高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理.ppt

第二节平面向量的基本定理及坐标表示 总纲目录 教材研读 1 平面向量的基本定理 考点突破 2 平面向量的坐标运算 3 平面向量共线的坐标表示 考点二平面向量的坐标运算 考点一平面向量基本定理及其应用 考点三平面向量共线的坐标表示 教材研读 1 平面向量的基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 2 平面向量的坐标运算 1 向量加法 减法 数乘及向量的模设a x1 y1 b x2 y2 b 0 则a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 a 2 向量坐标的求法 i 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 ii 设a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 b 0 则a b x1y2 x2y1 0 1 已知点a 1 3 b 4 1 则与向量同方向的单位向量为 a b c d a 答案a a 1 3 b 4 1 3 4 又 5 与同向的单位向量为 故选a 2 2018北京海淀期中 3 已知向量a 1 0 b 1 1 则 a a bb a bc a b bd a b a d 答案d a b 0 1 又 a b a 0 a b a 故选d 3 在平面直角坐标系xoy中 向量 1 2 2 m 若o a b三点能构成三角形 则 a m 4b m 4c m 1d m r b 答案b因为o a b三点能构成三角形 所以向量与不共线 所以 即m 4 4 设e1 e2是平面内一组基底 若 1e1 2e2 0 则 1 2 0 答案0 解析假设 1 0 由 1e1 2e2 0 得e1 e2 e1与e2共线 这与e1 e2是平面内一组基底矛盾 故 1 0 同理 2 0 1 2 0 5 已知向量a 1 1 点a 3 0 点b是直线y 2x上的一个动点 若 a 则点b的坐标为 3 6 答案 3 6 解析设点b的坐标为 x 2x 则 x 3 2x a x 3 1 2x 1 0 x 3 故点b的坐标为 3 6 6 2017北京朝阳期中 设平面向量a 1 2 b 2 y 若a b 则y 4 解析 a 1 2 b 2 y a b 1 y 2 2 y 4 答案 4 考点一平面向量基本定理及其应用 考点突破 典例1 1 已知e1 e2为平面上的单位向量 e1与e2的起点均为坐标原点o e1与e2的夹角为 平面区域d由所有满足 e1 e2的点p组成 其中那么平面区域d的面积为 a b c d 2 在 abc中 点p是ab上一点 且 q是bc的中点 aq与cp的交点为m 又 t 则实数t的值为 d 答案 1 d 2 解析 1 如图 设 e1 e2 则 e1 e2 当 1时 0 0表示点p在线段ab上 所以 1 0 0表示点p在正三角形oab上或其内部 故平面区域d的面积等于以1为边长的正三角形的面积 即为 2 因为 所以3 2 即2 2 所以2 即p为ab的一个三等分点 靠近a点 又因为a m q三点共线 设 所以 又 t t t t 故解得故t的值是 规律总结 1 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 2 平面上a b c三点共线的充要条件 对于平面内任意一点p 存在唯一的一对实数x y 使 x y 且x y 1 1 1在 abc中 点d在bc边上 且 2 r s 则r s a b c 3d 0 答案d由题意知 又 r s 所以r s 所以r s 0 故选d d 1 2已知m为 abc所在平面内的一点 且 n 若点m在 abc的内部 不含边界 则实数n的取值范围是 解析根据平面向量基本定理可知 当n 1时 m点在直线bc上 又点m在 abc的内部 不含边界 n 0 且n 1 0 n n的取值范围是 答案 典例2 1 如图 在等腰梯形abcd中 ab 8 bc 4 cd 4 点p在线段ad上运动 则 的取值范围是 a 6 4 4 b 4 8 c 4 8 d 6 12 考点二平面向量的坐标运算 c 2 如图 在正方形abcd中 p为dc边上的动点 设向量 则 的最大值为3 解析 1 以ab所在直线为x轴 ab的垂直平分线为y轴 ab的中点为坐标原点建立平面直角坐标系 则a 4 0 b 4 0 c 2 2 d 2 2 由题意可知向量与向量共线 设p p p 4 4 p 2 则 4 p p 4 4 p p 4 4 4 4 p 2 4 8 故选c 2 以a为原点 ab ad所在直线分别为x轴 y轴 建立平面直角坐标系 设正方形的边长为2 则c 2 2 b 2 0 d 0 2 p x 2 x 0 2 2 2 2 2 x 2 答案 1 c 2 3 令f x 0 x 2 f x 在 0 2 上单调递减 f x max f 0 3 即 的最大值为3 方法技巧平面向量坐标运算的技巧 1 利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用 向量相等 则坐标相同 这一结论 由此可列方程 组 进行求解 2 1如图 在6 6的网格中 若起点和终点均在格点的向量a b c满足c xa yb x y r 则 答案 解析以小正方形的边长为长度单位建立如图所示的平面直角坐标系 则有a 1 2 b 2 1 c 3 4 又c xa yb 所以解得所以 2 2如图 在四边形abcd中 bad 90 adc 120 ad dc 2 ab 4 动点m在 bcd内 含边界 运动 设 则 的取值范围是 解析以点a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 由题意知b 4 0 d 0 2 c 3 设m x y 则有 答案 设目标函数z 由于点m在 bcd内 含边界 运动 所以当目标直线经过线段bd上任意一点时 z取最小值1 当目标直线经过点c 3 时 z取最大值 即 的取值范围为 典例3平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 求满足a mb nc的实数m n 2 若 a kc 2b a 求实数k 考点三平面向量共线的坐标表示 解析 1 由题意得 3 2 m 1 2 n 4 1 解得 2 a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 由题意得2 3 4k 5 2 k 0 k 规律总结 1 向量共线的两种表示形式若a b b 0 则 a b x1y2 x2y1 0 a x1 y1 b x2 y2 至于使用哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般涉及坐标时应用 2 与向量共线有关的题型 1 证三点共线 2 已知两向量共线 求相关参数 解决第 1 种问题时 可先证明相关两向量共线 再说明两向量有公共点 解决第 2 种问题时 可先利用向量共线的充要条件列方程 组 再求解 3 1已知向量a 1 0 b 2 1 c x 1 若3a b与c共线 则x的值为 a 1