高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式课件 北师大版选修45.ppt

第二章几个重要的不等式 2排序不等式 阅读教材p32 p34 排序不等式 的有关内容 完成下列问题 1 定理1设a b和c d都是实数 如果a b c d 那么ac bd 此式当且仅当 时取等号 2 顺序和 乱序和 逆序和的概念 设实数a1 a2 a3 b1 b2 b3满足a1 a2 a3 b1 b2 b3 j1 j2 j3是1 2 3的任一排列方式 通常称 为顺序和 为乱序和 a1b3 a2b2 a3b1为逆序和 倒序和 ad bc a b 或c d a1b1 a2b2 a3b3 a1bj1 a2bj2 a3bj3 3 定理2 排序不等式 设有两个有序实数组a1 a2 an及b1 b2 bn 则 顺序和 乱序和 逆序和 其中j1 j2 jn是1 2 n的任一排列方式 上式当且仅当a1 a2 an 或b1 b2 bn 时取等号 a1b1 a2b2 anbn a1bj1 a2bj2 anbjn a1bn a2bn 1 anb1 已知两组数1 2 3和45 25 30 若c1 c2 c3是45 25 30的一个排列 则c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 解析 答案 220180 如图所示 矩形opaq中 a1 a2 b1 b2 则阴影部分的矩形的面积之和 空白部分的矩形的面积之和 解析 由图可知阴影面积 a1b1 a2b2 空白面积 a1b2 a2b1 根据顺序和 逆序和 可知答案 答案 利用排序不等式证明不等式 点评 1 利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况 关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组 2 在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时 要使用排序不等式 先要根据所给字母在不等式中地位的对称性 限定一种大小关系 方可应用排序不等式求证 利用排序不等式求最值 点评 利用排序不等式求最值时 先要对待证不等式及已知条件仔细分析 观察不等式的结构 明确两个数组的大小顺序 分清顺序和 乱序和及逆序和 由于乱序和是不确定的 根据需要写出其中的一个即可 一般最值是顺序和或逆序和 1 有a b c d四个人同时去银行同一窗口排队办理业务 办理业务所需时间依次是a需2min b需5min c需4min d需10min 则四人全部办理完业务总的耗时最长为 min 最短为 min 2 若某网吧的3台电脑同时出现了故障 对其维修分别需要45min 25min和30min 每台电脑耽误1min 网吧就会损失0 05元 在只能逐台维修的条件下 按照什么样的顺序维修才能使经济损失降到最小 利用排序不等式求解简单的实际问题 1 解析 由排序不等式 知总耗时最长为4 10 3 5 2 4 1 2 65 min 总耗时最短为4 2 3 4 2 5 1 10 40 min 答案 6540 2 解 设t1 t2 t3为25 30 45的任一排列 由排序不等式 知3t1 2t2 t3 3 25 2 30 45 180 所以按照维修时间由小到大的顺序维修 可使经济损失降到最小 点评 利用排序不等式解决实际生活中的最优化问题 关键是从实际问题中抽象出两个数组 并根据需要得到这两个数组的顺序和 乱序和及逆序和 从而用排序不等式完成解答 3 有十个人各拿一只水桶到水龙头前打水 设水龙头注满第i桶需要timin i 1 2 10 若这些ti各不相同 有两个水龙头可用时 应如何安排这十个人的次序 使他们的总花费时间 包括等候时间 最少 解 不妨设t1 t2 t3 t10 现有两个水龙头 只要安排t1 t3 t9在一个水龙头 t2 t4 t10在另一个水龙头打水 ti越小排得越靠前 则总时间t 5t1 5t2 4t3 4t4 3t5 3t6 2t7 2t8 t9 t10 这是一个逆序和 故数值最小 1 在解答数学问题时 常常涉及一些可以比较大小的量 它们之间并没有预先规定大小顺序 在解答问题时 我们可以利用排序不等式的思想方法 将它们按一定顺序排列起来 继而利用不等关系来解题 因此 对于排序不等式 我们要记住的是处理问题的这种思想及方法 同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题 2 使用排序不等式 必须出现有大小顺序的两列数 或代数式 来探求对应项的积的和的大小关系 3 排序不等式有广泛的应用 许多重要的不等式 如柯西不等式 平均不等式等 都