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第四章第四章 介观金属环电流介观金属环电流 第一节第一节 金属环持续电流金属环持续电流 有一个金属环 当L L L 为相驰豫长度 加上一磁场会产生电流 注意 所有的耗散电流一定是在 fermi 面附近的电子参与的 所有的非耗散电流一定是全部电子参与的 1 电磁场下的 电磁场下的 schrodinger 方程方程 2 2 e pA c He m B E 是测量的量 但在 schrodinger 方程中却用另外的形式 1 BA EA c t A 与 有不确定性 但对应的B 与E 却是确定的 满足规范不变性 流守恒方程 定义 应用 iH iH 可以退出0j t 这就是流守恒方程 其中Re jV e pA c V m 前提条件 0pAAp 验证如下 因为电磁波是一种横波 0 ik r AeA 其中代表传播方向 k 0 A 代表极化方向 根据横波的定义 0 kA 横波的传播方向 与极化方向垂直 所以 A pAApi r 0 2 规范不变性 规范不变性 A 具有不确定性 所以 AAr t 具有不确定性 所以 1 r t c t r t 是增加的一个新的矢势 1 r t c t 是增加的一个新的标势 上面的两个 r t 是任意的 完全独立的 因为上一个 r t 是对求导 而下面 的则是对 t 求导 r 我们的目的是看 H 在新的 A 和 下 形式是否改变 我们有 11 AAB AA c tc t E 在新的 A 和 下的 schrodinger 方程为 1 2 e ipA tmc e 与原来的 schrodinger 方程进行比较得 iexc e 虽然多了一个相位 当我们计算 jE 时 它们的值是不改变的 那么这个相位在什么时候重要呢 在金属环中 这个相位不均匀性会带来一个物理结 果 产生电流 3 磁场下金属环的能谱 磁场下金属环的能谱 a B 0 时时 2 2 p H m 因为波函数要满足 rlr 其中 为周长 所以l2k ln 故 222 2 2 222 k En mmR 在柱坐标中 1 z r rzrr 2 2 22 11 22 z HL m rmr z in Ln e b 当 当B 0 时时 AB 我们看一下磁通量 B dSA dS dA 2rA 所以A 2 r 2 1 H 2m e pA c 1 22 ie mrcr 2 2 0 i 2mr 2 其中 0 hc e 称为磁通量子 那么怎样解 schrodinger 方程 HE 边界条件为 2 作变换 0 i e 代入 schrodinger 方程 22 22 2m E r 所以本征值为 2 2 2 2m 1 2 n in En r e 0 1 2 i n e 因为要求满足周期性边界条件 2 所以 0 n 0 1 2 m 故 2 2 2 0 2 2m m Em r 因为是一个连续的量 所以 m E 变成了一个连续的量 而不 是前面的能量去分立值 下面我们画出 E 与 0 的关系图 4 金属环持续流 金属环持续流 I dFSdTVdPdNd c 最后一项 I d c mdH m 是磁矩 表示磁场贮存的能量 所以 F I 即 F Ic 因为这是一个封闭系统的体系 F 就是它的能量 E m I mFmF m EEEE E Icc 一般相邻能级的电流时相反的 所以电流主要取决于 feimi 面 其实还是全带的贡献 只不过下面的带的贡献很小 EE II 持续电流的条件 LL L 为局域化长度 第二节 正常金属环中的第二节 正常金属环中的 AB 效应效应 一 一 AB 效应现象效应现象 电导是磁通的一个周期函数 0 G 1 cos 2 0 为磁通单位 电导图像为 二 理论分析二 理论分析 下面来推导电导公式 相位的变化来自于两个方面 1 2 动力学相位 磁场导致的相位差 上面那一支 下面那一支 1 i e AB k l 2 i e AB k l 两条路径可以相等也可以不相等 实验中 由于环很小 很难移动电极 所以可以假定 k 相等 12 ABA ll B 即上述的两 个动力学相位相等 还有磁场导致的相位改变 A 的方向在上半周与同向 在下半周与dl dl 反向 1A e A dl c 2A e A dl c 所以 从 A 到 B 电子积累的相位差 12AA e c A dl 0 2 e c 其中 0 hc e 前面讲过 B dSA dS dA 由于电导 2 e GT h 那么如何求单电子的 T 呢 2 2 i i Tb LiAi i iA ba e i 1 2 1122 22 LALA ii iAA ba ea e A 2 2 1cos AL a L 是动力学导致的相位差 一般不计 A 0 2 是磁