数学竞赛初级讲座 柯西不等式.pdf

竞赛园地 数学竞赛初级讲座 柯 西 不 等 式 陕西省永寿县中学 安振平 柯西不等式是一个十分重要的不等式定 理 从近年来国内外各级竞赛中不难看出 许 多涉及不等式的赛题 若能运用柯西不等式进 行求解 便可获得较为简明的解法 一 基础知识 11 柯西 Cauchy 不等式 定理 设a1 a2 an b1 b2 bn均 是实数 则 a 1b1 a2b2 anbn 2 a 12 a22 an2 b 12 b22 bn2 等号当且仅当ai bi 为常数 i 1 2 n 时成立 这个命题的证明在一般的竞赛教程中都 可以查找到 这里从略 21 柯西不等式的推论 推论1 设a1 a2 an b1 b2 bn为 实数 则有 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a 1 b1 2 a 2 b2 2 a n bn 2 当且仅当ai bi 为常数 i 1 2 n 时 等号成立 推论2 设a1 a2 an b1 b2 bn为 实数 则有 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a 1 b1 2 a 2 b2 2 a n bn 2 当且仅当ai bi 为常数 i 1 2 n 时 等号成立 推论3 设a1 a2 an为实数 b1 b2 bn为正实数 则有 a12 b1 a22 b2 an2 bn a 1 a2 an 2 b1 b2 bn 当且仅当ai bi 为常数 i 1 2 n 时 取等号 例1 设a b c d是4个不全为零的实 数 求证 ab 2bc cd a2 b2 c2 d2 2 1 2 导析 为了使用柯西不等式 必要时还可 以应用均值不等式 可从欲证不等式左边的 分子入手 并将其进行适当的变形 ab 2bc cd ab cd bc ad bc ad 2 ab cd 2 bc ad 2 b 2 a2 c 2 d2 2 a 2 c2 b 2 d2 a 2 b2 c 2 d2 2 a 2 c2 b 2 d2 2 a 2 b2 c 2 d2 2 2 1 2 a 2 b2 c2 d2 例2 已知a b c R 求证 a a 2b c b a b 2c c 2a b c 3 4 导析 从欲证不等式的结构看 可考虑应 用推论3 为此 可给左边三项的分子 分母分 别乘以a b c 左 边 a2 a2 2ab ca b2 ab b2 2bc 35中学数学教学参考 2001年第9期 c2 2ca bc c2 a b c 2 a 2 b2 c2 3 ab bc ca 3 a b c 2 3 a b c 2 3 ab bc ca 3 a b c 2 3 a b c 2 a b c 2 3 4 说明 本例的类似是 a 2a b c b a 2b c c a b 2c 3 4 二 综合应用 柯西不等式不仅应用于证明代数不等式 它在实数的大小比较 解方程 确定参数的取 值范围 求最值以及几何不等式的证明等方面 都有着广泛的应用 例3 设a b c d m n都是正实数 P ab cd Q ma nc b m d n 试 确定P与Q的大小 1983年高中联赛题 导析 由柯西不等式 得 P am b m nc d n am nc b m d n Q 例4 解方程 4x 3 21 2x 15 导析 原方程变形为 15 2 2x 3 2 2 1 2 x 2 2 2 22 2x 3 2 2 1 2 x 2 15 其中等号成立的充要条件是 2x 3 2 2 1 2x 2 解得x 1 3 例5 求三个实数x y z 使得它们同时 满足下列方程 2x 3y z 13 4x2 9y2 z2 2x 15y 3z 82 导析 将两方程左右两边分别相加 变形 得 2 x 2 3y 3 2 z 2 2 108 由第1个方程变形 得 2x 3y 3 z 2 18 于是由柯西不等式 得 182 1 2 x 1 3y 3 1 z 2 2 12 12 12 2 x 2 3y 3 2 z 2 2 182 从而由等号成立的条件可得 2x 3y 3 z 2 6 故原方程的解为x 3 y 1 z 4 例6 设 是实数 对任意实数x y z恒 有 x 2 y2 z2 2 x 4 y4 z4 成立 试求 的取值范围 导析 由柯西不等式易求出参数 的取值 范围是 3 说明 本题由1990年全国高中联赛题改 编 例7 已知正数x y z满足x y z xyz 且不等式 1 x y 1 y z 1 z x 恒成 立 求 的取值范围 导析 由2元均值不等式和柯西不等式 得 1 x y 1 y z 1 z x 1 2xy 1 2yz 1 2zx 1 2 1 z x y z 1 x x y z 1 y x y z 1 2 12 12 12 z x y z x x y z y x y z 1 2 3 2 45中学数学教学参考 2001年第9期 故参数 的取值范围是 3 2 例8 求实数x y的值 使得 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2 达到最小值 2001年全国初中联赛题 导析 由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 即 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2 1 6 当且仅当 y 1 1 3 x y 2 2x y 6 1 即x 5 2 y 5 6 时 上式取等号 故所求x 5 2 y 5 6 例9 求函数 f x x 6 12 x 的最大值 导析 由柯西不等式 得 x 6 12 x 2 12 12 x 6 2 12 x 2 12 即 x 6 12 x 23 故当x 6 12 x 即x 9时 函 数 f x 取得最大值23 三 强化训练 11 已知 x 1 y 1 试求x1 y2 y1 x2的最大值 21 已知椭圆 x2 a 1 2 y2 a 1 2 1 a 1 的切线交x轴 y轴的正半轴于M N两 点 试问 MN 会小于2a吗 说明理由 31 已知a b c R 且a b c abc 求证 1 1 ab 1 1 bc 1 1 ca 3 2 41 若正数a b c满足abc 1 求证 1 a3b2 c2 1 b3c2 a2 1 c3a2 b2 32 2 51 在四面体ABCD中 各顶点到对面的 距离分别为d1 d2 d3 d4 四面体内切球半径 为r 求证 d1 d2 d3 d4 16r 61 设a b c为 ABC的三边长 求证 1 2 a b c a2 b c b2 c a c2 a