高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则课件4 北师大版选修22.ppt

简单复合函数的求导法则 创设问题 导入新课 前面我们已经学习了基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则 对于简单函数求导 关键是将函数关系式转化为能够直接利用基本初等函数的导数公式 那么 对于非简单函数 例如 如何求其导数呢 本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法则 理解复合函数的概念 分清复合函数的复合关系 会将一个复合函数分解为两个 或多个 基本函数 掌握复合函数的求导法则 会求简单复合函数的导数 并能解决一些简单的相关问题 学习目标 1 复合函数的概念 问题1 你能给出复合函数的定义吗 解决问题 构建新知 抽象概括 形成概念 一般地 对于两个函数和 给定的一个值 就得到了的值 进而确定了的值 这样可以表示成的函数 那么称这个函数为函数和的复合函数 记作 其中为中间变量 注 对复合函数进行分解时 由外向内 层层分解 例如 函数是由和复合而成的 指数位置看作一个整体 引入中间变量u 2 复合函数的求导法则 问题2 如何求简单复合函数的导数呢 答 由于函数不是基本初等函数 所以不能直接利用基本初等函数的导数公式进行求导 因此得出不成立 讨论结果 易知 故 讨论结果 易知 因此 抽象概括 揭示法则 如果复合函数 是由函数 和 复合而成的 那么复合函数 的导数 和函数 的导数 之间具有如下关系 即 这就是复合函数的求导法则 即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积 对于复合函数的求导法则可以推广到复合关系为两层以上的情形 3 复合函数的求导步骤 问题3 你能总结出简单复合函数的求导步骤吗 第一步 由外向内将复合函数分解成两个 或多个 基本函数 用到中间变量 即 分解 第二步 将分解成的基本函数进行求导 即 求导 第三步 将第二步所得各导数相乘 即 相乘 第四步 将中间变量还原成原来自变量的函数 即 回代 简记为 分解 求导 相乘 回代 典例透析 发展思维 例1指出下列函数的复合关系 分析 将复合函数进行分解时 从外向内 一层一层地分析 把复合函数分解为两个 或多个 基本函数 方法总结 正确分解复合关系 关键在于把哪一部分看作一个整体 合理引入中间变量 由外向内 层层分解 从而知道复合函数是由哪些基本函数复合而成的 例2求下列函数的导数 分析 本例题中的函数都是复合函数 求复合函数的导数时 关键先要分清复合函数的复合关系 再根据复合函数的求导法则进行求导 注意最后一定要 回代 与 方法总结 求复合函数的导数时 关键在于分清复合关系 引入中间变量 明确复合层次 由外向内 将复合函数分解为两个 或多个 基本函数 再对分解成的基本函数进行求导 一定要明确是哪个变量对哪个变量求导 最后根据复合函数的求导法则求导 在熟练掌握复合函数的求导法则后 不必再写出复合函数的分解过程 中间步骤可以省略 直接运用求导法则 由外向内 逐层求导 直到关于自变量求导 例如本例中 2 的解题过程可以写成 分析 解决本题的关键是求曲线的切线的斜率 由导数的几何意义 先求出切线斜率 再根据点斜式方程可写出切线方程 解 所以曲线在点 1 1 处的切线斜率为 故所求切线方程为 即 实践运用 巩固新知 1 求下列函数的导数 瞬时速度 课堂小结 知识整合 1 复合函数的概念 知识要点 数学思想方法