全国高中数学 青年教师展评课 向量法教学设计（山东实验中学） (2).doc

2014年全国高中数学 青年教师展评课 向量法教学设计（山东实验中学）一、教学内容解析作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系。向量具有数与形的双重身份，可以为解决图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种代数方法，成为研究几何、代数问题的共同工具，也是研究力学、电学以及许多现代科学技术的有力工具。因此,向量成为中学数学知识的交汇点，通过对传统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学向高等数学的过渡打下良好的基础。 所谓向量法，即从问题的条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。通过向量解题的学习，使学生掌握解决数学问题的基本技能和技巧，认识数学内容之间的内在联系,提升运算能力和逻辑思维能力,体会向量解题思维遵循的相关原则:数形结合、转化与化归等。 二、教学目标设置 根据课程标准的要求和教材特点，结合高三学生的认知能力，确定如下三维教学目标：1、知识与技能目标：(1)掌握向量的运算（线性运算、数量积）；(2)能用基向量法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。2、过程与方法目标：(1)培养学生利用思维导图总结知识结构的能力、归纳总结关键点和思想方法的能力；(2)借助题组的探究让学生体会数学结合与转化在向量法应用中的作用。3、情感、态度与价值观目标：通过师生互动，生生互动的教学活动，培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，激发学生学数学、爱数学的情感。【教学重点】用基底法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题【教学难点】用基底法解决平面几何、立体几何问题。根据以上目标的确定，教学上力求体现三种能力：探究能力、交流能力、反思能力。在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生自主学习、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点的突破，进而达到预期的教学目标。 三、学生学情分析 对高三学生进行试题讲评时,应按照“三讲三不讲”的原则，即：讲易混点，讲易错点，讲易漏点；学生自己已经会了的不讲，学生自己能学会的不讲，老师讲了学生也学不会的不讲。师生互动、生生互动时,采用“焦点访谈”方式探讨三个焦点：知识的模糊点；简单题的易错点；综合题的突破点，通过重点出击，逐个突破的教学过程使学生深化知识应用进而形成能力，实现教学目标。【认知储备】学生已经掌握向量加法法则、数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律以及空间向量基本定理等核心知识, 具备数形结合、转化与化归等思想方法。【心理准备】由于学习活动形式多样,展示汇报机会较多,学生学习数学兴趣浓厚而且热情高涨，为本节课的探究活动的有效开展作好了铺垫。 四、教学策略分析【教法分析】本节复习课依据建构主义的认知理论，强调学生的自主复习、自我建构，而复习课的关键是提高复习的有效性，实施有效教学，基于以上几点分析采用“学案导学-自主探究-重点突破”复习模式。教师课前编制学案,提出学习资源供学生参阅,批阅学案并收集其中做题方法新颖巧妙、思路简捷、一题多解等典型范例;课上向全班进行交流，以达到消除错误，引导学生顺利突破教学难点,从中总结思想方法，同时让思维得到升华。【学法分析】美国著名数学教育家波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”。课堂不是教师的一言堂，而是学生探究的乐园，投影展示既可以完整展示学生的思路、过程又提高了课堂效率，学生的补充交流可以更好的激起思维的火花，让学生做到三“动”即：形动、心动、神动，逐步养成良好的学习习惯。五、教学支持条件分析1、为了有效实现教学目标，借助多媒体、实物投影仪、微课等辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，真正实现高效课堂。2、利用教师提供的学习资源包给学生一个辅助的平台，帮助学生有效解决问题。六、教学过程设计 项目前：学生课前复习平面向量、空间向量的知识，分以下三个阶段完成工作: 1、自主探究：总结向量知识结构，完成学案上的题组； 2、微课助学：观看视频，改进知识结构,促进问题的解决； 3、合作互学：小组内交流，完善知识结构，释疑解惑。 教师批改学生的学案，总结学生的问题，为项目中做好准备。 设计意图通过三个阶段任务的解决，一方面可以复习相关知识，建构知识结构;另一方面可培养学生发现问题、解决问题的能力, 更多地让学生主动参与。项目中：（一）思维导图 知识建构 【问题1】总结向量的知识结构，你认为重点和易错点是哪些？ 活动：小组代表梳理本章知识结构图，其他小组补充，教师借助思维导图加以总结。设计意图知识梳理、建构是复习的“根”，它是一个不断完善的过程。学生课前结合学案中的考纲要求来查找知识的模糊点，使学生完成对知识的第一次建构;课前小组内交流结果和课上小组代表展示成果, 加深学生对知识的理解，使学生完成对知识的第二次建构;师生共同补充总结，使学生完成对知识的第三次建构。通过三次建构,让学生主动参与进来，提升课堂效率。 （二）典例分析 方法探究【问题2】向量都有哪些应用？向量在解决平面几何、立体几何、解析几何、三角以及物理中都有广泛的应用，而高中数学中向量应用最多的还是平面几何和立体几何。活动：学生个别回答，其他同学可以提出自己的见解，教师总结点评。设计意图 “学生的头脑不是盛东西的容器，而是需要点燃的火把”，设置问题2可以激发学生的探究欲望,阐明本节课的重点是回顾平面几何和立体几何这两方面的应用,其它应用可以借助微课学习进行课下探究。 探究一：向量法在平面几何中的应用 题组1： 1、（1）设是所在平面内的一点，设与的面积分别为,则=_ （2）已知平面内有一点及一个，若，则点在（）.的内部 .边所在直线上 .边所在直线上 .边所在直线上 2、（1）点为所在平面内一点，且满足，则为 . （2）点为所在平面内一点，满足， 则是的（ ） .外心 .内心 .重心 .垂心 活动1：对问题较多的第2题（1）问，选取两个小组的代表板书并讲解题目。 设计意图 学生的两种做法:一是运用了向量运算的几何意义，二是抓住了减法运算的逆运算进行拆分的技巧，很好的体现了数形结合和转化的思想方法。 活动2：投影展示个别学生的典型错误，小组讨论交流后学生本人讲解错因。 设计意图 解决问题过程中，“试误”和“顿悟”常常是交替进行的,它们有助于学生找到题目在整个知识体系中的落脚点，从纷繁复杂的习题中提炼本质的、共性的思想方法。【问题3】题组1解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？题组1主要解决了利用向量法判断平面几何中的图形关系问题，用到了向量的基本运算和运算的几何意义，体现了数形结合和转化的思想方法。活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。设计意图 问题3是本节课的重点，把时间还给学生，培养学生的概括总结能力，使学生对解题方法由感性认识上升到理性认识，完成了思维的提升。 题组2： 1、在边长为的正三角形中, 设则_ 2、如图，在中，,则 .活动1：教师屏幕展示同学们第1题出现的两种解法，并选取个别同学进行讲解。设计意图 第1题的设置意在强调两种解决向量有关求值问题的方法：基底法和坐标法，尤其是抓住了图形中隐含的垂直关系建系，通过坐标法来求解可简化运算。活动2：教师屏幕展示个别学生解决第2题的基底法，同时引导学生自主探究尝试用坐标法解决此题。设计意图 第2题学生出现的问题较多，恰当选取基底可将其化繁为简, 体会转化的思想方法。，引导学生运用坐标法巧解这个题目，既激发了学生探究新方法的兴趣，又加深了学生对基底法和坐标法两种方法的理解和应用。同时学生探究出的特值法也是做选择填空题的常用技巧方法。 【问题4】题组2解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？ 题组2解决了平面几何求值的问题,用到了向量分解和运算的知识，方法上用到了基底法和坐标法，根据题目特点可以灵活选择方法。活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。 设计意图问题4设置的目的在于:成功的习题课必须使学生达到对知识的全面理解，对知识点强化到位，对重点和难点突破到位，对基本技能掌握到位，对思维方法发展到位，对知识的灵活运用到位。探究二: 向量法在立体几何中的应用题组3：a db ca1 d1b1 c1e1、如图所示，在正方体 中，是棱的中点。 （）求直线与平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论。2、如图，四棱锥的底面是边长为的菱形， 是的中点，底面，。（）证明：平面平面;（）求平面和平面所成二面角的大小。 第1题主要考查了利用向量法证线面平行和求线面角的方法，由于大部分同学完成较好，所以课堂上不集中处理。重点探究第2题: 活动1：展示部分学生的运用坐标法解题的过程,师生共同分析错因。 设计意图引导学生分析坐标法求解立体几何问题常见的错误:坐标写错、法向量求错、建系或步骤不规范，使学生进一步掌握运用坐标法解决立体几何问题的注意事项。 活动2：师生共同对比（）中运用坐标法解题的两种做法, 并寻求（）中法向量夹角与二面角关系的判定方法， 展示学生的正确做法和标准步骤。设计意图对（）问,解法一是证两个面的法向量垂直，对几何判断要求较低；解法二是先通过几何条件预判线面垂直关系，再证方向向量平行于法向量,对几何判断要求较高，所以两个做法各有千秋。（）问中求解二面角的问题时要注意看两个半平面的位置关系来判断二面角具体是锐角还是钝角。 活动3：小组派代表到讲台讲解用基底法的解题思路,师生共同评价方法。设计意图通过对方法的分析,让学生达成共识:如果建立空间直角坐标系较难，尤其是点的坐标容易求错，用基底法完全避开这两个难题，从而使得求解过程简洁明了,学生的分析便水到渠成，从而突破了教学难点。所以利用基底法也是解决立体几何的一种重要方法。活动4：对比基底法和坐标法，总结用向量法解决几何问题的步骤。 向量法解决立体几何乃至平面几何问题的三个步骤：1、向量表示几何关系；（点位置向量；直线-方向向量；面-法向量）2、进行向量运算；3、还原为几何结论。设计意图结合两个同学的标准做法，通过反思加深学生对向量法在几何中应用的理解和整体把握，体会数形结合的思想。 【问题5】题组3解决了立体几何的什么问题？用到了哪些知识方法？ 向量法可以证明立体几何中的平行和垂直关系，还可以求线线角、线面角、二面角的大小。知识用到了空间向量基本定理和向量的基本运算，常用方法是：基底法和坐标法。活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。 设计意图复习课应是一个反思性的学习过程，解题后让学生对题目及解答进行反思、领悟是很好的方法，对基本问题、典型问题进行反思，对提高分析问题、解决问题的能力有很大的帮助。通过反思总结，使学生自主总结出知识方法，加深对空间向量基本定理的认识，体会基底法和坐标法只是表示形式的不同，并对比平面几何整体把握向量法解决平面几何和立体几何问题的方法是相通的。 （三）聚焦高考 能力深化练习：1（2013山东（理）已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为_. 2、（2014山东（理）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点.（）求证：；（）若垂直于平面，且，求平面和平面所成的角的余弦值.活动1：模拟高考，教师呈现相关内容的高考题，要求学生在规定的时间内完成，并要求写出规范的解答步骤。活动2：投影展示个别学生的解题过程,师生共同评价。设计意图两道高考题主要考查运用向量法解决立体几何和平面几何问题,能够巩固本节所学内容。题目设计有梯度，让不同的学生学习不同的数学；让学有余力的同学有选择的余地。使学生体会高考题所考察的形式和特点，把相关的知识和思想方法应用于问题解决中，巩固所学知识方法，增强学习信心。（四）反思升华 完善建构请归纳总结本节课从知识方法和数学思想两方面的收获。知识方法：向量的知识结构和应用基底法、坐标法数学思想：数形结合、转化与化归活动1：学生代表发言，其他学生补充，教师再次借助思维导图做总结。 设计意图本环节充分实现了学生的主体地位，这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生进一步系统所复习的知识点和数学思想方法，把它们纳入原有的认知结构中，从而完善形成新的体系。 活动2：师生共同评出冠军小组和mvp。设计意图 课堂不是教师的一言堂，而是学生探究的乐园，通过评选活动可以更好地激起学习数学的热情，锻炼学生的合作交流、分析表达的能力，充分挖掘学生的潜力。（五）分层作业 课外探究自测：完成过关检测题 探究：（1）向量