高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第3课时 导数与函数的综合问题课件 理 北师大版.ppt

第3课时导数与函数的综合问题 3 2导数的应用 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一导数与不等式 多维探究 证明 命题点1证明不等式典例 2017 贵阳模拟 已知函数f x 1 g x x lnx 1 证明 g x 1 当01时 g x 0 即g x 在 0 1 上是减少的 在 1 上是增加的 所以g x g 1 1 得证 证明 所以当02时 f x 0 即f x 在 0 2 上是减少的 在 2 上是增加的 又由 1 知x lnx 1 当且仅当x 1时取等号 且 等号不同时取得 命题点2不等式恒成立或有解问题 解答 几何画板展示 解函数的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当x 0 1 时 f x 0 f x 是增加的 当x 1 时 f x 0 f x 是减少的 所以x 1为函数f x 的极大值点 且是唯一极值点 解答 所以h x h 1 1 所以g x 0 所以g x 是增加的 所以g x g 1 2 故k 2 即实数k的取值范围是 2 解答 1 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 利用f x 的单调性证明 2 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数 利用导数求出最值 求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪训练已知函数f x ax lnx x 1 e 若f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解答 解 f x 0 即ax lnx 0对x 1 e 恒成立 x 1 e g x 0 g x 在 1 e 上是减少的 解答 题型二利用导数研究函数的零点问题 师生共研 典例 2018 洛阳质检 已知函数f x xlnx g x x2 ax 3 1 对一切x 0 2f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 解由对一切x 0 2f x g x 恒成立 即有2xlnx x2 ax 3 当x 1时 h x 0 h x 是增加的 当0 x 1时 h x 0 h x 是减少的 a h x min h 1 4 即实数a的取值范围是 4 解答 当x 0 1 时 x 0 x 是增加的 当x 1 时 x 0 x 是减少的 即f x 0恒成立 函数f x 无零点 利用导数研究方程的根 函数的零点 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而画出函数的大致图像 然后根据图像判断函数的零点个数 跟踪训练 1 2017 贵阳联考 已知函数f x 的定义域为 1 4 部分对应值如下表 解析 f x 的导函数y f x 的图像如图所示 当1 a 2时 函数y f x a的零点的个数为a 1b 2c 3d 4 答案 解析根据导函数图像知 2是函数的极小值点 函数y f x 的大致图像如图所示 由于f 0 f 3 2 1 a 2 所以y f x a的零点个数为4 2 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则实数a的取值范围是 解析 答案 2 解析当a 0时 f x 3x2 1有两个零点 不合题意 故a 0 f x 3ax2 6x 3x ax 2 若a 0 由三次函数图像知f x 有负数零点 不合题意 故a 0 又a 0 所以a 2 题型三利用导数研究生活中的优化问题 师生共研 解答 典例某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解因为当x 5时 y 11 解答 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解由 1 可知 该商品每日的销售量为 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 则f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 由上表可得 当x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值且最大值等于42 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题 结合实际问题作答 跟踪训练某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为y 40 x x 0 为使耗电量最小 则速度应定为 解析 答案 40 解析令y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于当040时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 一审条件挖隐含 审题路线图 审题路线图 规范解答 审题路线图 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min m 求得m的最大整数值 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 分离参数a a x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 规范解答解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 2分 g x max g 2 1 则满足条件的最大整数m 4 5分 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 在区间 1 2 上是减少的 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 12分 课时作业 1 2018 天津调研 已知函数y x3 3x c的图像与x轴恰有两个公共点 则c等于a 2或2b 9或3c 1或1d 3或1 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析 y 3x2 3 当y 0时 x 1 则当x变化时 y y的变化情况如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此 当函数图像与x轴恰有两个公共点时 必有c 2 0或c 2 0 c 2或c 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 2 2017 福建莆田一模 定义在r上的函数f x 的导函数为f x f 0 0 若对任意x r 都有f x f x 1 则使得f x ex 1成立的x的取值范围为a 0 b 0 c 1 d 1 对任意x r 都有f x f x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数g x 在r上是减少的 x 0 使得f x ex 1成立的x的取值范围为 0 3 2018届全国名校联考 若不等式2xlnx x2 ax 3 0对x 0 恒成立 则实数a可取的值组成的集合是a a 4 a 0 b a a 4 c a 0 a 4 d a a 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析由题意得ax 2xlnx x2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 1 时 g x 0 g x 是增加的 当x 1 时 g x 0 g x 是减少的 函数g x max g 1 4 所以a g x max 4 即 a a 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 若函数f x 2x3 9x2 12x a恰好有两个不同的零点 则a可能的值为a 4b 6c 7d 8 解析由题意得f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 由f x 0 得x2 由f x 0 得1 x 2 所以函数f x 在 1 2 上是增加的 在 1 2 上是减少的 从而可知f x 的极大值和极小值分别为f 1 f 2 若函数f x 恰好有两个不同的零点 则f 1 0或f 2 0 解得a 5或a 4 故选a 5 某公司生产某种产品 固定成本为20000元 每生产一单位产品 成本增加100元 已知总营业收入r与年产量x的关系是r x 则总利润最大时 年产量是a 100b 150c 200d 300 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得 总成本函数为c x 20000 100 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令p x 0 得x 300 易知当x 300时 总利润p x 最大 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f x 在x 2处有最小值 且x 1 4 所以f 2 0 即b 8 所以c 5 经检验 b 8 c 5符合题意 所以f x 在 1 2 上是减少的 在 2 4 上是增加的 所以函数f x 在m上的最大值为5 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 安徽江南名校联考 已知x 0 2 若关于x的不等式恒成立 则实数k的取值范围为 0 e 1 解析由题意 知k 2x x2 0 即k x2 2x对任意x 0 2 恒成立 从而k 0 令f x 0 得x 1 当x 1 2 时 f x 0 函数f x 在 1 2 上是增加的 当x 0 1 时 f x 0 函数f x 在 0 1 上是减少的 所以k f x min f 1 e 1 故实数k的取值范围为 0 e 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 直线x t分别与函数f x ex 1的图像及g x 2x 1的图像相交于点a和点b 则 ab 的最小值为 解析 4 2ln2 解析由题意得 ab et 1 2t 1 et 2t 2 令h t et 2t 2 则h t et 2 所以h t 在 ln2 上是减少的 在 ln2 上是增加的 所以h t min h ln2 4 2ln2 0 即 ab 的最小值是4 2ln2 解析 答案 9 2018 郑州调研 已知函数f x ax3 3x 1对x 0 1 总有f x 0成立 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 实数a的取值范围是 4 10 2018 佛山质检 定义在r上的奇函数y f x 满足f 3 0 且不等式f x xf x 在 0 上恒成立 则函数g x xf x lg x 1 的零点个数为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 答案 解析定义在r上的奇函数f x 满足 f 0 0 f 3 f 3 f x f x 当x 0时 f x xf x 即f x xf x 0 xf x 0 即h x xf x 在x 0时是增加的 又h x xf x xf x h x xf x 是偶函数 当x 0时 h x 是减少的 结合函数的定义域为r 且f 0 f 3 f 3 0 可得函数y1 xf x 与y2 lg x 1 的大致图像如图 由图像可知 函数g x xf x lg x 1 的零点的个数为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2017 全国 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解f x 的定义域为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 上是减少的 在 a 上是增加的 故x a是f x 在x 0 上的唯一极小值点也是最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解由 1 知当x 1 时 x 1 lnx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m的最小值为3 12 2017 广州调研 已知函数f x ex m x 其中m为常数 1 若对任意x r有f x 0恒成立 求m的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解由题意 可知f x ex m 1 令f x 0 得x m 故当x m 时 ex m1 f x 0 f x 是增加的 故当x m时 f m 为极小值也为最小值 令f m 1 m 0 得m 1 即对任意x r f x 0恒成立时 m的取值范围是 1 2 当m 1时 判断f x 在 0 2m 上零点的个数 并说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解f x 在 0 2m 上有两个零点 理由如下 当m 1时 f m 1 m0 f 0 f m 1时 g m em 2 0 g m 在 1 上是增加的 g m g 1 e 2 0 即f 2m 0 f m f 2m 0 f x 在 m 2m 上有一个零点 故f x 在 0 2m 上有两个零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 2018届中山一中测试 已知a b r 直线y ax b 与函数f x tanx的图像在x 处相切 设g x ex bx2 a 若在区间 1 2 上 不等式m g x m2 2恒成立 则实数m有a 最大值eb 最大值e 1c 最小值 ed 最小值e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此a 2 b 1 g x ex x2 2 所以当x 1 2 时 g x ex 2x 0 g x ex x2 2是增加的 所以g x min e 1 g x max e2 2 所以e m e 1或m e 解析 14 2018届全国名校联考 已知函数f x 3lnx x2 2x 3ln3 则方程f x 0的解的个数是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1