广西高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2016年广西高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合a=x|（x+1）（3x）0，集合b=x|1x0，则ab等于（）a（1，3）b（，1）c（1，3）d（1，1）2在复平面内，复数+2i2对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知双曲线=1（b0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）a2b2c6d84已知，3sin2=2cos，则cos（）等于（）abcd5已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）a2b2或1c1或3d2或6已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d47（x22）（1+）5的展开式中x1的系数为（）a60b50c40d208已知函数f（x）=asin（x+）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）af（x）=sin（x+）bf（x）=sin（x+）cf（x）=sin（x+）df（x）=sin（x）9高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）abcd10若xlog521，则函数f（x）=4x2x+13的最小值为（）a4b3c1d011过点p（2，0）的直线与抛物线c：y2=4x相交于a，b两点，且|pa|=|ab|，则点a到抛物线c的焦点的距离为（）abcd212若函数f（x）=（x2cx+5）ex在区间，4上单调递增，则实数c的取值范围是（）a（，2b（，4c（，8d2，4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，的夹角为，|=，|=2，则（2）=14如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p为棱dc的中点，则d1p与bc1所在的直线所成角的余弦值等于15包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为16已知三角形abc中，三边长分别是a，b，c，面积s=a2（bc）2，b+c=8，则s的最大值是三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为sn，且sn=an1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2log3+1，求+18某技术公司新开发了a，b两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小鱼82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）94，100产品a81240328产品b71840296（1）试分别估计产品a，产品b为正品的概率；（2）生产一件产品a，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品b，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下记x为生产一件产品a和一件产品b所得的总利润，求随机变量x的分布列和数学期望19如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，pd平面abcd，e为pb上的点，且2be=ep（1）证明：acde；（2）若pc=bc，求二面角eacp的余弦值20已知椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为f（1，0），短轴的一个端点b到f的距离等于焦距（）求椭圆c的方程；（）过点f的直线l与椭圆c交于不同的两点m，n，是否存在直线l，使得bfm与bfn的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由21已知函数f（x）=+alnx（a0，ar）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22已知：直线ab过圆心o，交o于a、b，直线af交o于a、f（不与b重合），直线l与o相切于c，交ab于e，且与af垂直，垂足为g，连接ac（1）求证：bac=cag；（2）求证：ac2=aeaf选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线c1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线c2的极坐标方程为=4cos（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线c1位置关系；（2）求c1与c2交点的极坐标（0，02）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=+ax（a0）在（1，+）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值2016年广西高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合a=x|（x+1）（3x）0，集合b=x|1x0，则ab等于（）a（1，3）b（，1）c（1，3）d（1，1）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法【分析】求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可【解答】解：a=x|（x+1）（3x）0=x|1x3，b=x|1x0=x|x1，则ab=x|1x1=（1，1）故选：d【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键2在复平面内，复数+2i2对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：在复平面内，复数+2i2=2=1+i2=1+i的点（1，1）位于第二象限故选：b【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知双曲线=1（b0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）a2b2c6d8【考点】双曲线的简单性质【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线=1（b0）的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距【解答】解：设双曲线=1（b0）的焦距为2c，由已知得，a=2；又离心率e=b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8故选：d【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目4已知，3sin2=2cos，则cos（）等于（）abcd【考点】二倍角的正弦【专题】三角函数的求值【分析】由条件求得sin 和cos 的值，再根据cos（）=cos求得结果【解答】解：，3sin2=2cos，sin=，cos=cos（）=cos=（）=，故选：c【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题5已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）a2b2或1c1或3d2或【考点】程序框图【专题】探究型；分类讨论；数学模型法；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值当x0时，由y=（）x4=0，可得：x=2；当x0时，由y=log+1=0，可得：x=；故选：d【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d4【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（1，2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点a（1，0）时，z最大是2，故选b【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（x22）（1+）5的展开式中x1的系数为（）a60b50c40d20【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，可得（x22）（1+）5的展开式中x1的系数【解答】解：（x22）（1+）5=（x22）+，故展开式中x1的系数为2322=60，故选：a【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题8已知函数f（x）=asin（x+）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）af（x）=sin（x+）bf（x）=sin（x+）cf（x）=sin（x+）df（x）=sin（x）【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】函数的图象的顶点坐标求出a的范围，由周期求出 的范围，根据f（2）0，结合所给的选项得出结论【解答】解：由函数f（x）=asin（x+）的图象可得0a1，t=2，求得01再根据f（2）0，结合所给的选项，故选：b【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题9高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，原直三棱柱的体积为24=8由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，四棱锥的体积为=4该几何体体积与原三棱柱的体积比为故选c【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题10若xlog521，则函数f（x）=4x2x+13的最小值为（）a4b3c1d0【考点】函数的最值及其几何意义【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用【分析】由条件求得xlog25，令t=2x（t），即有y=t22t3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值【解答】解：xlog521，即为xlog25，2x，令t=2x（t），即有y=t22t3=（t1）24，当t=1，即x=0时，取得最小值4故选：a【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题11过点p（2，0）的直线与抛物线c：y2=4x相交于a，b两点，且|pa|=|ab|，则点a到抛物线c的焦点的距离为（）abcd2【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用过点p（2，0）的直线与抛物线c：y2=4x相交于a，b两点，且|pa|=|ab|，求出a的横坐标，即可求出点a到抛物线c的焦点的距离【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则分别过a，b作直线x=2的垂线，垂足分别为d，e|pa|=|ab|，3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，x1=，点a到抛物线c的焦点的距离为1+=故选：a【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定a的横坐标12若函数f（x）=（x2cx+5）ex在区间，4上单调递增，则实数c的取值范围是（）a（，2b（，4c（，8d2，4【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】若函数f（x）=（x2cx+5）ex在区间，4上单调递增，则f（x）=x2+（2c）x+（5c）ex0在区间，4上恒成立，即c在区间，4上恒成立，令g（x）=，利用导数法求出函数的最小值，可得答案【解答】解：若函数f（x）=（x2cx+5）ex在区间，4上单调递增，则f（x）=x2+（2c）x+（5c）ex0在区间，4上恒成立，即x2+（2c）x+（5c）0在区间，4上恒成立，即c在区间，4上恒成立，令g（x）=，则g（x）=，令g（x）=0，则x=1，或3，当x，1）时，g（x）0，g（x）为减函数；当x（1，4时，g（x）0，g（x）为增函数；故当x=1时，g（x）取最小值4，故c（，4，故选：b【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，恒成立问题，难度中档二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，的夹角为，|=，|=2，则（2）=6【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出2和，将（2）展开得出答案【解答】解： =2， 2=|2=2，（2）=22=2+22=6故答案为：6【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题14如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p为棱dc的中点，则d1p与bc1所在的直线所成角的余弦值等于【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角【分析】连结ad1、ap，由ad1bc1，得ad1p就是d1p与bc1所在的直线所成角，由此能求出d1p与bc1所在的直线所成角的余弦值【解答】解：连结ad1、ap，ad1bc1，ad1p就是d1p与bc1所在的直线所成角，设ab=2，则ap=d1p=，ad1=，cosad1p=d1p与bc1所在的直线所成角的余弦值等于故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用15包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】先求出基本事件总数，再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数，由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率【解答】解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，基本事件总数n=，甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m=4，甲与乙、丙都相邻的概率p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用16已知三角形abc中，三边长分别是a，b，c，面积s=a2（bc）2，b+c=8，则s的最大值是【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】利用三角形面积公式变形出s，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出s的最大值【解答】解：a2=b2+c22bccosa，即a2b2c2=2bccosa，sabc=bcsina，分别代入已知等式得： bcsina=2bc2bccosa，即sina=44cosa，代入sin2a+cos2a=1得：cosa=，sina=，b+c=8，c=8b，sabc=bcsina=bc=b（8b）（）2=，当且仅当b=8b，即b=4时取等号，则abc面积s的最大值为故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为sn，且sn=an1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2log3+1，求+【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）由sn=an1（nn*），可得当n=1时，1，解得a1当n2时，an=snsn1再利用等比数列的通项公式即可得出（2）bn=2log3+1=2n1，可得=即可得出【解答】解：（1）sn=an1（nn*），当n=1时，1，解得a1=2当n2时，an=snsn1=1，化为an=3an1，数列an是等比数列，首项为2，公比为3an=23n1（2）bn=2log3+1=2n1，=+=+=【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18某技术公司新开发了a，b两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小鱼82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）94，100产品a81240328产品b71840296（1）试分别估计产品a，产品b为正品的概率；（2）生产一件产品a，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品b，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下记x为生产一件产品a和一件产品b所得的总利润，求随机变量x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品a，产品b为正品的概率（2）随机变量x的所有取值为180，90，60，30，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和e（x）【解答】解：（1）由检测结果统计表，得产品a为正品的概率为： =，产品b为正品的概率为： =（2）随机变量x的所有取值为180，90，60，30，p（x=180）=，p（x=90）=，p（x=60）=，p（x=30）=，x的分布列为： x 180 90 6030 pe（x）=132【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一19如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，pd平面abcd，e为pb上的点，且2be=ep（1）证明：acde；（2）若pc=bc，求二面角eacp的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由线面垂直的定义，得到pdac，在正方形abcd中，证出bdac，根据线面垂直判定定理证出ac平面pbd，从而得到acde；（2）建立空间直角坐标系，如图所示得d、a、c、p、e的坐标，从而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（1，1，1）是平面acp的一个法向量， =（1，1，1）是平面ace的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角eacp的余弦值【解答】解：（1）pd平面abcd，ac平面abcdpdac底面abcd是正方形，bdac，pd、bd是平面pbd内的相交直线，ac平面pbdde平面pbd，acde（2）分别以dp、da、dc所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设bc=3，则cp=3，dp=3，结合2be=ep可得d（0，0，0），a（0，3，0），c（0，0，3），p（3，0，0），e（1，2，2）=（0，3，3），=（3，0，3），=（1，2，1）设平面acp的一个法向量为=（x，y，z），可得，取x=1得=（1，1，1）同理求得平面ace的一个法向量为=（1，1，1）cos，=，二面角eacp的余弦值等于【点评】本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题20已知椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为f（1，0），短轴的一个端点b到f的距离等于焦距（）求椭圆c的方程；（）过点f的直线l与椭圆c交于不同的两点m，n，是否存在直线l，使得bfm与bfn的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为f（1，0），短轴的一个端点b到f的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆c的方程；（）bfm与bfn的面积比值为2等价于fm与fn比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据fm与fn比值为2，即可求得直线方程【解答】解：（）由已知得c=1，a=2c=2=，椭圆c的方程为（）bfm与bfn的面积比值为2等价于fm与fn比值为2当直线l斜率不存在时，fm与fn比值为1，不符合题意，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1），直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky9k2=0设m（x1，y1），n（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=由fm与fn比值为2得y1=2y2由解得k=，因此存在直线l：y=（x1）使得bfm与bfn的面积比值为2【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，bfm与bfn的面积比值为2等价于fm与fn比值为2是关键21已知函数f（x）=+alnx（a0，ar）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；分类讨论；转化思想【分析】（）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（ii）若在区间（0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e上的最小值小于0即可利用导数研究函数在闭区间1，e上的最小值，先求出导函数f（x），然后讨论研究函数在1，e上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（i）因为，当a=1，令f（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（ii）因为，且a0，令f（x）=0，得到，若在区间1，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间1，e上的最小值小于0即可（1）当a0时，f（x）0对x（0，+）成立，所以，f（x）在区间1，e上单调递减，故f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得，即（2）当a0时，若，则f（x）0对x1，e成立，所以f（x）在区间1，e上单调递减，所以，f（x）在区间1，e上的最小值为，显然，f（x）在区间1，e上的最小值小于0不成立若，即1时，则有xf（x）0+f（x）极小值所以f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得1lna0，解得ae，即a（e，+）舍去；当01，即a1，即有f（x）在1，e递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）0，不成立综上，由（1）（2）可知a符合题意【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22已知：直线ab过圆心o，交o于a、b，直线af交o于a、f（不与b重合），直线l与o相切于c，交ab于e，且与af垂直，垂足为g，连接ac（1）求证：bac=cag；（2）求证：ac2=aeaf【考点】与圆有关的比例线段【专题】证明题；立体几何【分析】（1）连接bc，根据ab为o的直径得到ecb与acg互余，根据弦切角得到ecb=bac，得到bac与acg互余，再根据cag与acg互余，得到bac=cag；（2）连接cf，利用弦切角结合（1）的结论，可得gcf=ecb，再用外角进行等量代换，得到afc=ace，结合fac=cae得到faccae，从而得到ac是ae、af的比例中项，从而得到ac2=aeaf【解答】证明：（1）连接bc，ab为o的直径acb=90ecb+acg=90gc与o相切于c，ecb=bacbac+acg=90又agcgcag+acg=90bac=cag（2）由（1）可知eac=caf，连接cfge与o相切于c，gcf=caf=bac=ecbafc=gcf+90，ace=ecb+90afc=acefa