变系数线性常微分方程的求解.doc

变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘 要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation.Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.I前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法。因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论之中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。 第一部分 二阶线性微分方程的解法探究1、 幂级数解法一般微分方程的幂级数解法二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题可归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能用之前的代数方法去求解。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解，下面先以两个例子来探讨一下。例1.1.1 求方程的满足初值条件及的解。【2】解 设(1.1) 为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到，因而 将的表达式代入原方程，合并的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得 对一切正整数成立。将的值代回（1.1）就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。在上例中方程显然满足定理的条件，系数和可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程却未必，例如阶贝塞尔方程 (1.2) 这里为非负常数,不一定是正整数。在此阶贝塞尔方程例1.1.2 求解阶贝塞尔方程（1.2）。【2】解 将方程改写成 易见，按展成的幂级数收敛区间为从而方程有形如 (1.3) 的解，这里而和是待定常数。将（1.3）代入（1.2）中，得 把同次幂项归在一起，上式变为 令各项的系数等于零，得一系列的代数方程(1.4) 因为故从（1.4）的第一个方程解得的两个值和先考虑时方程（1.2）的一个特解。这时我们总可以从（1.4）中逐个地确定所有的系数把代入（1.4），得到或按下标为奇数或偶数，我们分别有 从而求得 一般地 将各代入（1.3）得到方程（1.2）的一个解(1.5) 既然是求（1.2）的特解，我们不妨令而（1.5）变为 注意到函数的性质，即有 是由贝塞尔方程（1.2）定义的特殊函数，称为阶贝塞尔函数。因此，对于阶贝塞尔方程，它总有一个特解。为了求得另一个与线性无关的特解，我们自然想到，求时方程（1.2）的形如的解，我们注意到只要不为非负整数，像以上对于时的求解过程一样，我们总可以求得使之满足（1.4）中的一系列方程，因而(1.6)是（1.2）的一个特解。此时，若令则（1.6）变为 称为阶贝塞尔函数。利用达朗贝尔判别法不难验证级数（1.5）和（1.6）对于任何值（在（1.6）中）都是收敛的，因此，当不为非负整数时，和都是方程（1.2）的解，而且是线性无关的，因为它们可展开为的不同次幂的级数，从而它们的比不可能是常数。于是方程（1.2）的通解可写为 这里是任意常数。其它类型的特殊函数解法【1】幂级数在特殊函数的解法上也有很多的应用，比如勒让德方程的求解.我们在这里着重讨论勒让德方程的求解，通过此方程的求解展现特殊函数法的特点。勒让德方程的求解在的领域求解阶勒让德方程 解 令，则 代入勒让德方程，并比较的系数， 因为为0的领域内的任意点，上式恒成立，则的系数恒为0，得展开系数的递推公式：特别地，若给定和（初始条件），则利用递推公式，则可得各阶系数：因此方程的通解为：其中，收敛半径为.收敛区域为.这样我们就初步了解了二阶线性微分方程的幂级数解法。其实幂级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程，也能求其特解或通解，特别是通过幂级数解法求解某些特殊方程而产生出某些特殊函数形式的解，例如，求解贝塞尔方程产生出贝塞尔函数；求解勒让德方程（为常数）而产生勒让德多项式等，它们都在现代物理中有非常重要的地位，这更体现了幂级数解法的重要意义和应用价值。下面我们再介绍一下降阶法。2、 降阶法这里只讨论两类特殊可降阶方程的降阶问题不显含未知量情形【2】方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含即方程呈如下形式(1.7)若令则方程即降为关于的阶方程 (1.8)如果能够求得方程（1.8）的通解即 再经过次积分得到 其中为任意常数。可以验证，这就是方程（1.7）的通解。特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换便把方程化为一阶方程。例1.2.1 求方程的解。【2】解 令则方程化为 这是一阶方程，积分后得即于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。不显含自变量不显含自变量的方程,(1.9)这里指出，若令并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。事实上，在所作的假定下，采用数学归纳法不难证明，可用表出将这些表达式代入（1.4）就得到 这是关于的阶方程，比原方程（1.4）低一阶。例1.2.2 求解方程解 令直接计算可得于是原方程化为得到或，积分后得即所以这就是原方程的通解。第二部分 两类高阶微分方程的解法1、 方程方程 (2.1)的特点是，最低阶导数是，这时令(2.2)方程就化成(2.3)如果这个方程能够求出通解再将积分次就可以求出原方程的解了.例2.1.1 悬链线方程4有一根完全柔软的质量均匀的线，悬挂在两点，在重力作用下处于平衡状态，试求这曲线的方程式.解 这个问题是历史上的一个名题，最初是在1690年由雅各布伯努利提出来的，伽利略等人曾猜想这条曲线是抛物线，但后来发现不对，最后是由约翰伯努利解出来的.莱布尼茨把它定名为悬链线.它在工程上有着重要应用，下面我们来求它的方程. 设为悬链线单位长度上所受重力，以表示曲线在处的张力，在曲线上任取一小段,设的横坐标为由平衡条件在水平方向有其中为曲线的切线与轴的夹角.因为所以略去高阶无穷小量，得在悬链线上任意一点，其水平张力为常数，即再看在垂直方向上的平衡条件，得其中是弧的弧长.因为所以上式可以写成由导数的几何意义及弧长的公式，上式可以写成略去高阶无穷小量，得到方程这就是悬链线的微分方程.令上式化成分离变量，得积分之，得为积分常数,或于是有再积分一次，得(2.4)为积分常数. 设悬链线最低点的横坐标为纵坐标为则有初始条件(2.5)带入到的表达式中,得到于是悬链线满足初始条件的方程是悬链线在高压线的架设中常常用到.设两个等高铁塔间的距离为垂度为试求导线中的水平张力建立坐标系，则导线方程为(2.6)因为所以有或 令则上式成为这是一个超越方程，设其近似解为则有还要指出一点，在悬链线方程中，如果很小，则有于是悬链线的方程近似为(2.7)因此悬链线在其顶点附近近似于一条抛物线，在工程中就近似用抛物线来代替悬链线.2、 方程【3】方程(2.8)的特点是不显含自变量这时可以利用变换将方程降一阶.以二阶微分方程(2.9)为例，令则(2.10)代入原方程，就有(2.11)这是关于新未知量的一个一阶方程,如果可以求出它的通解为则有这是关于变量的可分离变量方程，由此可求出原方程的通解.例3.2.1 求解下列初值问题解 这是不显含的方程.令则代入到原方程,得到因为有所以可以设于是方程变成这是一个一阶线性方程，可以求出其解为由初始条件及可得从而再积分,得由初始条件得所以原问题的解是例3.2.2 设地球的质量为,万有引力常数为地球半径为今有一个质量为的火箭，由地面以初速度垂直向上发射，试求火箭高度与时间的关系.解 以地心为原点,竖直向上的轴为轴建立坐标系,则火箭所受的地心引力为由牛顿第二定律,有关系式于是得到方程令则有于是原方程化为积分后得将初始条件代入得于是有或再积分后,得以初始条件代入，得所以高度与时间的关系是由此可以解出第三部分 总结本文通过对有关变系数二阶线性微分方程的研究，总体上阐述了变系数线性常微分方程的原理，介绍了二阶以及高阶变系数线性常微分方程的几种解法，本文通过探讨几类变系数线性微分方程的求解问题，简单介绍了二阶线性微分方程的幂级数解法以及降阶法，并研究了几种特殊函数的详细解法，如阶贝塞尔方程，勒让德方程的求解。除此之外，本文还介绍了两种高阶微分方程的解法，这其中涉及了历史名题：悬链线问题。总体上来说，本文仅仅研究了简单的几种解法，对二阶变系数线性微分方程的特、通解与系数的关系展开了理论与方法上的研究。现实中，变系数线性微分方程的问题还有很多，实际应用非常广泛，研究往往根据具体问题作具体分析。参考文献1 王竹溪，郭敦仁特殊函数概论M科学出版社，19652 王高雄，周之铭，朱思铭常微分方程M北京：高等教育出版社，20013 葛渭高，李翠哲,王宏洲.常微分方程与边值问题M科学出版社.4 林武忠，倪明康.常微分方程M.北京：高等教育出版.5 李