高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第7节 空间角的计算课件 理.ppt

第7节空间角的计算 最新考纲1 能用几何方法解决空间角问题 2 了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用 1 求异面直线所成的角 1 几何法 通过作平行线化为三角形求解 2 向量法 设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 知识梳理 2 求直线与平面所成的角 cos a n 3 求二面角的大小 1 几何法 通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角 然后加以证明和计算 2 向量法 如图 ab cd是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 常用结论与微点提醒 1 异面直线所成的角与其方向向量的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 否则向量夹角的补角是异面直线所成的角 2 线面角 的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值 即sin cos a n 不要误记为cos cos a n 3 二面角与法向量的夹角 利用平面的法向量求二面角的大小时 当求出两半平面 的法向量n1 n2时 要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向 从而确定二面角与向量n1 n2的夹角是相等 还是互补 诊断自测1 思考辨析 在括号内打 或 答案 1 2 3 4 2 选修2 1p104练习2改编 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 两平面所成二面角为45 或180 45 135 答案c 答案c 4 2018 舟山测试 平面 的斜线与平面 所成的角是35 则此斜线与平面 内所有不过斜足的直线所成的角 的范围是 a 0 35 b 0 90 c 35 90 d 35 90 解析设平面 的斜线的斜足为b 过斜线上a点作平面 的垂线 垂足为c 则 abc 35 当 内的直线与bc平行时 直线与斜线所成的角 为35 当 内的直线与bc垂直时 则此直线与平面abc垂直 直线与斜线所成的角 为90 当 内的直线与bc既不平行也不垂直时 直线与斜线所成的角 满足35 90 答案d 答案30 6 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 若ab pa 则平面abp与平面cdp所成的二面角为 解析如图 建立空间直角坐标系 设ab pa 1 则a 0 0 0 d 0 1 0 p 0 0 1 由题意 ad 平面pab 设e为pd的中点 连接ae 则ae pd 又cd 平面pad cd ae 从而ae 平面pcd 故平面pab与平面pcd所成的二面角为45 答案45 考点一求异面直线所成的角 1 pcd的面积 2 一题多解 异面直线bc与ae所成的角的大小 2 法一如图1 取pb中点f 连接ef af 则ef bc 从而 aef 或其补角 是异面直线bc与ae所成的角 图1 图2 训练1 1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 ab 2 bad 60 pa ab 则pb与ac所成角的余弦值为 2 2018 浙江五校联考 在正方体abcd a1b1c1d1中 点p在a1c上运动 包括端点 则bp与ad1所成角的取值范围是 答案 1 c 2 d 考点二求直线与平面所成的角 例2 2018 浙江 超级全能生 联考 如图 在梯形abcd中 ab cd ad cd cb a abc 60 平面acfe 平面abcd 四边形acfe是矩形 ae a 点m在线段ef上 且mf 2em 1 求证 am 平面bdf 2 一题多解 求直线am与平面bef所成角的余弦值 1 证明在梯形abcd中 ab cd ad dc cb a abc 60 四边形abcd是等腰梯形 且 dca dac 30 dcb 120 acb dcb dca 90 ac bc 四边形amfn是平行四边形 am nf 又nf 平面bdf am 平面bdf am 平面bdf 2 解法一由题知ac ef 点a到平面bef的距离等于点c到平面bef的距离 过点c作bf的垂线交bf于点h ac cf ac bc bc cf c ac 平面bcf 即ef 平面bcf ch ef 又 ch bf ef bf f ch 平面bef 1 求证 平面pbc 平面abcd 2 一题多解 求直线pc与平面pab所成角的正弦值 图1 2 解法一如图1 在平面abp内 过点p作直线pb的垂线交ab的延长线于点q 过点m作ab的垂线交ab的延长线于点n 过点c作pq的垂线交pq于点e 连接pn cq 由于pq pb pc pb pq pc p 则pb 平面pqc 又pb 平面pab 则平面pqc 平面pab 又ce pq 平面pqc 平面pab pq 则ce 平面pab cpe是直线pc与平面pab所成角 法二如图2 建立空间直角坐标系m xyz 图2 考点三求二面角 解 1 因为ap be ab be ab ap 平面abp ab ap a 所以be 平面abp 又bp 平面abp 所以be bp 又 ebc 120 因此 cbp 30 图1 法二以b为坐标原点 分别以be bp ba所在的直线为x y z轴 建立如图2所示的空间直角坐标系 图2 规律方法 1 几何法求二面角的步骤是 一作 二证 三计算 注意利用二面角一个平面的垂线 垂面找 作 平面角 2 利用向量计算二面角大小的常用方法 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 训练3 如图 在四棱锥p abcd中 侧面pab 底面abcd 底面abcd为矩形 pa pb o为ab的中点 od pc 1 求证 oc pd 2 一题多解 若pd与平面pab所成的角为30 求二面角d pc b的余弦值 1 证明如图 连接op pa pb o为ab的中点 op ab 侧面pab 底面abcd op 平面abcd op od op oc od pc od 平面opc od oc 又op oc op od o oc 平面opd oc pd 2 解法一在矩形abcd中 由 1 得od oc ab 2ad 不妨设ad 1 则ab 2 侧面pab 底面abcd 底面abcd为矩形 da 平面pab cb 平面pab dpa cpb dpa为直线pd与平面pab所成的角 法二取cd的中点e 以o为原