广东省韶关市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省韶关市2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合p=x|（x3）（x6）0，xz，q=5，7，下列结论成立的是（）aqpbpq=pcpq=qdpq=52（5分）已知i为虚数单位，复数z=在复平面对应点z在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（5分）设xr，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）abc2d4（5分）已知为第二象限角，sin=，则sin（+2）=（）abcd5（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=cosxbf（x）=cf（x）=lgxdf（x）=6（5分）过双曲线=1，（a0，b0）的右焦点f作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线于a、b两点，若oab（o为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）abcd27（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）a2b6c2（+）d2（+）+28（5分）记x表示不超过x的最大整数，函数f（x）=，在x0时，恒有f（x）=0，则实数a的取值范围是（）aa1b0a1cad0a二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）数列an满足an+1=3an，nn*，且前3项之和等于13，则该数列的通项公式an=10（5分）（x2+）5的展开式中的常数项为（用数字作答）11（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为12（5分）若不等式|x1|x3|a解集是，则实数a的取值范围是13（5分）在平面直角坐标系中，有一个以o为顶点，边长为1的正方形oabc，其中a（1，0），b（1，1），曲线y=x2与y=在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点m（x，y），则点m取自阴影部分的概率为选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在极坐标系中，圆24cos+3=0上的动点p到直线=（r）的距离最小值是【几何证明选讲选做题】15如图，在半圆o中，c是圆o上一点，直径abcd，垂足为d，debc，垂足为e，若ab=6，ad=1，则cebc=三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设abc的三内角分别是a、b、c若f（）=，且ac=1，bc=3，求sina的值17（12分）某校为了响应中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见精神，落实“生命和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立成绩如下：（单位：个/分钟）甲8081937288758384乙8293708477877885（1）用茎叶图表示这两组数据（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为，求的分布列及数学期望e（参考数据：22+12+112+102+62+72+12+22=316，02+112+122+22+52+52+42+32=344）18（14分）如图，abcd是边长为3的正方形，abef是矩形，平面abcd平面abef，g为ec的中点（1）求证：ac平面bfg；（2）若三棱锥cdgb的体积为，求三棱柱adfbce的体积19（14分）已知数列an满足a1=，an+1an2an+1+1=0，nn*（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：+n20（14分）设a、b是焦距为2的椭圆c1：x2+=1（a1）的左、右顶点，曲线c2上的动点p满足kapkbp=a，其中，kap和kbp是分别直线ap、bp的斜率（1）求曲线c2的方程；（2）直线mn与椭圆c1只有一个公共点且交曲线c2于m，n两点，若以线段mn为直径的圆过点b，求直线mn的方程21（14分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，ar；（1）设h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定义域内存在极值，求a的取值范围；（2）设f（x）是f（x）的导函数，若0x1x2，a0，f（t）=（x1tx2），求证：t广东省韶关市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合p=x|（x3）（x6）0，xz，q=5，7，下列结论成立的是（）aqpbpq=pcpq=qdpq=5考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；集合分析：化简p=x|（x3）（x6）0，xz=3，4，5，6，从而解得解答：解：p=x|（x3）（x6）0，xz=3，4，5，6，故pq=5；故选d点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题2（5分）已知i为虚数单位，复数z=在复平面对应点z在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：复数z=12i在复平面对应点z（1，2）在第三象限故选：c点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3（5分）设xr，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）abc2d考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，最后求出向量的模解答：解：已知：，由于：所以：所以：x2=0解得：x=2所以：=故选：a点评：本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的模，向量的加减运算，属于基础题型4（5分）已知为第二象限角，sin=，则sin（+2）=（）abcd考点：二倍角的正弦；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：由为第二象限角及sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：为第二象限角，sin=，cos=，则原式=sin2=2sincos=故选：c点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键5（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=cosxbf（x）=cf（x）=lgxdf（x）=考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案解答：解：a：f（x）=cosx、c：f（x）=lgx，不是奇函数，故不满足条件f（x）+f（x）=0，又b：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件f（x）存在零点，而d：f（x）=既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故d：f（x）=符合输出的条件故选：d点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6（5分）过双曲线=1，（a0，b0）的右焦点f作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线于a、b两点，若oab（o为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）abcd2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由等边三角形和双曲线的对称性，可得，oaf=30，再由渐近线方程，可得b=a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到解答：解：由于oab（o为坐标原点）是等边三角形，则由对称可得，oaf=30，双曲线的渐近线方程为y=x，即有tan30=，即b=a，又c=a，则e=故选b点评：本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题7（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）a2b6c2（+）d2（+）+2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图得出空间几何体的直观图，运用几何体的性质求解侧面积解答：解：根据三视图画出直观图，得出：pa=2，ac=2，ab=，pb=，pa面abcd，四边形abcd为正方形，这个四棱锥的侧面积为2+2=2（），故选：c点评：本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的性质，关键是确定直观图，恢复得出直线平面的位置关系，属于中档题8（5分）记x表示不超过x的最大整数，函数f（x）=，在x0时，恒有f（x）=0，则实数a的取值范围是（）aa1b0a1cad0a考点：函数的零点 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意，01；再结合x0求a的取值范围解答：解：由题意，01；故；故ax1，又x0，故a1；故选a点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）数列an满足an+1=3an，nn*，且前3项之和等于13，则该数列的通项公式an=3n1考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：易得数列an是公比为3的等比数列，由已知数据可得a1，可得通项公式解答：解：数列an满足an+1=3an，=3，即数列an是公比为3的等比数列，又前3项之和等于13，a1+3a1+9a1=13，a1=1，该数列的通项公式an=13n1=3n1故答案为：3n1点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题10（5分）（x2+）5的展开式中的常数项为10（用数字作答）考点：二项式定理 专题：计算题分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：（x2+）5的展开式中的通项公式为 tr+1=x102rx3r=x105r令105r=0，解得 r=2，展开式中的常数项为 =10，故答案为 10点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点b（2，0）时，z=x+y有最小值2故答案为：2点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解12（5分）若不等式|x1|x3|a解集是，则实数a的取值范围是（2，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：根据绝对值的性质，我们可以求出|x1|x3|的最大值，结合不等式|x1|x3|a（xr）的解集为空集，可得|x1|x3|a恒成立，即a大于|x1|x3|的最大值，解不等式可得实数a的取值范围解答：解：|x1|x3|=|x1|3x|x1x+3|=2，若不等式|x1|x3|a（xr）的解集为空集，则|x1|x3|a恒成立即a2实数a的取值范围是（2，+）故答案为：（2，+）点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键13（5分）在平面直角坐标系中，有一个以o为顶点，边长为1的正方形oabc，其中a（1，0），b（1，1），曲线y=x2与y=在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点m（x，y），则点m取自阴影部分的概率为考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率解答：解：由题意，阴影部分的面积为=，因为正方形的面积为1，所以点m取自阴影部分的概率为p=故答案为：点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在极坐标系中，圆24cos+3=0上的动点p到直线=（r）的距离最小值是1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：圆24cos+3=0化为x2+y24x+3=0，可得圆心c（2，0），半径r=1直线=（r）化为利用点到直线的距离公式可得：圆心c到直线的距离d，即可得出圆24cos+3=0上的动点p到直线=（r）的距离最小值=dr解答：解：圆24cos+3=0化为x2+y24x+3=0，配方为（x2）2+y2=1，可得圆心c（2，0），半径r=1直线=（r）化为圆心c到直线的距离d=，圆24cos+3=0上的动点p到直线=（r）的距离最小值=dr=1故答案为：1点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆上的点到直线的距离，考查了计算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15如图，在半圆o中，c是圆o上一点，直径abcd，垂足为d，debc，垂足为e，若ab=6，ad=1，则cebc=5考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆；推理和证明分析：由已知条件利用垂直径定理和相交弦定理得cd2=adbd，从而得cd=，=，由debc，利用等积法能求出de=，由勾股定理得ce=，由此能求出cebc解答：解：c是圆o上一点，直径abcd，垂足为d，ab=6，ad=1，cd2=adbd=1（61）=5，解得cd=，=，debc，垂足为e，解得de=，ce=，cebc=5故答案为：5点评：本题考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理和相交弦定理的合理运用三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设abc的三内角分别是a、b、c若f（）=，且ac=1，bc=3，求sina的值考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=cos2x，从而可求最小正周期和最大值；（2）由已知先求得cosc的值，即可求sinc的值，由余弦定理可得：ab的值，从而由正弦定理得sina的值解答：解：（1）f（x）=2cos（2x+）+sin2x=cos2xsin2x+sin2x=cos2x函数f（x）的最小正周期t=，函数f（x）的最大值是1；（2）f（x）=cos2x，f（）=cosc=，可得：cosc=sinc=由余弦定理可得：ab2=bc2+ac22acbccosc=9+12=7，既得ab=由正弦定理：可得：sina=点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题17（12分）某校为了响应中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见精神，落实“生命和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立成绩如下：（单位：个/分钟）甲8081937288758384乙8293708477877885（1）用茎叶图表示这两组数据（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为，求的分布列及数学期望e（参考数据：22+12+112+102+62+72+12+22=316，02+112+122+22+52+52+42+32=344）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由班上甲乙两位同学的8次测试成绩，能作出表示这两组数据的茎叶图（2）求出，由，得甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适（3）由题意知，的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望e解答：解：（1）由班上甲乙两位同学的8次测试成绩，作出表示这两组数据的茎叶图，如右图所示（2）=（80+81+93+72+88+75+83+84）=82，=（82+93+70+84+77+87+78+85）=82，=22+12+112+（10）2+62+（7）2+12+22=39.5，=02+122+（12）2+22+（5）2+52+（4）2+32=43，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适（3）由题意知，的取值为0，1，2，3，由表格知高于79个每分钟的频率为，高于79个每分钟的根率为，p（=0）=（1）3=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 pe=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18（14分）如图，abcd是边长为3的正方形，abef是矩形，平面abcd平面abef，g为ec的中点（1）求证：ac平面bfg；（2）若三棱锥cdgb的体积为，求三棱柱adfbce的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据线线平行得到线面平行即可，（2）先求出三角形bce的面积，从而求出三棱柱adfbce的体积解答：解：（1）如图示：连结ae交bf于点o，连结og，o、g分别是ae、ce的中点，ogac，ac平面bfg，og平面bfg，ac平面bfg；（2）vcdgb=sbcg3=，sbcg=，sbce=，三棱柱adfbce的体积是：3=点评：本题考查了面面平行的判定定理，考查了求几何体的体积问题，本题属于中档题19（14分）已知数列an满足a1=，an+1an2an+1+1=0，nn*（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：+n考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）由数列递推式求得，然后利用作差法证明数列是等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出数列an的通项，整理后利用放缩法证明不等式右边，利用数学归纳法证明不等式左边解答：证明：（1）由an+1an2an+1+1=0，得，则=数列是以1为公差的等差数列；（2）由数列是以1为公差的等差数列，且，则=1，则+1=1+1=n；下面利用数学归纳法证明+，当n=1时，假设当n=k时结论成立，即，那么，当n=k+1时，要证，只要证k2（k+2）2+（k+1）2（k+3）（k+1）3（k+2），也就是证：k4+4k3+4k2+k3+3k2+2k2+6k+k+3k4+2k3+3k3+6k2+3k2+6k+2+k，即证：32此式显然成立综上，当n=k+1时，不等式+成立+n点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法及数学归纳法证明数列不等式，属中高档题20（14分）设a、b是焦距为2的椭圆c1：x2+=1（a1）的左、右顶点，曲线c2上的动点p满足kapkbp=a，其中，kap和kbp是分别直线ap、bp的斜率（1）求曲线c2的方程；（2）直线mn与椭圆c1只有一个公共点且交曲线c2于m，n两点，若以线段mn为直径的圆过点b，求直线mn的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题易知a（1，0）、b（1，0），通过设p（x，y），利用=2（x1）计算即得结论；（2）通过分析可设直线mn的方程为：y=kx+m，代入椭圆c1方程，利用根的判别式可得m2=k2+4，结合kbmkmn=mk=1，计算即可解答：解：（1）由题易知b2=1，解得a=2，a、b的坐标为a（1，0）、b（1，0），设p（x，y），则=2（x1），即y=1x2（x1），曲线c2的方程为：y=1x2（x1）；（2）若直线mn垂直于x轴，则与曲线c2只有一个交点，与题意不符，直线mn垂直斜率，设直线mn的方程为：y=kx+m，代入椭圆c1方程，整理得：（4+k2）x2+2kmx+m24=0，由题意可得直线与椭圆相切，1=（2km）24（4+k2）（m24）=0，即m2=k2+4，将y=kx+m代入y=1x2（x1），整