第十届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案.pdf

数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期 第十届北京高中数学知识应用竞赛 初赛试题及参考答案 一 满分2 0 分 1 一个物件的三视图如图1 画出 它的具有最小体积的直观图 2 一个物件的三视图如图2 长度单位是 m 画出 具有最小体积的直观图 并计算这个体积 2 右图所示的物件 它的 三视图为题目 所示 三视图 图 2 所对应的物件不唯一 右图 是其中的一个 也是体积最小 的一个 它由9 个小立方体组 成 体积为9 C m 3 解 1 三视图 图1 所对应的物件不唯一 下图是其中的一个 也是体积最小的一个 1 0 分 2 0 分 二 满分2 0 分 已 知肝癌在人群中的发病率为 0 0 4 人们发现甲胎蛋白 有如下特性 对患肝癌的 人们 用甲胎蛋白 检验时 9 5 的人是 即呈阳 性 对不患肝癌的人用甲胎蛋白检验时 9 0 的人 是 一 即呈阴性 当用甲胎蛋白来检验肝癌时 设 人口的总数为 N 此时患肝癌的人数约为0 0 0 0 4 N 其中化验呈 的 人数约为0 9 5 x 0 0 0 0 4 N 不患肝癌的人数 约为 1 一0 0 0 0 4 N 其中化验呈 的人数约为 1 一 0 9 0 1 一 0 0 0 0 4 N 人群中化验为 的总数约 0 9 5 x 0 0 0 0 4 N 1 一 0 9 0 1 一 0 0 0 0 4 N 其中肝癌患者约0 9 5 x 0 0 0 0 4 N 5 通过指导学生撰写数学小论文 章节或单元小 结 专题研究等来培养学生的研究意识和解题 反思能力 学习完每一章或每一单元 给学生留有适当的 拓展延伸的空间和时间 要求学生对此小结研究 可以是学习心得体会 也可以是对某一问题或题型 的探究 也可以是分析总结自己作业中解题出错的 原因等 温故而知新 通过回顾整理自己的学习 过程 使自己的认知结构系统化 条理化 激发学生 对数学学习的兴趣 帮助学生养成良好的学习习 惯 形成积极探索的态度 勤奋好学 勇于克服困难 和不断进取的学风 参考文做 戴再平 数学习题理论 上海 上海教育出 版社 1 9 9 6 1 0 美 c 波利亚 怎样解题 北京 科学出 版社 1 9 8 2 中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准 实 验 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报 因此 对一个化验为 的人来说 他患肝癌 的可能性是 0 9 5 x 0 0 0 0 4 N 0 9 5 x 0 0 0 0 4 N 1 一 0 9 0 x 1 一0 0 0 0 4 N 0 0 0 3 8 不足千分之四 即可能性非常小 请回答以下问题 1 上述的分析和计算是否有错误 如果有错 误 请具体指明 2 如果你认为上述的分析和计算没有错误 请说明 为什么用甲胎蛋白诊断肝癌 其效果如此 之差 解上述的分析和计算没有错误 5 分 用 使肝癌病人 9 5 呈 使非肝癌的人 9 0 呈 一 的甲胎蛋白 诊断肝癌 其效果差的原 因是 不患肝癌的病人在总人口占的比例极大 9 9 9 6 尽管其中有9 0 呈 一 但仍有 1 0 呈 这1 0 的人 数量远比患肝癌的人数要多得 多 从而造成上述结果 因此 只看这一个指标是无 法诊断肝癌的 医学上要用别的办法或观察多个指 标 2 0 分 三 满分2 0 分 2 0 0 6 年8 月1 9日 央行宣布存 贷款基准利率双双上调 调整后的存款利率见表 1 加息后的两日内 到各银行办理转存业务的市 民明显增多 表1 人民币存款利息调整表 2 0 0 6 年8 月1 9 日 起 存可多获利 解如果做三年期定期存款 利息从原来的 3 2 4 上升至3 6 9 那么1 0 0 0 元的税后利息也 会从7 7 7 6 元上升至8 8 5 6 元 多出1 0 8 元 根据储蓄条例规定 支取未到期的定期存款 存期无论长短银行只能按每年0 7 2 的活期利率 付息 这意味着办理转存也需要付出一定的成本 而此成本的高低则取决于存款存人时间的长短 为了方便 我们设储户的存款日 期为距2 0 0 6 年 8 月1 9 日 前a 天 三年期的比 较获利的日 期为0 9 年 8 月1 9日 5 分 如果2 0 0 6 年8 月1 9 日 不转存 距2 0 0 9 年8 月1 9 日 前 a 天 三年定期到期日 本息转存新三年期定 期 这样 按定期三年的每天平均收益为3 年收益的 1 1 0 9 5 计算 在2 0 0 9 年8 月1 9日 那一天 可以 得到 的税后利息收益为 1 0 0 0 0 3 x 3 2 4 1 0 7 7 7 6 x 1 0 9 5 x 3 x 3 6 9 x 8 0 1 2 分 如果2 0 0 6 年8 月1 9 日 本息转存三年期定期 这 样在2 0 0 9 年8 月1 9 日 那一天 可以得到的税后利息 收益为 鑫x 0 7 2 x 8 0 3 x 3 6 9 8 0 一1 0 0 0 0 项目调整前年利率 调整后年利率 活期 0 7 20 7 2 霸 篡 整 取 三个月 1 7 11 8 0 六个月2 0 7 2 2 5 一年2 2 52 5 2 二年2 7 0 3 0 6 三年3 2 43 6 9 五年3 印 4 1 4 令 1 0 0 0 0 3 3 6 9 8 0 蛋1 0 0 0 0 1 8 0 一 1 0 0 0 0 x 3 2 4 1 m7 7 6 x 1 0 9 5 x 3 x 轰 x 0 7 2 x 8 0 1 3 x 3 x jc o 倒腾 存折有必要吗 定期存款利息是按照存 人当天利率计算的 提前支取一律按照活期计算利 率 对存款人所获的利息 国家有2 0 的利息税 显 然 原有定期存款快到期了 转存当然不合适 如果 央行加息前刚刚存人一笔款 转存一下是合适的 如果一个人对自己的钱长期以 整存整取 三 年期的方式存款 请你具体算一算 怎样情况下转 即7 7 7 6 0 8 7 1 6 5 7 a 8 8 5 6 0 1 7 1 7 7 5 a 解得a 1 5 4 5 天 这个结果说明 如果在8 月1 9日 的前1 5 4 天 3 月1 8 日 之内存过一笔钱 则在8 月1 9 日 转存新三 年期的收益 实际高于到期再转存的收益 故有必 要做转存 而3 月1 8日 之前的情况则相反 应当不 做转存 2 0 分 同理可以算出 如果一个人对自己的钱长期以 整存整取 一年期的方式存款 或长期以 整存整 取 五年期的方式存款 转存收益高于不转存的分 界日 期分别是2 0 0 6 年6 月2 6日 8 月1 9日的前5 4 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期 天 和2 0 0 5 年 1 2 月9日 8 月1 9日的前2 5 3 天 四 满分2 0 分 在经济学中 供给与需求是一 对矛盾 考虑某种商品 的一个市场 没有外界干 预 只有供需双方 供应 量和需求量与价格的相 依关系可以通过坐标系 中的图象来表述 习惯上 元 请在一个坐标系中画出补贴前后的供应曲线和 需求曲线 补贴下供需双方受益情况是怎样的 3 如果政府通过税收干预市场 请讨论与其 相适应的供需关系曲线的变化 以及供应方与需求 方在政府干预下的收益 支出情况 解 1 淡水鱼问题的供求关系曲线可以如下 表示 因为政府补贴 买鱼的人们减少的支出量是区 以纵轴 格 横轴 t 表示商品的价域睡 魏的 面 积 表示商品的量 供应量和需求量与价格的面积 价格 1 6 1 2 8 4 卖 鱼 方 增 加的 收 益 量 是区 域婆 戮 的 6 分 关系曲线就可以在同一个坐标系中表示出来 典型 的供应曲线是一条上升的曲线 需求曲线是一条下 降的曲 线 如果供应曲 线用尸表示 需求曲 线用P 表示 一升一降的两条曲线通常有一个交点 这个 交点被称作均衡点 如上图中点 E 这时的商品价 格是 t 商品交易量是 书 如果政府干预市场 比如给生产者以补贴 一 个单位的商品量补贴为a 元 那么供应曲线将向下 平移 平移长度为a 则出现新的平衡点 F 这时的 商品价格是t o 商品 交易量是 显然 商品的总交 易 额 是 区 域巴 到的 面 积 尽 管 政 府 将 补 贴 给 了 供 应 方 但是 供需双方同时从政府提供的补贴中受益 因 为 政 府 补 贴 需 求 方 减 少的 支出 量 是区 域瞬 参 的 面 积 供 应 方 增 加 的 收 益 量 是 区 域舞 I 的 面 积 回答下面问题 1 1 9 9 5 年全国高考试题中有一道应用问题 问题的情景是 某地为促进淡水鱼养殖业的发展 将价格控制在适当的范围内 决定对淡水鱼养殖提 供政府补贴 设淡水鱼的市场价格为x 元 千克 政 府补贴为t 元 千克 根据市场调查 当8 0 P二 5 0 0 4 0 一 一 8 2 8 二 g 1 4 当尸 P 时的 市场价格称为市场平衡价格 请在一个坐标系下画出这个问题的供需曲线 供应曲线包括t 0 和t 二a 0 两种情况 仿照 上面第二段 描述出这个问题中供需双方在政府补 贴下的受益情况 2 如果政府干预市场的方式为给需求方补 贴 即需求方每消费一个单位的商品量 政府补贴a P 1 0 0 0 x 8 尸 1 0 0 0 x 8 2 如果政府干预 市场 给需求方以补贴 一个单位的商品量补贴 为a 元 那么需求曲线将 向上平移 平移长度为 则出现新的平衡点 这时的 商品 价格是t o 商 品交易量是 显然 商 s 凡s 品的总交易额中除去政府补贴 需求方总支出额是 区 域睡 习 的 面 积 供 需 双 方 均 从 政 府 提 供的 补 贴中 受益 因为政府补贴 需求方减少的支出量是区域 瞬 的 面 积 供 应 方 增 加的 收 益 量 是 区 域婆 费 的 面 积 1 2 分 3 政府对市场的税收干预方式 如果政府向 供应方收税 一个单位的商品量税收为 b 元 则供 应曲线将向上平移 平移长度为 b 下左图 如果政 府向需求方收税 一个单位的商品量税收为 b 元 则需求曲线将向下平移 平移长度为 b 下右图 供 应 方 减 少了 收 益 减少 量是区 域舞勇 的 面 积 需求 方 增 加 了 支 出 增 加 量 是 区 域睡 瑙 的 面 积 2 0 分 凡 s s 五 满分2 0 分 表2 的数据记录了在某个航线 2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报 上的一架飞机 时刻 t 时飞行的水平速度 千米 小时 请回答下列问题 1 绘制出这架飞机在不同的时刻飞行速度的 变化图 2 根据飞行速度的变化图描述这架飞机在整 个航程中航行的状态 3 估算这次航行的里程 表 2 的前2 6 分钟的时间内飞机的速度是逐渐增加的 即 从9 3 0 起飞到大约9 5 6 分时速度增加到9 1 6 千米 小时 这段时间水平速度的变化可以近似看成为匀 加速的 飞机飞行的最后的5 6 分钟内飞机飞行的速度 是逐渐减小的 从1 4 2 4 分时的速度9 3 1 千米 小时 减小到1 5 2 0 飞行着陆 这段时间飞机飞行的水平 速度的变化可以近似地看成是匀减速的 在其余时间 即3 5 0 一 2 6 一 5 6 2 6 8 分钟的时间 内飞机飞行的速度基本上是在 8 0 0 千米 小时 9 0 千米 小时之间 这时可以近似地认为大约是以 8 7 0 千米 小时的速度匀速向前飞行的 1 2 分 3 方法1 飞行的里程大约是 1 2 6 2 6 8 1 5 6 言x 8 9 5 x 筋 8 7 0 x 蓄 言x 9 3 1 x 筋 4 5 1 4 千米 2 0 分 方法2 根据速度图 在9 5 5一1 4 2 4 这段时 间内飞机的速度是变化的 可以认为在 9 5 5 1 0 5 7 这6 1 分钟飞机作匀减速飞行 速度达到7 9 2 千 米 小时 再作匀加速飞行4 9 分钟于1 1 4 6 速度达 到9 4 0 千米 小时 然后又匀减速8 6 分钟于1 3 1 2 速 度达到8 4 6 千米 小时 再匀加速飞行7 2 分钟到1 4 2 4 速度达到9 3 1 千米 小时 最后匀减速飞行到着 陆 飞行的距离也可近似计算为 49 印 8 9 5 7 9 27 9 2 9 4 0 61 印 一 二 一X 一 二一 一一 X 26一印 X 9 2 00一 9 4 0 8 4 6 8 6 2 x 面 千米 8 4 6 9 3 1 二 一一一 X 爵臀x 器 4 5 3 9 2 0 分 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 由于在近似计算时采用的方法不同 不同 撇叫洲词咧洲溯碘注 9 3 09 3 59 3 79 3 89 3 99 4 0 9 4 19 4 39 4 6 9 4 89 4 9 9 5 0 v03 2 9 3 3 1 4 6 5 4 7 2 5 0 3 5 9 0 6 8 8 7 2 9 7 4 47 7 47 8 3 t9 5 19 5 29 5 39 5 49 5 59 5 69 5 91 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 3 10 叫 1 0 0 5 v8 1 38 1 88 7 08 7 78 9 59 1 69 1 6 9 1 4 9 2 9 9 2 7 9 2 49 2 2 名1 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 81 0 0 91 0 1 01 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 1 0 1 4 1 0 1 5 1 0 1 6 1 0 1 7 1 v9 2 0晒9 2 79 2 69 29 2 2 8 9 68 9 0 8 8 38 8 58 8 7 8 7 5 t1 0 1 8 1 0 1 9 1 0 月 1 0 2 1 1 0 孕 1 0 2 3 1 0 2 41 0 2 5 1 0 西 1 0 2 7 1 0 2 8 1 0 2 9 刀朋38 8 58 8 8 朋8 朋58 8 5 朋7 8 8 78 8 58 8 18 7 28 7 0 t1 0 刻 1 0 3 1 1 0 3 2 1 0 3 3 1 0 3 4 1 0 3 51 0 洲 1 0 3 7 1 0 3 8 1 0 3 9 10 州 1 0 4 1 v8 7 08 7 08 7 08 6 6 8 6 4 8 6 3 8 6 1 8 6 3 8 6 48 6 4 8 6 4 8 6 4 c1 0 4 2 1 0 4 3 1 0 4 41 0 4 5 10 叫 1 0 4 7 1 0 4 8 1 0 4 9 10 刻 1 0 5 1 1 0 5 2 1 0 5 3 U8 5 98 5 98 5 58 5 18 4 68 4 28 3 3 8 2 5 8 刀 8 加8 1 88 1 6 忿1 0 5 4 1 0 5 6 1 0 5 7 1 0 5 8 1 1 0 1 11 州 1 1 刀 1卜 叫 1 1 26 1 1 2 8 11 钊 1 1 义 公8 1 6 7 9 4 7 9 2 别 刃8 0 78 4 658 6 8 8 8 5 9 1 3 9 4 2 9 4 习 古1 1 3 8 1 1 4 0 1 1 4 2 11 叫 11 叫 1 1 4 8 11 50 1 1 5 2 1 2 1 01 2 1 2 1 2 1 41 2 1 6 刃9 4 石9 4 09 3 8 9 3 7 9 6幻男9 3 7 9 3 79 1 4 9 0 59 0 19 0 0 t1 2 1 8 12 州 1 2 刀 1 2 2 41 2 拓1 2 2 81 2 艾 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 辫 1 2 3 8 1 2 4 0 公8 9 28 8 88 7 9 8 7 58 7 4 8 7 58 7 0 8 6 68 7 58 7 4 8 刀8 刀 t1 2 4 2 1 2 4 41 2 4 6 1 2 4 81 2 5 0 1 2 5 2 1 2 5 41 2 免1 2 5 81 3 叫 1 3 0 2 1 3 0 6 v8 8 1 8 7 7 8 7 48 7 58 7 2 8 刀8 7 48 7 9 8 刀8 6 6 8 5 98 5 9 君1 3 0 8 1 3 1 0 1 3 1 2 1 3 1 41 3 1 61 3 1 81 3