高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22(2).pptVIP

第一章 1 3导数在研究函数中的应用 1 3 2函数的极值与导数 1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一函数的极值点和极值 问题导学新知探究点点落实 答案 思考1观察y f x 的图象 指出其极大值点和极小值点及极值 答极大值点为e g i 极大值为f e f g f i 极小值点为d f h 极小值为f d f f f h 答案 思考2导数为0的点一定是极值点吗 答不一定 如f x x3 尽管f x 3x2 0 得出x 0 但f x 在r上是递增的 不满足在x 0的左 右两侧符号相反 故x 0 不是f x x3的极值点 1 极小值点与极小值若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 而且在点x a附近的左侧 右侧 就把叫做函数y f x 的极小值点 叫做函数y f x 的极小值 0 f x 0 f x 0 点a f a 答案 2 极大值点与极大值若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 而且在点x b附近的左侧 右侧 就把叫做函数y f x 的极大值点 叫做函数y f x 的极大值 3 极大值点 极小值点统称为 极大值 极小值统称为 0 f x 0 f x 0 点b f b 极值点 极值 知识点二函数的极值的求法 答案 思考1极大值一定比极小值大吗 答极大值与极小值之间无确定的大小关系 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 如图所示 f a 为极大值 f d 为极小值 但f a f d 答案 返回 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是 思考2函数的极值与单调性有什么联系 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 答极值点两则单调性必须相反 欲研究函数的极值 需先研究函数的单调性 类型一求函数的极值点和极值 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1求下列函数的极值 并画出函数的草图 1 f x x2 1 3 1 解y 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2 令y 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 当x 0时 y有极小值且y极小值 0 解析答案 函数的草图如图所示 解析答案 反思与感悟 令f x 0 解得x e 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 解析答案 反思与感悟 函数的草图如图所示 反思与感悟 1 讨论函数的性质时 要树立定义域优先的原则 2 求可导函数f x 的极值的步骤如下 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 观察f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个方程根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个方程根处取得极小值 注意 f x 无意义的点也要讨论 可先求出f x 0的根和f x 无意义的点 这些点都称为可疑点 再用定义去判断 反思与感悟 跟踪训练1 1 设三次函数f x 的导函数为f x 函数y x f x 的图象的一部分如图所示 则 解析答案 c f x 极大值为f 3 极小值为f 3 d f x 极大值为f 3 极小值为f 3 解析当x0 即f x 3时 f x 0 f x 的极大值是f 3 f x 的极小值是f 3 d 解析答案 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 答案a 解析令f x x2 4 0 得x 2 类型二已知函数极值求参数 解析答案 例2 1 已知函数f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 则a b 解析 f x 3x2 6ax b 且函数f x 在x 1处有极值0 解析答案 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此时函数f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 时 f x 0 此时f x 为增函数 当x 3 1 时 f x 0 此时f x 为增函数 故f x 在x 1时取得极小值 a 2 b 9 答案29 2 若函数f x x3 x2 ax 1有极值点 则a的取值范围为 反思与感悟 解析f x x2 2x a 由题意 方程x2 2x a 0有两个不同的实数根 所以 4 4a 0 解得a 1 1 解析答案 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式时 应注意以下两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 反思与感悟 跟踪训练2 1 函数f x x3 ax2 bx c的图象如图所示 且与直线y 0在原点处相切 函数的极小值为 4 求a b c的值 解析答案 解 函数图象过原点 c 0 即f x x3 ax2 bx f x 3x2 2ax b 又 函数f x 的图象与直线y 0在原点处相切 f 0 0 解得b 0 f x 3x2 2ax x 3x 2a a 3 b c 0 求函数的递减区间 解由 1 知f x x3 3x2且f x 3x x 2 由f x 0得3x x 2 0 0 x 2 函数f x 的递减区间是 0 2 解析答案 解析答案 当00 当x 1时 f x 0 所以f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以函数f x 在x 1处取得极大值 解析答案 解f x x2 a 1 x a 因为f x 在 0 1 内有极大值和极小值 所以f x 0在 0 1 内有两不等实根 解析答案 例3 1 函数f x x3 4x 4的图象与直线y a恰有三个不同的交点 则实数a的取值范围是 类型三函数极值的综合应用 解析答案 f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解析答案 且f x 在 2 上递增 在 2 2 上递减 在 2 上递增 根据函数单调性 极值情况 它的图象大致如图所示 2 已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解析答案 反思与感悟 解由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 解析答案 反思与感悟 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 反思与感悟 1 解答本例 1 的关键是求出函数f x 的极值 画出函数的图象 解答本题 2 的突破口是把两函数图象的交点问题转化一个新函数的图象与x轴的交点问题 2 利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基本上画出函数的大致图象 从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 反思与感悟 跟踪训练3若2ln x 2 x2 x b 0在区间 1 1 上恰有两个不同的实数根 求实数b的取值范围 解析答案 返回 解析答案 解令g x 2ln x 2 x2 x b g x 与g x 在 2 的变化情况如下表 由上表可知函数在x 0取得极大值 极大值为2ln2 b 返回 故实数b的取值范围是 2ln2 2 2ln3 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 解析答案 达标检测 1 2 3 4 解析f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 c 解析答案 1 2 3 4 2 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 a 12d a6 解析f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 那么 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 d 3 设a r 若函数y ex ax x r有大于零的极值点 则a的取值范围为 1 2 3 4 解析答案 解析y ex a 由y 0得x ln a 由题意知ln a 0 a 1 1 4 直线y a与函数y x3 3x的图象有三个相异的交点 则a的取值范围是 1 2 3 4 解析答案 解析f x 3x2 3 令