高考数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 理.ppt

第三节等比数列及其前n项和 总纲目录 教材研读 1 等比数列的有关概念 考点突破 2 等比数列的有关公式 3 等比数列的性质 考点二等比数列的判定与证明 考点一等比数列的基本运算 考点三等比数列的性质及应用 教材研读 1 等比数列的有关概念 1 定义 i 文字语言 从 第2项起 每一项与它的前一项的 比都等于 同一个常数 ii 符号语言 q n n q为非零常数 2 等比中项 如果a g b成等比数列 那么 g叫做a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 g2 ab 2 等比数列的有关公式 1 通项公式 an a1qn 1 2 前n项和公式 sn 3 等比数列的性质 1 通项公式的推广 an am qn m m n n 2 对任意的正整数m n p q 若m n p q 则am an ap aq 特别地 若m n 2p 则am an 3 若公比不为 1的等比数列的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 即 s2n sn 2 sn s3n s2n 4 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0 p是常数 也是等比数列 5 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 k n 公比为qk 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q a b 2c 2d d 答案d由通项公式及已知得a1q 2 a1q4 由 得q3 解得q 故选d 2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 a b c d c 答案c由已知条件及s3 a1 a2 a3得a3 9a1 设数列 an 的公比为q 则q2 9 所以a5 9 a1 q4 81a1 得a1 故选c 3 已知 an 为各项都是正数的等比数列 若a4 a8 4 则a5 a6 a7 a 4b 8c 16d 64 b 答案b a4 a8 4 且an 0 a6 2 a5 a6 a7 23 8 故选b 4 已知等比数列 an 中 a2 2 a3 a4 32 那么a8的值为128 答案128 解析因为a2 2 a3 a4 a2 a5 32 所以a5 16 又因为 a2a8 所以a8 128 5 若等比数列 an 满足a2a6 64 a3a4 32 则公比q 2 答案2 解析 a2a6 64 64 又 a3a4 32 q 2 6 2017北京 10 5分 若等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a4 b4 8 则 1 答案1 解析设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q a1 b1 1 a4 b4 8 a2 2 b2 2 1 考点一等比数列的基本运算 考点突破 典例1 1 2017北京朝阳二模 11 等比数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2 a4 2 则 an 的通项公式为an s9 2 2017北京海淀一模 9 若等比数列 an 满足a2a4 a5 a4 8 则公比q 前n项和sn 答案 1 2 1 n 1 2 2 2 2n 1 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 则a4 a1 q3 即 2 2 q3 所以q 1 故an a1 qn 1 2 1 n 1 s9 2 2 因为a2a4 a5 a4 8 所以解得a1 1 q 2 所以sn 2n 1 方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 数列 an 的前n项和sn na1 当q 1时 数列 an 的前n项和sn 1 1等比数列 an 的前n项和为sn 若sn 2n c 则 a 2n 1b 2n 1 1c 4n 1 d 4n 1 答案c设等比数列 an 的公比为q 则等比数列 an 的前n项和sn qn 又因为sn 2n c 所以解得则数列 为首项为 1 公比为q2 4的等比数列 所以 4n 1 故选c c 1 2已知等比数列 an 的公比为2 若a2 a3 4 则a1 a4 6 答案6 解析 a2 a3 a1 2 a1 22 6a1 4 a1 a1 a4 23 6 1 3若数列 an 满足a1 2 且对任意的m n n 都有am n am an 则a3 8 数列 an 的前10项的和s10 682 答案 8 682 解析已知am n aman 令m 1 得an 1 a1an 2an 所以数列 an 是首项和公比都为 2的等比数列 则a3 2 3 8 s10 682 典例2已知数列 an 的前n项和sn满足4an 3sn 2 其中n n 1 求证 数列 an 为等比数列 2 设bn an 4n 求数列 bn 的前n项和tn 考点二等比数列的判定与证明 解析 1 证明 4an 3sn 2 当n 1时 4a1 3s1 2 所以a1 2 当n 2时 4an 1 3sn 1 2 由 得4an 4an 1 3 sn sn 1 0 所以an 4an 1 由a1 2 得an 0 所以 4 当n 2时 4故 an 是首项为2 公比为4的等比数列 所以bn an 4n 4n 1 4n 则 bn 的前n项和tn 40 4 41 8 4n 1 4n 40 41 4n 1 4 8 4n 2n2 2n 2 由 1 得an 2 4n 1 方法技巧 1 等比数列的识别依据 1 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍然是等比数列 2 an c qn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 an 是等比数列 2 证明等比数列的两种基本方法 1 定义法 证明 q an 0 n n q为非零常数 2 等比中项法 证明 an an 2 an 0 n n 2 1设数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 1 设cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 解析 1 证明 由an sn n 得an 1 sn 1 n 1 n 2 两式相减得2an an 1 1 n 2 即2 an 1 an 1 1 n 2 所以cn cn 1 n 2 又由解得a1 所以c1 a1 1 0 所以数列 cn 是以 为首项 为公比的等比数列 2 由 1 知cn 所以an cn 1 1 所以bn an an 1 n 2 又b1 a1 适合上式 所以bn n n 典例3 1 2017北京东城二模 5 已知等比数列 an 为递增数列 sn是 an 的前n项和 若a1 a5 a2a4 4 则s6 a b c d 2 已知 an 为各项都是正数的等比数列 sn为其前n项和 且s10 10 s30 70 那么s40 a 150b 200c 150或 200d 400或 50 考点三等比数列的性质及应用 答案 1 d 2 a 解析 1 由等比数列的性质得a1a5 a2a4 4 又a1 a5 an 为递增数列 所以a1 a5 8 q 2 s6 故选d 2 依题意 s10 s20 s10 s30 s20 s40 s30成等比数列 因此 s20 s10 2 s10 s30 s20 即 s20 10 2 10 70 s20 故s20 20或s20 30 又s20 0 因此s20 30 s20 s10 20 所以s40 s30 s10 80 s40 s30 s40 s30 70 80 150 方法技巧 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 巧用性质可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质中使结论成立的前提条件 此外 解题时还要注意对设而不求思想的运用 3 1已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 a 5b 7c 6d 4 答案a由题易知a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比数列 所以 a4a5a6 2 a1a2a3 a7a8a9 50 又an 0 a4a5a6 5 故选a a 3 2 2017北京海淀二模 5 已知 an 为无穷等比数列 且公比q 1 记sn为 an 的前n项和 则下面结论正确的是 a a3 a2b a1 a2 0c 是递增数列d sn存在最小值 答