梅涅劳斯定理.doc

共线点三点共线的意思：三点在同一条直线上。证明方法：方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐标 看是否满足该解析式 方法二：设三点为。利用向量证明：a倍 = （其中a为非零实数）。 方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。 方法四: 证三次两点一线 (误，两点必然共线)。 方法五:用梅涅劳斯定理。 方法六：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。 方法七：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。 方法八：证明其夹角为180 方法九：设 ，证明面积为0。例1证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线）上的射影共线。 证明：如图1-1,外接圆上一点到的射影分别为。 证明：及四点共圆 又易知点三点共线。（此三点所在直线称西莫松simson线）图1-1例2.证明：三角形一顶点在其他两角内外平分线上的射影是共线的四点。如图1-2，假设在中，和是的内外角平分线，其中和表示顶点在它们上的射影，和是的内外角平分线，其中和表示顶点在它们上的射影，求证：四点共线。 证明：连直线和，以表示的中点，易见四边形为矩形，所以，一方面通过的中点，另一方面又有 即直线与重合。同理，直线也与重合，故四点都在直线上，共线。图1-2练习题1证明：梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共线。证明：如图1-3，梯形,点为两腰与的交点，为对角线与的交点。连结分别交于于。先过点作且与、相交于。易知 故 同理：图1-3 则分别是与的中点， 故共线。练习题2.如图1-4，分别以德两边、为边向外作正方形,再以为斜边向的同侧做等腰,求证：三点共线。 证明：分别过点向作垂线，垂足分别为 要证明共线，只需证, 再过 易知图1-4练习题3.如图1-5，圆内接为不等边三角形，过点分别作圆的切线依次交直线于，求证:三点共线。 证明：，易知又易证,则，同理 同理，故，图1-5由梅涅劳斯定理的逆定理，知三点共线。练习题4.如图1-6，以锐角的一边为直径作圆，过点作圆的两条切线，切点为，点是的垂心.求证：三点共线。证明：射线交于，显然为高。记与的交点为，易知三点共线。连接，易知，五点共圆，更有四点共圆，此时,（四点共圆），图1-6即；又，所以，故同理，。因为，所以三点共线。练习题5.如图1-7，延长凸四边形的边交于点，延长边交于点，又分别是的中点，求证：三点共线。证明：设的中点为，辅助线如图所示，由可知，点必在内，此时，图1-7同理,。因此。此时，直线平分，即三点共线。梅涅劳斯（Menelaus）定理梅涅劳斯（Menelaus）（简称梅氏定理）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。数学意义：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是赛瓦定理。一，梅涅劳斯定理：设的三边（或所在直线）被一直线分别截于点，则。证明：（证法一）如图2-1过点作直线与截线平行，交直线于，则 在中，有 在中, 有 得: 故 得证。 （证法二）如图2-2图2-1 即： 整理式可得： 图2-2得证。（证法三）如图2-3作,垂足分别为，则有, , 得证。图2-3二，逆定理：设在三边（或所在直线）上各取一点满足关系，则此三点共线。 证明：（同一法）如图2-4图2-4 连接交于，由梅涅劳斯定理知： 又 由于在同一直线上的三点中，位于边上的点的个数为0或2，所以和或者同在线段上，或者同在的延长线上；若和或者同在线段上，则和必定重合，不然的话,设,这时，于是可得： ，与矛盾。 类似地可证当和同在延长线上时,和也重合。 综上所述：三点共线。例1.设四边形两双对边相交于，如图2-5，证明的中点共线。证明：设分别是的中点，在ABE中，取及的中点， 易知：直线且通过 直线且通过 直线且通过 又 , , 而三点共线，可知图2-5 由梅涅劳斯定理知三点共线。例2证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线）上的射影共线。 证明：如图2-6,外接圆上一点到的射影分别为。证法一（梅涅劳斯定理）： 连结图2-6将得：由梅涅劳斯定理可知三点共线。练习题1.如图2-7，在一条直线上取点，在另一条直线上取点，记直线和,和，和的交点依次为，证明：点共线。证明：记直线和，和，和的交点，对，线段、分别与三边或其所在直线交于三点，由梅涅劳斯定理有： , 图2-7 , , 。 将上面五个式子相乘可得：,由梅涅劳斯逆定理知：点共线。练习题2.如图2-8，从引四条直线，另外两条直线分别交这四条直线于和，试证：证明：1)若，结论显然成立； 2)若与相交于点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得： , , 图2-8将上面四个式子相乘可得： 即：练习题4证明：梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共线。证明：证明：（梅涅劳斯定理）如图2-9，梯形， 点为两腰与的交点，为对角线与的交点。分别为中点。在中，连接，交延长线于， 由梅涅劳斯定理有： 为中点 图2-9 梯形, , , 有, 得： 由梅涅劳斯逆定理知：与重合，所以共线。 同理，在中，可证共线。 综上所述:共线，得证。练习题5.如图2-10，过任意的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和的延长线交于点证明：。证明：, , , 则 同理： , 图2-10 故三点共线。练习题6.如图2-11，已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点。 证明： 由梅涅劳斯定理得： ， 又， 图2-11 整理得：。练习题7.如图2-12，若中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。 证明：在中，作的平分线 则： 图2-12 即： 作上的高 对于依梅涅劳斯定理有 于是 即： 依分比定理有： 德萨格（Desargues）定理定理：设和彼此对应，使得对应顶点的连线共点，那么对应边的交点共线。证明：如图3-1，应用透视投影，将此定理变换成的情形，然后只要再去证明R也必须属于即可。也就是Desargues定理的特殊情形：设线段和，则必有,此证明如下（如图3-2）。有已知得：,用相似三角形的定理即得：图3-1所以再用相似