中考数学一轮复习 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转（试卷部分）课件1.pptVIP

第六章空间与图形 6 1图形的轴对称 平移与旋转 中考数学 湖南专用 a组2014 2018年湖南中考题组 五年中考 考点一图形的轴对称 1 2018湖南邵阳 4 3分 下列图形中 是轴对称图形的是 答案b 2 2018湖南永州 2 4分 誉为全国第三大露天碑林的 浯溪碑林 摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文 其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值 下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是 答案c根据轴对称图形的概念进行判断即可 3 2017湖南郴州 2 3分 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案ba中的图形是轴对称图形 不是中心对称图形 故本选项错误 b中的图形既是轴对称图形 又是中心对称图形 故本选项正确 c中的图形不是轴对称图形 是中心对称图形 故本选项错误 d中的图形是轴对称图形 不是中心对称图形 故本选项错误 故选b 思路分析根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项进行判断即可 4 2016湖南湘西 10 4分 下列图形中 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 a 平行四边形b 等腰三角形c 矩形d 正方形 答案ba项 平行四边形不一定是轴对称图形 是中心对称图形 故本选项不符合 b项 等腰三角形是轴对称图形 不是中心对称图形 故本选项符合 c项 矩形是轴对称图形 也是中心对称图形 故本选项不符合 d项 正方形是轴对称图形 也是中心对称图形 故本选项不符合 故选b 思路分析区分轴对称图形与中心对称图形的含义 在特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形和正方形 中 它们都是中心对称图形 但只有平行四边形不一定是轴对称图形 5 2016湖南邵阳 2 3分 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是 答案d根据轴对称图形的定义 即如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对称图形 故选d 6 2015湖南郴州 8 3分 如图 在矩形abcd中 ab 3 将 abd沿对角线bd对折 得到 ebd de与bc交于点f adb 30 则ef a b 2c 3d 3 答案a 在矩形abcd中 ad bc dbc adb 30 由题意知 dbe dba 60 e a 90 be ab 3 fbe 30 在rt bef中 ef be tan ebf 3 故选a 思路分析由折叠知ab be abd dbe 又由矩形性质知在rt bef中 be 3 ebf 30 从而可求ef 易错警示 不理解折叠的性质 记错特殊角的三角函数值 不会合理运用三角函数来解题 评析本题考查了矩形的性质 折叠的性质以及解直角三角形 属容易题 考点二图形的平移 1 2014湖南益阳 8 3分 如图 在平面直角坐标系xoy中 半径为2的 p的圆心p的坐标为 3 0 将 p沿x轴正方向平移 使 p与y轴相切 则平移的距离为 a 1b 1或5c 3d 5 答案b当 p位于y轴的左侧且与y轴相切时 平移的距离为1 当 p位于y轴的右侧且与y轴相切时 平移的距离为5 故选b 2 2014湖南邵阳 18 3分 如图 a点的初始位置位于数轴上的原点 现对a点做如下移动 第1次从原点向右移动1个单位长度至b点 第2次从b点向左移动3个单位长度至c点 第3次从c点向右移动6个单位长度至d点 第4次从d点向左移动9个单位长度至e点 依此类推 这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41 答案28 解析由题意可得移动1次后该点对应的数为0 1 1 到原点的距离为1 移动2次后该点对应的数为1 3 2 到原点的距离为2 移动3次后该点对应的数为 2 6 4 到原点的距离为4 移动4次后该点对应的数为4 9 5 到原点的距离为5 移动5次后该点对应的数为 5 12 7 到原点的距离为7 移动6次后该点对应的数为7 15 8 到原点的距离为8 故移动 2n 1 n 1 n为整数 次后该点到原点的距离为3n 2 移动2n次后该点到原点的距离为3n 1 当3n 2 41时 解得n n是正整数 n的最小值为15 此时移动了29次 当3n 1 41时 解得n 14 n是正整数 n的最小值为14 此时移动了28次 综上所述 至少移动28次后该点到原点的距离不小于41 思路分析从特殊到一般 找出规律 解题关键从特殊到一般 列举第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 找出规律 分为两种情况 即移动次数为奇数次和偶数次时 分别用含n的代数式表示出移动后该点到原点的距离 考点三图形的旋转 1 2018湖南衡阳 3 3分 下列生态环保标志中 是中心对称图形的是 答案ba c d是轴对称图形 不是中心对称图形 b是中心对称图形 旋转180 后与本身重合 2 2016湖南株洲 4 3分 如图 在三角形abc中 acb 90 b 50 将此三角形绕点c沿顺时针方向旋转后得到三角形a b c 若点b 恰好落在线段ab上 ac a b 交于点o 则 coa 的度数是 a 50 b 60 c 70 d 80 答案b 在三角形abc中 acb 90 b 50 a 180 acb b 40 由旋转的性质可知bc b c b bb c 50 又 bb c a acb 40 acb acb 10 coa ob c acb b acb 60 故选b 思路分析根据旋转的性质 旋转前后对应边相等 对应角相等 并结合外角的性质来解决此题 解题关键掌握旋转的性质 三角形外角的性质 3 2014湖南长沙 9 3分 下列四个圆形图案中 分别以它们所在圆的圆心为旋转中心 顺时针旋转120 后 能与原图形完全重合的是 答案a若顺时针旋转 与原图形完全重合 则a项 最小旋转角度 120 b项 最小旋转角度 90 c项 最小旋转角度 180 d项 最小旋转角度 72 故选a 思路分析根据旋转中心 旋转方向 旋转角的大小来解决此题 易错警示易与中心对称图形混淆 错选c 4 2018湖南衡阳 13 3分 如图 点a b c d o都在方格纸的格点上 若 cod是由 aob绕点o按顺时针方向旋转而得到的 则旋转的角度为 答案90 解析 cod是由 aob绕点o按顺时针方向旋转而得到的 旋转的角度是 bod的度数 bod 90 旋转的角度为90 5 2018湖南张家界 12 3分 如图 将 abc绕点a逆时针旋转150 得到 ade 这时点b c d恰好在同一直线上 则 b的度数为 答案15 解析因为 ade是由 abc旋转而得到的 所以 bad 150 ab ad 所以 b adc 15 6 2016湖南怀化 12 4分 旋转不改变图形的和 答案形状 大小 解析旋转不改变图形的形状和大小 只改变图形的位置 故答案为形状 大小 7 2015湖南湘潭 15 3分 如图 将 abc绕点a顺时针旋转60 得到 aed 若线段ab 3 则be 答案3 解析 将 abc绕点a顺时针旋转60 得到 aed ab 3 bae 60 ab ae bae是等边三角形 be ab 3 故答案为3 思路分析根据旋转的性质和等边三角形的性质来解决此题 解题关键本题考查了旋转的性质 解题关键是明确旋转前后 对应线段 对应角分别相等 图形的大小 形状都不改变 要注意旋转的三要素 旋转点 旋转方向 旋转角度 8 2015湖南衡阳 23 6分 如图 在平面直角坐标系中 abc的三个顶点坐标分别为a 3 2 b 3 5 c 1 2 1 在平面直角坐标系中画出 abc关于x轴对称的 a1b1c1 2 把 abc绕点a顺时针旋转一定的角度 得图中的 ab2c2 点c2在ab上 旋转角为多少度 写出点b2的坐标 解析 1 abc关于x轴对称的 a1b1c1如图所示 2 由图可知 旋转角为90 点b2的坐标为 6 2 9 2015湖南长沙 22 8分 如图 在菱形abcd中 ab 2 abc 60 对角线ac bd相交于点o 将对角线ac所在的直线绕点o顺时针旋转 0 90 后得到直线l 直线l与ad bc两边分别相交于点e和点f 1 求证 aoe cof 2 当 30 时 求线段ef的长度 解析 1 证明 四边形abcd为菱形 ad bc ao co oae ocf 又 aoe cof aoe cof 2 ab bc 2 abc 60 abc为等边三角形 ac ab 2 oc 1 当 30 时 acb 60 of bc 在rt ofc中 oc 1 cof 30 of oc 又由 1 可得oe of ef 2of b组2014 2018年全国中考题组 考点一图形的轴对称 1 2018河北 3 3分 图中由 和 组成轴对称图形 该图形的对称轴是直线 a l1b l2c l3d l4 答案c如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合 这个图形叫做轴对称图形 由此知该图形的对称轴是直线l3 故选c 2 2018天津 4 3分 下列图形中 可以看作是中心对称图形的是 答案a在平面内 把一个图形绕着某个点旋转180 如果旋转后的图形能与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 选项a中的图形符合中心对称图形的定义 故选a 3 2017北京 5 3分 下列图形中 是轴对称图形但中心对称图形的是 答案a选项a中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形 选项b d中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形 选项c中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形 故选a 4 2017四川成都 5 3分 下列图标中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 答案d根据图形特点知 a中图形既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 b中图形仅是中心对称图形 c中图形仅是轴对称图形 d中图形既是轴对称图形 又是中心对称图形 故选d 5 2016山东青岛 3 3分 下列四个图形中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案b选项a中的图形是中心对称图形 不是轴对称图形 选项b中的图形既是中心对称图形 也是轴对称图形 选项c中的图形是轴对称图形 不是中心对称图形 选项d中的图形既不是中心对称图形 也不是轴对称图形 所以选b 6 2015河北 3 3分 一张菱形纸片按图1 图2依次对折后 再按图3打出一个圆形小孔 则展开铺平后的图案是 答案c可以动手操作 也可根据对折的顺序及菱形的对称性来判断 选c 考点二图形的平移 1 2018河北 15 2分 如图 点i为 abc的内心 ab 4 ac 3 bc 2 将 acb平移使其顶点与i重合 则图中阴影部分的周长为 a 4 5b 4c 3d 2 答案b如图 连接ai bi 点i为 abc的内心 ai平分 bac bi平分 abc ac ie cai aie eai aie ae ei 同理 bf fi 阴影部分的周长 ei fi ef ae bf ef ab ab 4 阴影部分的周长为4 故选b 2 2015宁夏 14 3分 如图 在平面直角坐标系中 点a的坐标为 0 4 将 oab沿x轴向右平移后得到 o a b 点a的对应点a 是直线y 上一点 则点b与其对应点b 间的距离为 答案5 解析因为将 oab沿x轴向右平移得 o a b 所以点a与a 的纵坐标相同 把y 4代入y x 得x 5 则点a与a 的距离是5 所以点b与b 的距离也是5 评析本题考查了平移的性质 属容易题 3 2015安徽 17 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 给出了格点 abc 顶点是网格线的交点 1 请画出 abc关于直线l对称的 a1b1c1 2 将线段ac向左平移3个单位 再向下平移5个单位 画出平移得到的线段a2c2 并以它为一边作一个格点 a2b2c2 使a2b2 c2b2 解析 1 a1b1c1如图所示 4分 2 线段a2c2和 a2b2c2如图所示 符合条件的 a2b2c2不唯一 8分 考点三图形的旋转 1 2017河北 16 2分 已知正方形mnok和正六边形abcdef边长均为1 把正方形放在正六边形中 使ok边与ab边重合 如图所示 按下列步骤操作 将正方形在正六边形中绕点b顺时针旋转 使km边与bc边重合 完成第一次旋转 再绕点c顺时针旋转 使mn边与cd边重合 完成第二次旋转 在这样连续6次旋转的过程中 点b m间的距离可能是 a 1 4b 1 1c 0 8d 0 5 答案c在第一次旋转过程中 bm 1 在第二次旋转过程中 点m位置不变 bm 1 在第三次旋转过程中 bm的长由1逐渐变小为 1 在第四次旋转过程中 点m在以点e为圆心 为半径的圆弧上 bm的长由 1逐渐变小为2 然后逐渐变大为 1 在第五次旋转过程中 bm的长由 1逐渐变大为1 在第六次旋转过程中 点m位置不变 bm 1 显然连续6次旋转的过程中 点b m间的距离可能是0 8 故选c 解题关键解决本题的关键是求出每个旋转过程中bm长的变化范围 2 2015吉林长春 8 3分 如图 在平面直角坐标系中 点a 1 m 在直线y 2x 3上 连接oa 将线段oa绕点o顺时针旋转90 点a的对应点b恰好落在直线y x b上 则b的值为 a 2b 1c d 2 答案d把a 1 m 代入y 2x 3 得m 2 1 3 1 a点坐标为 1 1 将线段oa绕点o顺时针旋转90 点a的对应点b的坐标是 1 1 把b 1 1 代入y x b 得 1 b 1 b 2 故选d 评析本题考查了一次函数与旋转 需要通过旋转的性质准确求出对应点的坐标 属容易题 3 2015黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在rt abc中 bac 90 将 abc绕点a顺时针旋转90 后得到 ab c 点b的对应点是点b 点c的对应点是点c 连接cc 若 cc b 32 则 b的大小是 a 32 b 64 c 77 d 87 答案c ac ac cac 90 cc a 45 ac b 45 32 13 又 acb ac b b 90 acb 90 13 77 故选c 4 2018河南 14 3分 如图 在 abc中 acb 90 ac bc 2 将 abc绕ac的中点d逆时针旋转90 得到 a b c 其中点b的运动路径为 则图中阴影部分的面积为 解析如图 连接b d bd 作de a b 于点e 在rt bcd中 bc 2 cd ac 1 bd 由旋转得a b ab b db 90 de aa ab b c s阴影 s扇形b db s b cd s bcd 2 1 答案 思路分析首先确定所在圆的圆心为点d 根据题意求出半径db和圆心角 b db的度数 然后通过s扇形b db s b cd s bcd可求得阴影部分的面积 5 2018云南昆明 5 3分 如图 点a的坐标为 4 2 将点a绕坐标原点o旋转90 后 再向左平移1个单位长度得到点a 则过点a 的正比例函数的解析式为 答案y 4x或y x 解析分情况讨论 当点a绕原点o顺时针旋转90 时 旋转后得点a 2 4 向左平移1个单位长度得点 1 4 代入y kx k 0 中 得k 4 所以y 4x 当点a绕原点o逆时针旋转90 时 旋转后得点a 2 4 向左平移1个单位长度得点 3 4 代入y kx k 0 中 得k 所以y x 所以过点a 的正比例函数的解析式为y 4x或y x 思路分析点a绕坐标原点o旋转90 要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的坐标 从而得平移后的点的坐标 再将平移后的点的坐标代入y kx k 0 求解即可 易错警示本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移 正比例函数解析式的求法 题中旋转未指出旋转方向 需分情况讨论 若考虑不全 则易造成错误 导致失分 c组教师专用题组 考点一图形的轴对称 1 2018广东 5 3分 下列所述图形中 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 a 圆b 菱形c 平行四边形d 等腰三角形 答案d圆和菱形都是轴对称图形 也都是中心对称图形 所以a b都不符合题意 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形 所以c不符合题意 等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 故选d 方法总结本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180 后能够与自身重合 那么这个图形就叫做中心对称图形 这个点叫做对称中心 易错警示此类问题容易混淆平行四边形的对称性和特殊平行四边形的对称性 等边三角形的对称性是最容易弄错的 一不小心就会看成中心对称图形 2 2018广东广州 2 3分 如图所示的五角星是轴对称图形 它的对称轴共有 a 1条b 3条c 5条d 无数条 答案c如图所示 五角星的对称轴共有5条 思路分析根据轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 分析 理解题目 方法总结轴对称图形和中心对称图形是经常考查的考点 考生需要正确理解其概念 轴对称图形是沿直线翻折后直线两旁的部分能够互相重合 中心对称图形是在平面内一个图形绕某个点旋转180 后能够与原图形重合 3 2018重庆 2 4分 下列图形中一定是轴对称图形的是 答案d根据轴对称图形的概念可得矩形一定是轴对称图形 故选d 解题关键判断轴对称图形的关键是寻找对称轴 4 2017湖南长沙 4 3分 在下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 答案ca中的图形既不是轴对称图形 又不是中心对称图形 b中的图形是轴对称图形 但不是中心对称图形 c中的图形既是轴对称图形 又是中心对称图形 d中的图形不是轴对称图形 但是中心对称图形 故选c 5 2017江西 3 3分 下列图形中 是轴对称图形的是 答案c根据轴对称图形的概念可得选项a b d都不是轴对称图形 只有选项c是轴对称图形 故选c 6 2017福建 5 4分 下列关于图形对称性的命题 正确的是 a 圆既是轴对称图形 又是中心对称图形b 正三角形既是轴对称图形 又是中心对称图形c 线段是轴对称图形 但不是中心对称图形d 菱形是中心对称图形 但不是轴对称图形 答案a圆是轴对称图形 每一条经过圆心的直线都是它的对称轴 圆又是中心对称图形 对称中心是圆心 故选a 7 2017内蒙古呼和浩特 3 3分 下图中序号 1 2 3 4 对应的四个三角形 都是 abc这个图形进行了一次变换之后得到的 其中是通过轴对称得到的是 a 1 b 2 c 3 d 4 答案a根据轴对称的性质可知 序号 1 对应的三角形与 abc的对应点所连的线段被一条直线 对称轴 垂直平分 故选a 8 2015湖南长沙 4 3分 下列图形中 是轴对称图形 但不是中心对称图形的是 答案b根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得a c d项中的图形既是轴对称图形 也是中心对称图形 只有b项中的图形是轴对称图形 但不是中心对称图形 9 2015湖南株洲 4 3分 下列几何图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 a 等腰三角形b 正三角形c 平行四边形d 正方形 答案da b项中的图形是轴对称图形 不是中心对称图形 c项中的图形是中心对称图形 不一定是轴对称图形 故选d 10 2014广西南宁 2 3分 下列图形中 是轴对称图形的是 答案d根据轴对称图形的概念 如果把一个图形沿某直线折叠 直线两旁的部分能够重合 那么这个图形是轴对称图形 可知选项a b c中的图形均不是轴对称图形 只有选项d中的图形是轴对称图形 故选d 11 2014湖南娄底 5 3分 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案d四个选项中的图形只有圆既是轴对称图形又是中心对称图形 故选d 12 2014湖南永州 2 3分 永州的文化底蕴深厚 永州人民的生活健康向上 如瑶族长鼓舞 东安武术 宁远举重等 下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的 其中是轴对称图形的是 答案c由轴对称图形的定义可知选项c中的图形是轴对称图形 故选c 13 2015宁夏 15 3分 如图 在矩形abcd中 ab 3 bc 5 在cd上任取一点e 连接be 将 bce沿be折叠 使点c恰好落在ad边上的点f处 则ce的长为 答案 解析设ce x 在矩形abcd中 ab 3 bc 5 ad bc 5 cd ab 3 则ed 3 x 由折叠的性质可知 bf bc 5 fe ce x 在rt abf中 af 4 fd 5 4 1 在rt def中 有df2 de2 ef2 即12 3 x 2 x2 解得x 即ce的长为 14 2017广西南宁 21 8分 如图 在平面直角坐标系中 abc的三个顶点分别为a 1 2 b 2 4 c 4 1 1 把 abc向上平移3个单位后得到 a1b1c1 请画出 a1b1c1 并写出点b1的坐标 2 已知点a与点a2 2 1 关于某直线l成轴对称 请画出直线l及 abc关于直线l对称的 a2b2c2 并直接写出直线l的函数解析式 解析 1 a1b1c1如图所示 3分 点b1的坐标为 2 1 4分 2 画出直线l如图所示 5分 a2b2c2如图所示 7分 直线l的函数解析式为y x 8分 考点二图形的平移 1 2018江西 5 3分 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作 他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形 如图所示 现在他将正方形abcd从当前位置开始进行一次平移操作 平移后的正方形的顶点也在格点上 则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 a 3个b 4个c 5个d 无数个 答案c如图所示 正方形abcd可以向上 向下 向右以及沿射线ac或bd方向平移 平移后的两个正方形组成轴对称图形 故选c 2 2015江苏镇江 12 2分 如图 abc和 dbc是两个具有公共边的全等的等腰三角形 ab ac 3cm bc 2cm 将 dbc沿射线bc平移一定的距离得到 d1b1c1 连接ac1 bd1 如果四边形abd1c1是矩形 那么平移的距离为cm 答案7 解析作ae bc于点e 则be ec 1cm 设平移的距离为xcm 在rt abe中 ae 2cm 当四边形abd1c1为矩形时 bac1 90 在rt abc1中 ac1 cm ab ac1 ae bc1 所以 3 2 x 2 整理得x2 4x 77 0 解得x1 7 x2 11 舍去 所以平移的距离为7cm 评析本题是在平移中构造矩形 综合考查了矩形的性质 等腰三角形的性质以及勾股定理和解方程 属中档题 3 2014江西 11 3分 如图 在 abc中 ab 4 bc 6 b 60 将 abc沿射线bc的方向平移2个单位后 得到 a b c 连接a c 则 a b c的周长为 答案12 解析由题意得 b c bc 6 cc 2 b c b c cc 4 a b ab 4 b c a b 又 a b c b 60 a b c是等边三角形 a b c的周长是12 评析本题考查了平移变换和等边三角形的性质 属容易题 考点三图形的旋转 1 2017福建 10 4分 如图 网格纸上正方形小格的边长为1 图中线段ab和点p绕着同一个点做相同的旋转 分别得到线段a b 和点p 则点p 所在的单位正方形区域是 a 1区b 2区c 3区d 4区 答案d连接aa bb 分别作aa bb 的垂直平分线 两条直线相交于点o 点o就是旋转中心 旋转角为90 连接op op绕点o逆时针旋转90 即可得到op 可知点p 落在4区 故选d 2 2015天津 7 3分 在平面直角坐标系中 把点p 3 2 绕原点o顺时针旋转180 所得到的对应点p 的坐标为 a 3 2 b 2 3 c 3 2 d 3 2 答案d在平面直角坐标系中 任意一点a x y 绕原点o顺时针旋转180 所得到的对称点是a x y 故点p 3 2 关于原点的对称点是p 3 2 故选d 3 2014山东烟台 10 3分 如图 将 abc绕点p顺时针旋转90 得到 a b c 则点p的坐标是 a 1 1 b 1 2 c 1 3 d 1 4 答案b分别连接aa cc 并分别作它们的垂直平分线 交点即为点p 评析此题考查旋转的性质 即对应点所连线段的垂直平分线的交点是旋转中心 4 2018江西 10 3分 如图 在矩形abcd中 ad 3 将矩形abcd绕点a逆时针旋转 得到矩形ae fg 点b的对应点e落在cd上 且de ef 则ab的长为 答案3 解析根据旋转的性质 得bc ef ab ae 又四边形abcd为矩形 de ef ad de 3 d 90 即 ade为等腰直角三角形 根据勾股定理得ae 3 所以ab ae 3 解题关键熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键 5 2017广西南宁 18 3分 如图 把正方形铁片oabc置于平面直角坐标系中 顶点a的坐标为 3 0 点p 1 2 在正方形铁片上 将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90 第一次旋转至图中 位置 第二次旋转至图中 位置 则正方形铁片连续旋转2017次后 点p的坐标为 答案 6053 2 解析由题意知旋转1次得p1 5 2 旋转2次得p2 8 1 类似地 p3 10 1 p4 13 2 p5 17 2 p6 20 1 故点p的纵坐标旋转4次为一循环 因2017 4 504 1 故p2017的纵坐标与p1的纵坐标相同 设pn的纵坐标为 则旋转奇数次时点pn的横坐标为3n 偶数次时为3 n 1 故p2017的横坐标为3 2017 2 6053 连续旋转2017次后 点p的坐标为 6053 2 解题关键确定点p的纵坐标和横坐标的变化规律是解决本题的关键 6 2015湖南永州 16 3分 如图 在平面直角坐标系中 点a的坐标为 2 0 abo是直角三角形 aob 60 现将rt abo绕原点o按顺时针方向旋转到rt a b o的位置 则此时边ob扫过的面积为 答案 解析在rt abo中 aob 60 bao 30 a ob 30 ob oa 1 由旋转可知ob ob 1 a ob aob 60 bob a ob a ob 90 边ob扫过的面积为 12 7 2015福建福州 16 4分 如图 在rt abc中 abc 90 ab bc 将 abc绕点c逆时针旋转60 得到 mnc 连接bm 则bm的长是 答案 1 解析如图 连接am 易知 amc是等边三角形 所以cm am 易证 bmc bma 所以 cbm abm 45 cmb amb 30 又 abc 90 ab bc 所以 bcd 45 所以 cdb 180 cbd bcd 90 所以 cdm cdb 90 在rt cdb中 cd cb sin45 1 所以bd cd 1 在rt cdm中 dm cm sin60 所以bm dm bd 1 评析解决本题的关键是证出bm ac 再利用含有特殊角的直角三角形分别求得bd dm的长 从而求出bm 综合性较强 属于难题 8 2018江苏南京 16 2分 如图 在矩形abcd中 ab 5 bc 4 以cd为直径作 o 将矩形abcd绕点c旋转 使所得矩形a b cd 的边a b 与 o相切 切点为e 边cd 与 o相交于点f 则cf的长为 答案4 解析连接oe 延长eo交cd 于点g 作oh b c于点h 则 oeb ohb 90 矩形abcd绕点c旋转得矩形a b cd b b cd 90 ab cd 5 bc b c 4 四边形oeb h和四边形eb cg都是矩形 oe oc 2 5 b h oe 2 5 ch b c b h 1 5 cg b e oh 2 四边形eb cg是矩形 ogc 90 即og cd cf 2cg 4 故答案为4 解后反思本题主要考查圆的切线的性质 解题的关键是掌握矩形的判定与性质 旋转的性质 切线的性质 垂径定理等知识点 9 2018天津 18 3分 如图 在每个小正方形的边长为1的网格中 abc的顶点a b c均在格点上 1 acb的大小为 2 在如图所示的网格中 p是bc边上任意一点 以a为中心 取旋转角等于 bac 把点p逆时针旋转 点p的对应点为p 当cp 最短时 请用无刻度的直尺 画出点p 并简要说明点p 的位置是如何找到的 不要求证明 答案 1 90 2 如图 取格点d e 连接de交ab于点t 取格点m n 连接mn交bc延长线于点g 取格点f 连接fg交tc延长线于点p 则点p 即为所求 解析 1 每个小正方形的边长为1 ac 3 bc 4 ab 5 3 2 4 2 50 5 2 ac2 bc2 ab2 abc是直角三角形 且 acb 90 2 在射线ac上取格点f 使af ab 5 则点f为点b的对应点 根据直线bc的位置 取格点m n 连接mn交bc的延长线于点g 可求得cg 连接gf cf 易得 acb gcf 则gf所在直线即为bc旋转后对应边所在直线 取格点d e 连接de交ab于点t 则点t为线段ab的中点 作直线ct 所以tc ta act cat 记直线ct交fg于点p 因为 p cf p fc act abc 90 所以 fp c 90 即cp fg 所以点p 即为所求作的点 思路分析 1 由勾股定理求得ac bc ab的长 根据勾股定理的逆定理判断出直角三角形 2 p是bc边上任意一点 把 acb绕点a逆时针旋转 使旋转角等于 bac 那么点p的对应点p 在边cb旋转后的对应边上 当cp 垂直于cb旋转后的对应边时 线段cp 最短 确定cb旋转后的对应边的位置 作出垂线 即可确定点p 的位置 10 2018广东 25 9分 已知rt oab oab 90 abo 30 斜边ob 4 将rt oab绕点o顺时针旋转60 如图1 连接bc 1 填空 obc 2 如图1 连接ac 作op ac 垂足为p 求op的长度 3 如图2 点m n同时从点o出发 在 ocb边上运动 m沿o c b路径匀速运动 n沿o b c路径匀速运动 当两点相遇时停止运动 已知点m的运动速度为1 5单位 秒 点n的运动速度为1单位 秒 设运动时间为x秒 omn的面积为y 求当x为何值时y取得最大值 最大值为多少 结果分母可保留根号 解析 1 60 2 根据题意 得ob oc boc 60 obc为等边三角形 bc ob 4 在rt oab中 abo 30 oa ob 2 ab ob 2 在rt abc中 ac 2 sin acb sin pao sin acb sin pao op oa 3 当0 x 时 点m在边oc上 点n在边ob上 on边上的高为omsin mon y on omsin mon x xsin60 x2 当x 时 y取得最大值 当 x 4时 如图1 点m在边bc上 点n在边ob上 bm 8 x 图1 on边上的高为bmsin mbn y x sin60 x 16 3x 当x 时 y取得最大值 当4 x 时 如图2 点m n均在bc上 图2 mn 12 x mn边上的高等于ab的长 y mn ab 2 24 5x 当x 4时 y取得最大值2 综上所述 当x 时 y取得最大值 思路分析 1 根据旋转的性质知ob oc boc等于60 从而 obc是等边三角形 可得 obc 60 2 分别求出ao ab bc ac的长 利用 acb pao 且其三角函数值也相等求解 3 首先按点m n所在的边分三类进行讨论 然后可根据三角形面积公式去求三角形omn的面积y与时间x的函数关系式 最后求一次函数与二次函数的最值即可 解后反思本题是代数与几何的综合应用 主要考查了旋转的性质 勾股定理 锐角三角函数 一次函数与二次函数的最值等知识 也考查了分类讨论等解题思想 在解决动态几何问题时 我们通常根据题意确定一个分类标准 例如 根据几何图形的形状 运动对象的相对位置 数量关系的变化趋势等的不同进行分类讨论 难点在于如何 化动为静 因此画出各个分类的图形对解决问题有着很大的帮助 当图形画出来后 动态几何问题也就转化为静态几何问题了 11 2018福建 21 8分 如图 在rt abc中 c 90 ab 10 ac 8 线段ad由线段ab绕点a按逆时针方向旋转90 得到 efg由 abc沿cb方向平移得到 且直线ef过点d 1 求 bdf的大小 2 求cg的长 解析 1 线段ad由线段ab绕点a按逆时针方向旋转90 得到 dab 90 ad ab 10 abd 45 efg由 abc沿cb方向平移得到 ab ef bdf abd 45 2 由平移的性质可得ae cg ab ef 且ae cg dea dfc abc ade dab 180 dab 90 ade 90 acb 90 ade acb ade acb ac 8 ab ad 10 ae cg ae 解后反思本题考查图形的平移与旋转 平行线的性质 等腰直角三角形的判定与性质 解直角三角形 相似三角形的判定与性质等基础知识 考查运算能力 推理能力 数形结合思想 化归与转化思想 12 2017河北 25 11分 平面内 如图 在 abcd中 ab 10 ad 15 tana 点p为ad边上任意一点 连接pb 将pb绕点p逆时针旋转90 得到线段pq 1 当 dpq 10 时 求 apb的大小 2 当tan abp tana 3 2时 求点q与点b间的距离 结果保留根号 3 若点q恰好落在 abcd的边所在的直线上 直接写出pb旋转到pq所扫过的面积 结果保留 备用图 解析 1 当点q与b在pd异侧时 由 dpq 10 bpq 90 得 bpd 80 apb 180 bpd 100 当点q与b在pd同侧时 如图1 apb 180 bpq dpq 80 apb是80 或100 4分 2 如图1 过点p作ph ab于点h 连接bq tan abp tana 3 2 图1 ah hb 3 2 而ab 10 ah 6 hb 4 6分 在rt pha中 ph ah tana 8 pq pb 4 在rt pqb中 qb pb 4 8分 3 16 或20 或32 11分 注 下面是 3 的一种解法 仅供参考 解答过程如下 点q在ad上时 如图2 由tana 得pb ab sina 8 s阴影 16 图2 点q在cd上时 如图3 过点p作ph ab于点h 交cd延长线于点k 由题意得 k 90 kdp a 设ah x x 0 则ph ah tana x ap x bph kqp 90 kpq pb qp rt hpb rt kqp kp hb 10 x pd 10 x ad 15 x 10 x 解得x 6 ph 8 hb 4 pb2 80 s阴影 20 图3 点q在bc延长线上时 如图4 过点b作bm ad于点m 由 得bm 8 图4又 mpb pbq 45 pb 8 s阴影 32 思路分析 1 分以下两种情形求解 点q和点b在pd同侧 点q和点b在pd异侧 2 过点p作ph ab于h 当tan abp tana 3 2时 ah hb 3 2 进而得出ah hb的长 在rt aph中 利用tana 求出ph的长 在rt pbh中 根据勾股定理求出pb的长 进而可得bq的长 3 分以下三种情形求解 点q落在直线ad上 点q落在直线dc上 点q落在直线bc上 难点分析本题是以旋转为背景的探究题 此类问题图形发生变化 要善于从动态位置中寻找不变的关系 点q位置的确定是解决问题的关键 13 2017江西 23 12分 我们定义 如图1 在 abc中 把ab绕点a顺时针旋转 0 180 得到ab 把ac绕点a逆时针旋转 得到ac 连接b c 当 180 时 我们称 ab c 是 abc的 旋补三角形 ab c 边b c 上的中线ad叫做 abc的 旋补中线 点a叫做 旋补中心 特例感知 1 在图2 图3中 ab c 是 abc的 旋补三角形 ad是 abc的 旋补中线 如图2 当 abc为等边三角形时 ad与bc的数量关系为ad bc 如图3 当 bac 90 bc 8时 则ad长为 猜想论证 2 在图1中 当 abc为任意三角形时 猜想ad与bc的数量关系 并给予证明 拓展应用 3 如图4 在四边形abcd中 c 90 d 150 bc 12 cd 2 da 6 在四边形内部是否存在点p 使 pdc是 pab的 旋补三角形 若存在 给予证明 并求 pab的 旋补中线 长 若不存在 说明理由 图4 解析 1 1分 4 3分 2 猜想 ad bc 4分 证明 证法一 如图 延长ad至e 使de ad 连接b e c e ad是 abc的 旋补中线 b d c d 四边形ab ec 是平行四边形 ec b a ec b a ac e b ac 180 由定义可知 b ac bac 180 b a ba ac ac ac e bac ec ba ac e cab ae cb 6分 ad ae ad bc 7分 证法二 如图 延长b a至f 使af b a 连接c f b ac c af 180 由定义可知 b ac bac 180 b a ba ac ac cab c af ab af abc afc bc fc 6分 b d c d b a af ad是 b fc 的中位线 ad fc ad bc 7分 证法三 如图 将 ab c 绕点a顺时针旋转 c ac的度数 得到 aec 此时ac 与ac重合 设d的对应点为d 连接ad 由定义可知 b ac bac 180 由旋转得 b ac eac bac eac 180 e a b三点在同一直线上 6分 ab ab ae ed d c ad 是 ebc的中位线 ad bc ad bc 7分 注 其他证法参照给分 3 存在 8分 如图 以ad为边在四边形abcd的内部作等边 pad 连接pb pc 延长bp交ad于点f 则有 adp apd 60 pa pd ad 6 cda 150 cdp 90 过点p作pe bc于点e 易知四边形pdce为矩形 ce pd 6 tan 1 1 30 2 60 9分 pe bc 且易知be ec pc pb 3 2 60 apd bpc 60 120 180 又pa pd pb pc pdc是 pab的 旋补三角形 10分 3 60 dpe 90 dpf 30 adp 60 bf ad af ad 3 pf ad 3 在rt pbe中 pb 4 bf pb pf 7 在rt abf中 ab 2 11分 pdc是 pab的 旋补三角形 由 2 知 pab的 旋补中线 长为ab 12分 求解 旋补中线 补充解法如下 如图 分别延长ad bc相交于点g adc 150 bcd 90 gdc 30 gcd 90 在rt gdc中 gd 2 4 gc gd 2 ga 6 4 10 gb 2 12 14 过a作ah gb交gb于点h 在rt gah中 ah ga sin60 10 5 gh ag 5 hb gb gh 14 5 9 在rt abh中 ab 2 10分 pdc是 pab的 旋补三角形 由 2 知 pab的 旋补中线 长为ab 12分 注 其他解法参照给分 14 2017内蒙古包头 25 12分 如图 在矩形abcd中 ab 3 bc 4 将矩形abcd绕点c按顺时针方向旋转 角 得到矩形a b cd b c与ad交于点e ad的延长线与a d 交于点f 1 如图 当 60 时 连接dd 求dd 和a f的长 2 如图 当矩形a b cd 的顶点a 落在cd的延长线上时 求ef的长 3 如图 当ae ef时 连接ac cf 求ac cf的值 解析 1 矩形abcd绕点c按顺时针方向旋转 角得到矩形a b cd a d ad b c bc 4 cd cd a b ab 3 a d c adc 90 60 dcd 60 cdd 是等边三角形 dd cd 3 2分 如图 连接cf 在rt cdf和rt cd f中 rt cdf rt cd f dcf d cf dcd 30 在rt cd f中 tan d cf fd a f a d fd 4 4分 2 在rt a cd 中 d 90 a c2 a d 2 cd 2 a c 5 a d 2 da f d a c a df d a df a d c df 同理 可证 cde cb a ed ef ed df 8分 3 如图 过点f作fg ce于点g 四边形a b cd 是矩形 gf cd cd 3 s ecf ef cd ce gf ef ce 又 ae ef ae ec ef eac eca ecf efc 2 eca 2 ecf 180 acf 90 adc acf 90 又 cad fac cad fac ac2 ad af 在rt abc中 ac 5 af s acf ac cf af cd ac cf af cd 12分 方法规律图形的旋转变换是全等变换 变换过程中不改变图形的形状和大小 要紧紧抓住图形变换前后不变的量来解决问题 15 2015江苏连云港 26 12分 在数学兴趣小组活动中 小明进行数学探究活动 将边长为2的正方形abcd与边长为2的正方形aefg按图1位置放置 ad与ae在同一条直线上 ab与ag在同一条直线上 1 小明发现dg be 请你帮他说明理由 2 如图2 小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转 当点b恰好落在线段dg上时 请你帮他求出此时be的长 3 如图3 小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转 线段dg与线段be将相交 交点为h 写出 ghe与 bhd面积之和的最大值 并简要说明理由 图1 图2 图3 解析 1 理由 四边形abcd与四边形aefg是正方形 ad ab dag bae 90 ag ae adg abe sas agd aeb 如图 延长eb交dg于点h 在 adg中 agd adg 90 aeb adg 90 在 deh中 aeb adg dhe 180 dhe 90 dg be 4分 图 2 四边形abcd与四边形aefg是正方形 ad ab dab gae 90 ag ae dab bag gae bag dag bae ad ab dag bae ag ae adg abe sas dg be 如图 过点a作am dg交dg于点m amd amg 90 bd是正方形abcd的对角线 mda 45 图 在rt amd中 mda 45 cos45 dm am 在rt amg中 am2 gm2 ag2 gm dg dm gm be dg 8分 3 ghe与 bhd面积之和的最大值为6 理由如下 10分 对于 egh 点h在以eg为直径的圆上 所以当点h与点a重合时 egh的边eg上的高最大 对于 bdh 点h在以bd为直径的圆上 所以当点h与点a重合时 bdh的边bd上的高最大 所以 ghe与 bhd面积之和的最大值是2 4 6 12分 16 2015湖南益阳 20 12分 已知点p是线段ab上与点a不重合的一点 且ap pb ap绕点a逆时针旋转角 0 90 得到ap1 bp绕点b顺时针也旋转角 得到bp2 连接pp1 pp2 1 如图1 当 90 时 求 p1pp2的度数 2 如图2 当点p2在ap1的延长线上时 求证 p2p1p p2pa 3 如图3 过bp的中点e作l1 bp 过bp2的中点f作l2 bp2 l1与l2交于点q 连接pq 求证 p1p pq 解析 1 由旋转