正弦稳态电路的分析与求解.doc

第六章 正弦稳态电路的分析6.3.1 瞬时功率正弦稳态电路中，、元件上的电压和电流都是同频率的正弦量，是时间的函数，根据功率的定义可知肯定也是时间的函数，所以我们将按计算出的功率称为瞬时功率。现在分别讨论一下、元件上的瞬时功率的特点。设通过、元件的电流为，元件上的、为关联参考方向。1. 电阻元件电阻元件吸收的瞬时功率为可见，说明电阻元件是一直在消耗功率的。在一个周期内的平均值为2. 电感元件电感元件吸收的瞬时功率为可见，是一个随时间的推移正负交替变化的物理量。当时，说明电感在从外电路吸收能量；当时，说明电感将储存的能量返送回外电路。在一周期的平均值可见，电感元件是不消耗功率的，只储存功率的。3. 电容元件电容元件吸收的瞬时功率为可见，也是一个随时间的推移正负交替变化的物理量。在一周期的平均值可见，电容元件也是不消耗功率，只储存功率的。通过上述分析可以看出，、元件上的瞬时功率都是随时间变化的周期量，所以使用瞬时功率的概念来讨论正弦稳态电路的功率就不是很方便。为此，需要定义一些新的概念来反应正弦稳态电路消耗和储存的功率，这就是下面谈到的有功功率和无功功率的概念。6.3.2 有功功率和无功功率如图6-21所示，现在以串联电路为例来讨论这正弦稳态电路的功率问题。设串联支路的电流，则串联支路吸收的瞬时功率为 （6-15）图6-21 RLC串联电路式（6-15）的第一项是电路中电阻消耗的瞬时功率，第二项是电路中动态元件储存的瞬时功率。考虑到将，代入式（6-15）后有 （6-16）结合式（6-16），我们定义如下两种功率。1. 有功功率有功功率的定义为 （6-17）有功功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，所以也称为平均功率。 由于有功功率也是电阻的瞬时功率在一周期内的平均值，所以有功功率反映的是电路实际消耗的功率。的单位为瓦特（），平时说某电器的功率是多少瓦，通常指的就是该电器的有功功率。2. 无功功率无功功率的定义为 （6-18）由式（6-16）可以看出，是式（6-16）第二项即电感和电容储存的瞬时功率的幅值，所以无功功率反映的是电路中所有动态元件所能储存的瞬时功率的最大值。越大，电路储能的能力就越强。的单位为乏（）。有功功率和无功功率的量纲是相同的，但是为了区别两种不同的功率，所以分别使用不同的单位。下面结合上述定义讨论一下单个元件上的有功功率和无功功率的特点，并进一步说明有功功率和无功功率的物理意义。对于电阻元件，由于其，所以，由于无功功率反映的是电路储能能力的强弱，所以正是电阻不储存功率的体现。对于电感元件，由于其，所以， （6-19）称为感性无功功率。正是电感元件不消耗功率的体现。对于电容元件，由于其，所以， （6-20）称为容性无功功率。正是电容元件不消耗功率的体现。比较（6-19）和（6-20）可看出，根据定义计算出的感性无功功率恒为正，容性无功功率恒为负。 图6-22 无源一端口的等效电路对于无源一端口网络，如图6-22所示，设，根据等效变换的知识可知该网络一定可以等效变换为一个阻抗，阻抗的辐角应等于网络的端电压超前端电流的相角，即。所以对于无源一端口网络，该网络吸收的有功功率和无功功率又可以定义为 （6-21）其中为无源一端口网络的端电压超前端电流的相角。3. 有功功率和无功功率的守恒6.3.3 视在功率和功率因数的概念1. 视在功率视在功率的定义为单位为伏安（）。在工程上，通常用视在功率来衡量一个电气设备带负载的能力。例如某一变压器工作时的端电压，能供出的最大视在功率为，则变压器允许通过的最大端电流为。请特别注意，和有功功率和无功功率不同，视在功率是不守恒的。一般来说，即一个网络吸收（供出）的视在功率不等于网络中各元件吸收（供出）的视在功率之和。所以，的值是没有任何物理意义的。对于单个阻抗而言，考虑到，故单个阻抗上的视在功率的计算式可写为2. 功率因数在工程上，还常常用到功率因数的概念。功率因数的定义为：对于任一无源一端口网络，该网络的有功功率和视在功率的比值就称为该网络的功率因数，用表示，即：考虑到及，功率因数的定义也可以写为故（）也称为该无源一端口网络的功率因数角。对于无源一端口网络，其功率因数。对于含源一端口网络，讨论其功率因数是没有意义的。3. 、之间的关系根据、定义，同一网络的、之间存在如下关系：图6-25 功率三角形该关系可以用图6-25所示的功率三角形表示出来。在后面的功率计算中常常会用到上述关系式，故对于上述关系式应熟练掌握。6.3.4 提高电路功率因数的意义和方法1. 提高功率因数的意义平时看到的电器的铭牌上往往只标有有功功率，即该电器是多少的，却没有看到电器上标有无功功率。究其原因，主要是由于用电的目的就是要将电能转换为用户需要的能量形式（热能、光能、机械能等），即需要电器消耗电能，并不需要电器储存电能。但实际当中所使用的电器例如日光灯、洗衣机、空调等多数是感性负载，这些负载在消耗电能的同时也在储存电能，即这些负载同时在从电源中吸收有功功率和无功功率，但其吸收的无功功率又用户是不需要的。下面来分析一下负载吸收的无功功率对于整个电路的影响，从而了解提高功率因数的意义。如图6-27所示，（a）、（b）两图中电源能供出的最大视在功率均为，现在（a）（b）两图中分别接入的白炽灯和日光灯，其中白炽灯可以当成纯电阻性质的负载，而日光灯为感性负载，其功率因数为。现在来分析一下（a）（b）两图中可以各接入相应的负载多少个。 （a） （b）图6-27 白炽灯和日光灯电路设图（a）中可接入个白炽灯。由于接入的负载都是纯电阻负载，所以整个负载端不吸收无功功率，即。整个负载端吸收的视在功率，因为不得超过电源能供出的视在功率，故，即 （6-22）解得，故图（a）中最多还可接入个的白炽灯。设图（b）中可接入个日光灯。由于每个日光灯的功率因数，所以每个日光灯吸收的感性无功功率为。整个负载端吸收的视在功率为由可得 （6-23）解出，故图（b）中最多还可接入个的日光灯。可见，。同为的照明器件，同样的电源，为什么图（b）中能接入的负载少一些呢？比较式（6-22）和式（6-23）很容易看出其原因是因为式（6-23）中多了这一部分。电源所能供出的最大视在功率是一定的，根据可见在负载吸收的无功功率越大（即电源供出的无功功率越多），电源能供出的有功功率就越少。从上面的分析中可以看出，无论是感性无功功率（）还是容性无功功率（），对电路的影响都是不利的。所以应设法在保证有功功率不变的情况下，尽量减小电路中的无功功率的绝对值。理想情况是。根据功率因数的定义可知当不变时，减少电路中，会增大。所以提高电路的功率因数，实际上就是要减小电路中的。理想情况是。2. 提高功率因数的方法怎样才能保证在不变的情况下减小电路中的呢？这就要考虑到电感和电容元件各自的无功功率的特点了。因为感性无功功率恒为正，容性无功功率恒为负，所以可以通过在感性电路中并联电容或在容性电路中并联电感的方法来减小。之所以采用并联的方式，是因为并联不会改变其它负载上的电压，从而保证其它负载的不变。在日常生活中，绝大多数的负载都是感性的，所以整个电路对外也呈现出感性（），故需要通过并联电容的方式来减小。电力变压器二次侧并联的电容及普通家庭中使用的节能器就是根据上述原理来减小电路中的无功功率的。6.3.5 复功率由前述知识可知，正弦稳态电路中的、和之间满足如下关系式， （6-24）考虑到复数亦满足， （6-25）比较式（6-24）和（6-25），可以看出、和之间的关系和复数的代数式和极坐标式之间的关系是相同的。所以定义：以有功功率为实部、为虚部构成的复数就称为复功率，用表示，单位为伏安（）。即复功率并不是正弦稳态电路中定义的一种新的功率，而是一个辅助计算功率的复数。由复功率的定义可以看出，一旦能够计算出某一端口网络吸收（供出）的复功率，就相当于同时计算出了、和这四个量。下面就来讨论一下复功率的计算方法。 根据复功率的定义可知 （6-26）其中为的共轭复数。可见，一旦知道了某一端口网络的端电压相量和端电流相量，就可以根据式（6-26）计算出该一端口网络的复功率，然后根据的定义即可求出该一端口网络的、和这四个量。单个阻抗上的复功率也可以使用下面的方法计算利用复功率进行计算的另一个优点是复功率是守恒的。可以证明（证明从略）即一个网络吸收（供出）的复功率等于各元件吸收（供出）的复功率之和。6.3.6 最大功率传输正弦稳态电路中的最大功率，指的是最大有功功率。在通信和电子电路中，当不计较传输效率时，常常要研究负载获得最大功率的条件。如图6-29（a）所示，为含源一端口网络，为可调阻抗，最大功率传输问题要研究的是当取何值时，其上可获得最大的有功功率。 (a) （b）图6-29 最大功率传输根据戴维南定理，可以等效变换为一个有伴电压源的模型，如图6-29（b）所示。下面结合图6-29（b）来分析这一最大功率传输问题。设，则负载吸收的有功功率为取最大值的条件是解得, 即有为的共轭复数。此时负载上获得的最大功率为上述获得最大功率的条件称为最佳匹配或共轭匹配。6.4 谐振电路6.4.1 谐振的概念如图6-30所示，为一端口无源网络，同时含有电容和电感元件，若端电压和端电流同相，就称网络产生了谐振。图6-30 无源一端口6.4.2 谐振产生的条件图6-30所示的无源一端口网络可以等效为一个阻抗。当产生谐振时，由于端电压和端电流同相，所以必对外表现出电阻的性质，故谐振产生的条件就是要求是一个电阻，即要求。下面以串联电路和并联电路为例来说明使电路产生谐振的方法及谐振电路的特点及其应用。6.4.3 串联谐振电路1. 使电路产生谐振的方法图6-31 RLC串联谐振电路如图6-31所示的串联电路，其等效阻抗为根据谐振产生的条件可知。当串联电路产生谐振时，必有 （6-27）式（6-27）就是串联电路产生谐振的条件。由式（6-27）可知，要使电路产生谐振有两种方法：（1）在、不变的情况下，调节输入信号的角频率以满足式（6-27）；（2）在不变的情况下调节参数、以满足式（6-27）。2. 谐振（角）频率由式（6-27）可知，当调节电源的角频率到时，串联电路就会产生谐振，故就称为该网络的谐振角频率，就称为该网络的谐振频率。可见，谐振角频率只和电路的固有参数有关，并仅和参数、有关，所以（）也称为电路的固有角频率（频率）。3. 串联谐振电路的特点（1）谐振时端电流达到最大。因为端电流可见，在和保持不变的情况下，当电路产生谐振时，此时为最大值。（2）整个网络的无功功率。因为谐振时，根据计算式和可知。（3）电抗（、）上的电压大小相等，方向相反，即。（4）电抗上的电压、可远高于输入电压。谐振时 （6-28）令，则式（6-28）又可写为其中称为串联谐振电路的品质因数。由于调节可使得，所以电抗上的电压可远高于输入端电压。在电子技术中，常利用串联谐振电路的这一特点来实现微弱信号的放大；但是在电力工程中，又要尽量避免这种情况出现，以免电抗上出现很高的电压后危害系统的安全。4. 串联电路的选频特性对于图6-31所示的串联电路，若取电阻上的电压作为输出，如图6-32所示，则图6-32 RLC串联选频电路和有效值的关系为 （6-29）可见，由于电容和电感的阻抗都和输入信号的角频率有关，所以即使保持输入电压不变，仅仅改变其角频率也可以改变输出信号。由式（6-29）可得作出的值随变化的情况如图6-33所示。图6-33 RLC串联电路的选频特性从图6-33中可以看出，当输入信号的角频率等于电路的谐振角频率，即时，这说明串联电路对频率等于电路谐振频率的输入信号是没有衰减的；当时，可见，这说明串联电路对于频率不等于电路谐振频率的信号均有不同程度的衰减，且输入信号的角频率偏离越大，电路对输入信号的衰减就越大，或者说电路对输入信号的“抑制”程度就越强。鉴于串联电路的这一特点，当有多个频率不同的正弦信号同时加在该网络的输入端（图6-32的端口）时，串联电路会使的正弦信号顺利通过网络输出并同时抑制所有的正弦信号。若串联电路可以将的正弦信号的幅值衰减到忽略不计的程度，就可以认为在输出端（图6-32的端口）就只有的信号了，就像是串联电路从一组频率不同的正弦信号中选择了的正弦信号，使其能通过该串联网络，故串联电路的这一特性就被形象的称为“选频”特性。通过调节电路中各元件的参数可以改变该网络的谐振角频率，从而就可以选出频率满足要求的正弦信号。当串联电路作为选频电路使用时，最理想的情况是该网络能够将的正弦信号的幅值都衰减到0，其选频特性曲线如图6-33的曲线4所示。但在实际当时，这种情况只能是无限逼近，但不可能达到的。通过图6-33中的曲线1、2、3可见，电路的品质因数越大，选频特性曲线就越尖锐，电路对的信号的抑制就越强。所以，为使串联电路有良好的选