四直线与直线垂直关系.doc

四 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系知识要点：1垂直关系线线垂直 线面垂直 面面垂直2垂直关系的判定定理（1）线线垂直的判定定理：判定定理1：，判定定理2：三垂线定理及其逆定理（2）线面垂直的判定定理：判定1： ，判定2： ：判定3： ：（3）面面垂直的判定定理：判定：3垂直关系的性质定理：（1） 线面垂直的性质定理：性质定理1: ，性质定理2: （2） 面面垂直的性质定理：题例1设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A若B 则CD2如图在正三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE,且BC=1，则正三棱锥ABCD的体积是 ( )A. B. C. D. 3已知、是平面，、是直线，给出下列命题若，则如果，则如果，是异面直线，那么不与相交。若，且，则且。其中真命题的个数是PABCDFEA、1B、2C、3D、44.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是棱的中点，点在棱上移动.()当点为的中点时，试判断直线与平面的关系，并说明理由；()求证：.5如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上。（）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。6如图，已知三棱锥ABPC中，APPC， ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形。（1）求证：DM平面APC； （2）求证：平面ABC平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积【分析】（1）只要证明即可，根据三角形中位线定理可证；（2）证明；（3）根据锥体体积公式进行计算。【解析】（1）由已知得，是ABP的中位线 （2）为正三角形，D为PB的中点，又 又 平面ABC平面APC （3）由题意可知，是三棱锥DBCM的高， 7如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点， （1）求证：； （2）求证：A1C/平面AB1D； （3）求点A1到平面AB1D的距离。8.如图，底面为正三角形，第8题面， 面，设为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值9.在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积解.（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线， 则 （2）因为平面BEF，且， 又10如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD；（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小解：方法一：（）证明：（）解：取VD的中点E，连结AE，BEVAD是正三角形AEVD，AF=ADAB平面VAD ABAE又由三垂线定理知BEVD因此，是所求二面角的平面角于是，即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。（）证明：不妨设，则，由，得，又，因而与平面内两条相交直线都垂直。平面（）解：设为中点，则由，得，又因此，是所求二面角的平面角。解得所求二面角的大小为练习五 直线、平面垂直的判定与性质 一 选择题1给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的充分非必要条件必要非充分条件C充要条件 既非充分又非必要条件2设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是 A在平面内有且只有一条直线与直线垂直B过直线有且只有一个平面与平面垂直C与直线垂直的直线不可能与平面平行D与直线平行的平面不可能与平面垂直3如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A. B. C. D.4已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是ABCD5已知直线m，n和平面满足,则 或 或6在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且则点到平面的距离为7. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8若、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A若，则 B若，则 C. 若，则 D若，则9已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是， ，10.用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.A. B. C. D.11若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是A若，则B若，则C若，则D若，则12已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是A B C D二解答题13.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中 底面ABCD，E是PC的中点 （1）求证: BE/平面PAD;（2）若 求三棱锥E-DBC的体积14.如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点.(1) 求证：面MNP面A1C1B；(2) 求证：MO面A1C1.15.如图所示，在长方体ABCD-中，AB=AD, AA1=, M是棱C的中点. （）求异面直线和所成的角的正切值; （）证明：平面ABM平面A1B1M.16.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。17如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求三棱锥的侧面积。18某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 19. 三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积 练习五 直线、平面垂直的判定与性质参考答案1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6. D7. B 8.D9. D 10.C 11. C 12.C 14. 证明：（1） 连结D1C， MN为DD1C的中位线，MND1C. 又D1CA1BMNA1B.同理MPC1B. 而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B， A1B面A1C1B.面MNP面A1C1B. 证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，正方体ABCDA1B1C1D1，C1M=A1M，又O为A1C1的中点，A1C1MO 连结BO和BM，在三角形BMO中，第20题答案图（1）经计算知：OB2+MO2=MB2，即BOMO.而A1C1，BO面A1C1B，MO面A1C1B.12分法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点, AD面ABB1A1,A1B面ABB1A1,ADA1B.又A1BA1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线, A1B面AB1D,8分又B1D面AB1D,A1BB1D.同理:BC1B1D. 第20题答案图（2）又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,B1D面A1BC1.10分OM是D1B1D的中位线,OMB1D.OM面A1BC1.12分15.解 ()如图，因为，所以异面直线和所成的角，因为平面，所以，而=1，故. 即异面直线和所成的角的正切值为（）由平面，BM平面，得 BM 由（）知， ，所以，从而BMB1M 又, 再由 得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.16.解： (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= 17本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与品面的位置关系等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。（I）证明：在中， 又平面平面,平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，18.【解析】(1)