y2 2 x 2 2 y 1 2 10 解析 1 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点a 4 0 b 0 2 c 0 2 易知线段ab的垂直平分线的方程为2x y 3 0 令y 0 得x 所以圆心坐标为 则半径r 4 故该圆的标准方程为 y2 2 解法一 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 易知线段ab的垂直平分线方程为y x 4 设所求圆的圆心为c a b 则 解得 c 2 1 半径r ca 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法二 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 则解得 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 方法技巧常见的求圆的方程的方法 一是利用圆的几何特征 求出圆心坐标和半径长 写出圆的标准方程 二是利用待定系数法 如果给定的条件易求圆心坐标和半径长 那么选用标准方程求解 如果所给条件与圆心 半径关系不密切或涉及圆上多点 那么常选用一般方程求解 1 1已知圆c的圆心在x轴的正半轴上 点m 0 在圆c上 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆c的方程为 x 2 2 y2 9 答案 x 2 2 y2 9 解析设圆c的方程为 x a 2 y2 r2 a 0 由题意可得解得所以圆c的方程为 x 2 2 y2 9 典例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 考点二与圆有关的最值问题 解析 1 原方程化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 为半径的圆 设 k 则y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最值 此时有 解得k 故的最大值为 最小值为 2 设y x b 则y x b 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在过原点与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值 又圆心到原点的距离为2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 方法技巧最值问题的几何转化法 1 形如 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 3 形如m x a 2 y b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 2 1已知圆c x 3 2 y 4 2 1和点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 a 7b 6c 5d 4 答案b若 apb 90 则点p的轨迹是以ab为直径的圆 其方程为x2 y2 m2 由题意知圆c x 3 2 y 4 2 1与圆o x2 y2 m2有公共点 所以 m 1 oc m 1 又易知 oc 5 所以4 m 6 故m的最大值为6 b 典例3已知a 2 0 为圆x2 y2 4上一定点 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 p与a不重合 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 考点三与圆有关的轨迹问题 解析 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为点p在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 x 2 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 方法技巧求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同采用以下方法 1 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程 2 定义法 根据圆的定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找出要求的点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式 从而得出方程 3 1已知定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 点o是坐标原点 以om on为两边作平行四边形monp 求动点p的轨迹 解析 四边形monp为平行四