球面和圆柱面相等对应关系的研究.doc

球面和圆柱面相等对应关系的研究 杨道富 (黄河水利职业技术学院，河南 开封 475001)摘要：建立轴射圆柱面投影方法，研究轴射圆柱面投影下球面向圆柱面投影的理论，解决正投影无法解决的复杂的旋转体投影问题。用轴射圆柱面投影法的投影理论，建立球面和圆柱面的一一对应关系，找出二者之间的某些几何规律，该投影下任意形状的球面投影到圆柱面上是相等的，建立球面的轴射圆柱面投影定理，解决球面不规则计算问题。关键词： 轴射圆柱面投影；球面面积；圆柱投影面；投影方法；定理建立 3 球体表面和圆柱面之间原本没有直接关系。对于球面投影和计算问题，一直是用一些传统的公式或复杂的积分求解，还仅限于规则球面计算。现在采用一种新的轴射圆柱面投影方法，建立球面和圆柱面的一一对应关系，找出它们二者之间的某些几何元素的对应规律，试图解决球面不规则计算问题。1 轴射圆柱面投影定理取直径相同的一球面和一圆柱面，假想置球面在圆柱面内，圆柱侧面外切于球体，这样两个旋转体的旋转轴恰好重合。假想从旋转轴线上射出一组光线，所有光线都垂直于旋转轴线向四周辐射。取球面的外切圆柱面为投影面。这样的投影为轴射圆柱面投影法。用轴射圆柱面投影法将球面上任意形状的一部分球面，投影到外切圆柱的侧面上，在球面上的一部分不规则球面与其在圆柱面上的投影面积相等。如图1所示：球面上任意一曲面SA在圆柱面P上的投影SA相等，记为SA=SA.。定理：在轴射圆柱面投影下，任意形状的球面与其在外切圆柱面上投影面积相等 。此定理称为轴射圆柱面投影法下球面与圆柱面的等面积投影定理。图1 球面的轴射圆柱面投影图2 定理的证明 如图2所示，一球面被任意两垂直轴向的水平平行平面切开（图示截面平面P1，P2），然后又被两相交于旋转轴的截平面U1，U2 沿径向切开，所得球面面积为Sk。Sk在圆柱投影面上的投影面积为、h、R之积。与轴射投影相同。下面就证明Sk与Sk的投影面积（Sk=hR）相对应的关系。图2 根据轴射圆柱面投影截取的单元体图 欲求Sk，需要建立积分公式，如图3所示，利用球面坐标进行积分，采用三组坐标面，其中：R=常数，=常数，=常数。把积分区域Sk分成许多小区域，考虑由、 各取得微小增量d、d。 d为R与Z轴之间的微小变化角，d是绕Z轴旋转的微小变化角。d、d组成微小四边形ABCD，不计高阶无穷小，可把四边形看成纬线方向AB = r d；经线方向AD=Rd；其中r= Rcos。于是得dsk=ABAD= r dRd= R2cosdd积分区域为：12 ， 12，于是得：Sk=sk dsk= R2cosdd= R2dcosd= R2(21 )( sin2sin1)图3 单元体微分图图4 单元体的径向剖面图5 单元体的赤道剖面 对上式进行讨论：由图4、图5可知：有如下关系：sin2sin1=(AA/R)(BB/R)=(AABB)/R=h/R Sk=( R2h)/R= Rh 式中R 等于球面外切圆柱面被U1，U2 所截外切圆柱上的弧长,h等于P1和P2 所截球体外切圆柱侧面的高度，故Sk 在圆柱投影面上的投影面积为Rh 。其中 Sk为0Sk4R2 图1中的SA可由SA代替，SA由Rh代替：SA=Sk= Sk1+ Sk2+ Sk3+ + SknSA=R1h1 + R2h2 + R3h3 + + RnnhnSk1= R1h1Sk2= R2h2-Skn=RnnhnSA= SA 即:在轴射圆柱面投影下,任意形状的球面与其在外切圆柱面上投影面积相等。3定理推论 (1) 直径相同、高度相同的球面面积与圆柱侧面面积相等。 (2) 直径相同的球面和柱面被垂直与旋转轴的两平行平面同时截切，所得二者原有表面积相等。 (3) 球带(或球冠)表面积等于大圆（赤道圆）周长与球冠(或球带)高度之积。 (4) 球面的两经线与两纬线包围面积等于大圆（赤道圆）弧长与两纬线轴向高差之积。 (5)球瓣面积等于大圆（赤道圆）弧长与球径之积。4结束语 轴射圆柱面投影法解决了球面投影和面积计算问题，仅提供了球面几何图形中的简化计算方法。据此，凡是球面计算问题均可解决，并在国防、航空、机械制造、航海、交通、建筑工程等方面都应该有不同程度的应用。该新的投影方法，希望用于地图绘制，这样绘出的地图，采用投影变形公式建立地图与实际地面的关系，这种地图也可以应用于军事或海上航行导航。该投影方法可以解决一些复杂旋转体的图形表达、绘图和几何度量问题，例如水轮机叶片、双曲螺旋线等，可以用平面几何解决球面几何上的某些问题。 参考文献1 H切特维鲁新. 射影几何学M. 北京：高等教育出版社，1981.2樊映川. 高等数学讲义M. 上海：人民教育出版社，1979.3许松照. 画法几何及阴影透视M. 北京：中国工业出版社，1982.作者简介：杨道富（1956-），男，河南济源人，副教授，黄河水院学报编辑部主任，从事学报编辑和水利水电工程专业教学与设计工作，主要研究方