高考数学大一轮复习 第六章 数列 第36讲 数列的求和课件 理.ppt

第36讲数列的求和 考试要求1 等差 等比数列的前n项和公式 c级要求 2 非等差数列 非等比数列求和的几种常见方法 b级要求 诊断自测 解析设等比数列 an 的公比为q a2 a4 a3成等差数列 2a4 a2 a3 2a2q2 a2 a2q 化为2q2 q 1 0 q 1 答案2017 3 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和s100 解析s100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 答案 200 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和sn 答案2n 1 2 n2 1 等差数列的前n项和公式 知识梳理 2 等比数列的前n项和公式 3 一些常见数列的前n项和公式 n2 n n 1 4 数列求和的常用方法 1 公式法等差 等比数列或可化为等差 等比数列的可直接使用公式求和 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 考点一分组求和法 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 2an 1 nan 求数列 bn 的前2n项和 解 1 当n 1时 a1 s1 1 a1也满足an n 故数列 an 的通项公式为an n 2 由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前2n项和为t2n 则t2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记a 21 22 22n b 1 2 3 4 2n b 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前2n项和t2n a b 22n 1 n 2 训练1 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 解sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 考点二错位相减法求和 例2 2017 天津卷 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减得 3tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 规律方法错位相减法求和时的注意点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 训练2 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 考点三裂项相消法求和 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以sn 0 sn n2 n 于是a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 综上 数列 an 的通项an 2n 考点四并项求和法 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 1 nanan 1 求数列 bn 的前2n项的和t2n 即a1 1或a1 2 因为a1 0 所以a1 2 两式相减得 an an 1 an an 1 1 0 又因为an 0 所以an an 1 0 所以an an 1 1 所以an n 1 2 t2n a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a5a6 a2n 2a2n 1 a2n 1a2n a2na2n 1 2 a2 a4 a2n 又因为a2 a4 a2n是首项为3 公差为2的等差数列 故t2n 2n2 4n 规律方法 1 当出现an与sn的关系式时 递推作差是消去sn的常用方法 本质还是利用an sn sn 1消去sn 2 当遇到关于an与an 1的二次多项式时 常用方法是因式分解 从而达到降次的目的 3 江苏高考主要还是考查等差 等比数列 遇到非等