数期末复习必备-多元函数积分学——线积分 09624.pdf

第十章 1 第十章 1 曲线积分曲线积分 停停下下上上目目回回 曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分 一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容 0 d 1 yxfsyxf L 1 以以f x y 为线密度的曲线构件的质量 为线密度的曲线构件的质量 1 背景背景 d L syxfS柱面面积 柱面面积 2 以以L为准线 为准线 f x y 为高 母线平行于为高 母线平行于z 轴的柱面段的面积轴的柱面段的面积 O x y z L yxfz 停停下下上上目目回回 的计算的计算syxf L d 1 z 3 直接法 直接法 化为定积分化为定积分 方法 方法 1 性质 性质 2 对称性的利用 对称性的利用 轴 轴 或面或面 对称性对称性 被积函数有相应 的奇偶性 被积函数有相应 的奇偶性 轮换对称性 轮换对称性 下限下限 上限 上限 dd 2 所作的功沿变力所作的功沿变力LQPFyQxP L r 2 计算法计算法 停停下下上上目目回回 为平面有向曲线的计算 为平面有向曲线的计算 LyQxP L dd 2 方法 方法 1 性质 性质 2 直接法 直接法 化为定积分化为定积分 下限下限 L的起点的起点 上上 终终 下限下限 不一定不一定小于上限 小于上限 3 格林公式 格林公式 L L 封闭 无奇点 有奇点 封闭 无奇点 有奇点 恒等变形 挖洞 恒等变形 挖洞 L L 不封闭 补线法不封闭 补线法 所围闭区域 不含奇点 所围闭区域 不含奇点 停停下下上上目目回回 4 积分与路径无关 积分与路径无关 要求 熟悉要求 熟悉四个等价命题四个等价命题 特殊路径法 特殊路径法 原函数法 原函数法 5 两类曲线的关系 两类曲线的关系 停停下下上上目目回回 ddd 3 为空间有向曲线 的计算 其中 为空间有向曲线 的计算 其中 L zRyQxP L 方法 方法 1 性质 性质 2 直接法 直接法 化为定积分化为定积分 3 原函数法 原函数法 4 斯托克斯公式 斯托克斯公式 停停下下上上目目回回 曲 线 积 分曲 线 积 分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 义 定 义 n i iii L s fdsyxf 1 0 lim L dyyxQdxyxP lim 1 0 iii n i iii yQxP 联 系 联 系 s Q PyQxP LL d coscos dd 计 算 计 算 L t f syxf d d 22 三代一定三代一定 ayxayx Ldsy L 常数 为双纽线 其中计算 常数 为双纽线 其中计算 解解 x y o 4 的极坐标方程为 的极坐标方程为 L 2cos 22 a ds求求 o 1 2sin2 2 2 a 2sin 2 a dds 22 d a 2sin 224 d a 2 3 3 停停下下上上目目回回 由轴对称性 由轴对称性 o 2 yxfyyxfxL 轴对称 关于 轴对称 关于Q yxfyyxfyL 轴对称 关于 轴对称 关于 dsydsy LL 1 4 x y o 4 dsy L 1 4 1 在第一象限部分在第一象限部分LL d a sin 4 2 4 0 2 2 1 4 2 a 停停下下上上目目回回 2 格林公式的利用格林公式的利用2 格林公式的利用格林公式的利用 L L yxxxyI d 3 d 33 计算计算 222 的负向为圆周其中的负向为圆周其中RyxL D 解解 yx y P x Q I D dd 33 3 xxQyP yxyx D dd 3 33 22 yxyx D dd 1 3 22 x y O 例例2 R 0 2 2 0 d 1 d3 停停下下上上目目回回 R 0 2 2 0 d 1 d3 2 2 3 24 RR 注注yxyxI D dd 1 3 22 D yxRdd 1 3 2 停停下下上上目目回回 例例3例例3 d 1 2d2sin 2 yyxxx L 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中到点上从点是曲线到点上从点是曲线 0 0 sin xyL 0 的一段的一段 解解 方法方法1 直接法直接法 yyxxx L d 1 2d2sin 2 xO y xxxxxd cossin 1 22 sin 0 2 xxxd2sin 0 2 xx2cosd 2 1 0 2 xysin 停停下下上上目目回回 xx2cosd 2 1 0 2 d2cos22cos 2 1 0 0 2 xxxxx xx2sind 2 0 2 d2sin2sin 2 0 0 2 xxxx 0 2 2cos 2 1 2 x 2 2 停停下下上上目目回回 方法方法2 补线法 用格林公式补线法 用格林公式 yxQxP 1 2 2sin 2 xyQP xy 40 Q 积分与路径有关积分与路径有关 yyxxx L d 1 2d2sin 2 xO y 0 0 1 axyL 补线补线 yyxxx LL d1 2 d2sin 2 1 yyxxx L d 1 2d2sin 2 1 xysin 停停下下上上目目回回 yyxxx LL d1 2 d2sin 2 1 yyxxx L d 1 2d2sin 2 1 D yxxydd4 xO y D 0 d2sinxx xysin x yxyx sin 0 0 d4d 0 d2sinxx 2 2 停停下下上上目目回回 2 d2d 22 在第一象限部分 为正向圆周 其中计算 在第一象限部分 为正向圆周 其中计算 yx Lxyyx L 解解 O y x 2 A B 方法方法1 直接法直接法 ty tx L sin2 cos2 的参数方程 的参数方程 2 0 at L xyyxd2d 2 0 22 d sin4cos2 ttt 2 3 22 1 4 22 1 2 类似题类似题类似题类似题 停停下下上上目目回回 xQyP 2 12 xy QPQ 积分与路径有关积分与路径有关 O y x 2 A B 22 2 2 OABOOABOL L ydxxdyydxxdyydxxdy ydxxdy 方法方法2 补线法 用格林公式补线法 用格林公式 02 0 3 2 0 0 2 dxdydxdy D 4 2 3 2 2 3 停停下下上上目目回回 注注注注 利用格林公式计算第二类曲线积分时 要 注意定理使用的两个前提条件 利用格林公式计算第二类曲线积分时 要 注意定理使用的两个前提条件 1 当当L是闭曲线时是闭曲线时 则则上有一阶连续偏导数 所围区域在若上有一阶连续偏导数 所围区域在若DLQP 1 yx y P x Q yQxP DL dd dd L 取正向 取正向 L 取负向取负向 2 若若P Q在在L所围区域所围区域D上有上有奇点 奇点 则恒等变 消奇点或 则恒等变 消奇点或 挖洞挖洞 停停下下上上目目回回 可可添加辅助线 添加辅助线 L1 L2 Ln 使 使 添加辅助线添加辅助线的的原则 原则 2 当当L不封闭时不封闭时 L L1 L2 Ln 封闭 且构成所围区域的正向或负向边界封闭 且构成所围区域的正向或负向边界 1 P Q 在在L L1 L2 Ln所围区域所围区域D上有一阶上有一阶 连续的偏导数 连续的偏导数 dd dd 2 易于计算易于计算 i LD yQxPyx y P x Q 2 1 niL 停停下下上上目目回回 例例4例例4 解解 L yx yyxxyx 22 94 d 4 d 23 1 所围区域为 所围区域为DL D yxd2 d 1 36 1 23 12 1 格林公格林公 逆时针方向 求设 逆时针方向 求设1 49 22 yx L L所围域内 含有奇点 所围域内 含有奇点 y xO 3 3 2 2 L yyxxyx 36 d 4 d 23 原式原式 2 恒等变形恒等变形 消奇点消奇点 停停下下上上目目回回 L L yx yyxx I 22 dd 0 0 2 222 yx x Q yx xy y P 2 2 3 3 2 2 l 解解 L内有奇点内有奇点 0 0 挖洞挖洞 作 作l y xO dd 22 llL yx yyxx I则则 20 sin cos 0 4 dd 22 C yx yxxy 2 Ay及求及求 停停下下上上目目回回 分析分析分析分析 被积函数含有抽象函数被积函数含有抽象函数 y 及奇点 及奇点 0 0 1 0 等价命题 直接证明 故不能利用四个内 不能断定 在 等价命题 直接证明 故不能利用四个内 不能断定 在 xy QPx 证证 1 y xO 设设C 是是x 0 内的任意 一条分段光滑正向简单闭 曲线 内的任意 一条分段光滑正向简单闭 曲线 C M N CNM 点 点 A B L1 作围绕原点的两条闭曲线 作围绕原点的两条闭曲线 L1 NAM L1 NBM 依题设 有依题设 有 停停下下上上目目回回 NAML yx yxxy 1 22 4 dd NBML yx yxxy 1 22 4 dd A C yx yxxy 22 4 dd NAML yx yxxy 1 22 4 dd NBML yx yxxy 1 22 4 dd 0 AA y xO C M N A B L1 停停下下上上目目回回 2 2 2222 44 yx x Q yx y P 常数 常数 2 d2d 42 A yx yxyxy L 在单连通域在单连通域 x 0 内具有一阶连续偏导数 由内具有一阶连续偏导数 由 1 知知 L yx yxxy 22 4 dd 在在x 0 内与路径无关 内与路径无关 故故 0 x x Q y P 222 42 4 8 4 yx yyyxy y P 停停下下上上目目回回 222 22 4 4 yx xy x Q 0 x 22 4 8 4 1 yyyyy y Cyy 代入下式 得代入下式 得 22 484yCyy 0 C yy 222 42 4 8 4 yx yyyxy y P 22 22 4 4 yx x Q yx y P 停停下下上上目目回回 L再来算再来算A 再来算再来算A L yx yxxy A 22 4 dd 2222 4 4yx x Q yx y P 222 22 4 4 yx xy Py x Q 0 0 yx L内有奇点内有奇点 0 0 挖洞挖洞 作 作l 顺时针顺时针 10 4 222 yyxD 都有且对任意的具有连续偏导数都有且对任意的具有连续偏导数0 tyxf 内的任意分段对证明内的任意分段对证明Dyxfttytxf 2 光滑的有向简单闭曲线光滑的有向简单闭曲线L 都有 都有 0 d d L yyxxfxyxyf 分析分析 P Q 由曲线积分与路径无关的四个等价命题知 由曲线积分与路径无关的四个等价命题知 需证 需证 Dyx x Q y P 停停下下上上目目回回 即即 0 d d L yyxxfxyxyf P Q 12 yxfxyxfyxf yyxf 亦即亦即 2 21 yxfyxf yyxfx 证证都有及都有及0 tDyxQ 2 yxfttytxf 两边对两边对t 求导 得求导 得 2 3 21 yxfttytxf ytytxfx 得令 得令1 t 2 21 yxfyxf yyxfx 停停下下上上目目回回 即即 12 yxfxyxfyxf yyxf 亦即亦即 0d d L yyxxfxyxyf Dyx x yxxf y yxyf 停停下下上上目目回回 的正向边界 试证 为 已知平面区域 的正向边界 试证 为 已知平面区域 DL yxyxD 0 0 例例10例例10 证证 方法方法1 L xy xyyx 2sinsin 2dede 由格林公式 得由格林公式 得 L xy xyyxIdede sinsin QP D xy yxdd e e sinsin 停停下下上上目目回回 0 0 yxyxDQ 关于关于x y 有轮换对称性 即关于有轮换对称性 即关于y x对称对称 D x D y yxyxddedde sinsin D xy yxIdd e e sinsin 故故 D xx yxdd e e sinsin D yxdd2 2 2 停停下下上上目目回回 方法方法2 方法方法2 L xy xyyxIdede sinsin x o y D y y 0 sin de 00de 0 sin x x 0 sin 0 sin de de xx xx 0 sinsin d e e x xx 0 d2 x 2 2 停停下下上上目目回回 5 应用题应用题5 应用题应用题 停停下下上上目目回回 例例11例例11 4 3 2 1 所作的功对质点力 求变轴正向的夹角成锐角 且与 方向垂直于到原点的距离于点 的大小等的作用受到变力过程中 的运动到点从点周 为直径的下半圆沿以线段设质点 所作的功对质点力 求变轴正向的夹角成锐角 且与 方向垂直于到原点的距离于点 的大小等的作用受到变力过程中 的运动到点从点周 为直径的下半圆沿以线段设质点 PF yOP yxP FF BAAmB ABP v rr 解解 O y x A B m yxP F r yxOP xyF r AmB xdyydxW功功 3 31 11 1 a xxyAB 0 FFF rrr 停停下下上上目目回回 xdyydx BABAAmB BAD xdyydxdxdy y P x Q 1 1 1 1 ABD xdyydxdxdy 3 3 1 1 1 2 1 2 dxxxdxdy D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 停停下下上上目目回回 问质点已知力场 问质点已知力场kxyjzxiyzF rrrr 例例12例例12 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 从原点沿直线移到曲面从原点沿直线移到曲面 的第一卦限部分上的哪一点作功最大 并求 出最大功 的第一卦限部分上的哪一点作功最大 并求 出最大功 第二类曲线