(谭前富)讲义十一二次函数的性质二.doc

小班辅导讲义小班辅导讲义 课 题 二次函数的性质二 教学目标 1 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质 2 了解二次函数与二次方程的相互关系 重点 难点 1 二次函数图像和性质中的定性判断问题 2 探索二次函数的变化规律 掌握函数的最大值 或最小值 及函数的 增减性的概念 会求二次函数的最值 并能根据性质判断函数在某一范 围内的增减性 考点及考试要求 1 二次函数的图像和性质 2 二次函数和一元二次方程的联系 教学内容 知识框架 二次函数的基本性质 会结合图像判定函数所具有的性质 知识点 1 二次函数的基本性质 1 二次函数的定义 性质 例例 1 1 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点 则的 x 2 2 22 mmxmy m 值是 2 正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像的综合 例例 2 2 已知 0 a 在同一直角坐标系中 函数 axy 与 2 axy 的图象有可能是 3 确定 a b c 的值 二次函数 y ax2 bx c a b c 是常数 且 a 0 a 0 开口向 上 a 0 开口向下 抛物线的对称轴为 x 由图像确定的正负 由 a 的符 2 b a 2 b a 号确定出 b 的符号 由 x 0 时 y c 知 c 的符号取决于图像与 y 轴的交点纵坐标 与 y 轴交点在 y 轴的正半轴时 c 0 与 y 轴交点在 y 轴的负半轴时 c 0 确定了 a b c 的符号 易确定 abc 的符号 确定 a b c 的符号 x 1 时 y a b c 由图像 y 的值确定 a b c 的符号 与之类似的 还经常出现 O y x 1 1 A x y O 1 1 B x y O1 1 C x y O 1 1 D 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 2 判断 4a 2b c 的符号 易知 x 2 时 y 4a 2b c 由图像 y 的值确定 4a 2b c 的符 号 还有判断 a b c 的符号 x 1 时 y a b c 等等 与抛物线的对称轴有关的一些值的符号 抛物线的对称轴为 x 根据对称性知 2 b a 取到对称轴距离相等的两个不同的 x 值时 y 值相等 即当 x m 或 x m 时 2 b a 2 b a y 值相等 中考考查时 通常知道 x m 时 y 值的符号 让确定出 x m 时 y 2 b a 2 b a 值的符号 由对称轴 x 的确定值判断 a 与 b 的关系 如 1 能判断出 a 0 5 b 2 b a 2 b a 顶点与最值 若 x 可以取全体实数 开口向下时 y 在顶点处取得最大值 开口向上 时 y 在顶点处取得最小值 例例 3 3 已知二次函数的图象如图所示 有下列 0 2 acbxaxy 5 个结论 0 abccab 024 cba 的实数 其中正确的结论有 bc32 bammba 1 m A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 4 图象与 x 轴交点 b2 4ac 0 ax2 bx c 0 有两个不相等的实根 b2 4ac 0 ax2 bx c 0 无实根 b2 4ac 0 ax2 bx c 0 有两个相等的实根 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴没有交点 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴只有一个交点 例例 4 4 二次函数与 x 轴的交点个数是 2 21yxx A 0 B 1 C 2 D 3 知识点 2 二次函数的增减性 当抛物线开口向上时 在对称轴的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小 在对称轴的右侧 二次函数 y 值随 x 值的增大而增大 当抛物线开口向下时 在对称轴的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大 在对称轴的右侧 二次函数 y 值随 x 值的增大而减小 典型例题 典型例题 例例 1 1 已知二次函数 a 0 的图象开口向上 经过点 1 2 1 0 2 yaxbxc 下列结论正确的是 A 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 B 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 C 存在一个负数 x0 使得当 x x0 时 函数 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 4 值 y 随 x 的增大而增大 D 存在一个正数 x0 使得当 xx0 时 函数 值 y 随 x 的增大而增大 例例 2 2 函数的最值为 54 8 2 xx y A 最大值为 8 最小值为 0 B 不存在最小值 最大值为 8 C 最小值为 0 不存在最大值 D 不存在最小值 也不存在最大值 例例 3 3 已知函数 0 X 时 函数有最大值 3 最小值 2 求的取值范围 32 2 xxy mm 知识点知识点 3 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 一元二次方程 00 2 acbxax 是二次函数的函数值等于零时的特 殊情况 一元二次方程根的分布 可以利用二次函数图象直观判定 二次函数的图象与 x 轴 交点 图象的位置 也可以用判别式判断 对于一元二次方程和二次函数 1 当 0时 方程有两个不等实数根 函数图象与 x 轴有两个不重合的交点 2 当 0时 方程有两个相等的实数根 函数图象与 x 轴有唯一交点 即图象与 x 轴相切 3 当 0 则图象在 x 轴上方 若 a 0 则图象在 x 轴下方 典型例题 典型例题 例例1 1 已知抛物线与 x 轴的两个交点在点 1 0 两旁 试判断关于 x 的方程的根的情况 例例 2 2 关于x的方程 2 5mxmxm 有两个相等的实数根 则相应二次函数 2 5ymxmxm 与x轴必然相交于 点 此时m 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 5 课后作业课后作业 1 1 顶点坐标问题 顶点坐标问题 1 抛物线的顶点坐标是 3 2 2 xy A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 2 二次函数的图象的顶点坐标是 2 365yxx A B C D 18 18 1 2 14 3 抛物线的顶点坐标为182 2 xxy A 2 7 B 2 25 C 2 7 D 2 9 4 抛物线 是常数 的顶点坐标是 2 2 yxmn mn A B C D mn mn mn mn 2 2 最值问题 最值问题 1 二次函数 2 1 2yx 的最小值是 A 2 B 1 C 3 D 2 3 2 二次函数 2 1 2yx 的图象上最低点的坐标是 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 3 二次函数的最小值是 2 1 2 xy A 2 B 1 C 1 D 2 3 3 对称轴问题 对称轴问题 1 抛物线的对称轴是 2 3 1 2yx A B 1x 1x 例例 3 3 关于二次函数 2 yaxbxc 的图像有下列命题 当 0c 时 函数的图像经过原点 当 0c 且函数的图像开口向下时 方程 2 0axbxc 必有两个不相等的实根 函数图像最高点的纵坐标是 2 4 4 acb a 当 0b 时 函数的图像关于 y 轴对称 其中正确命题的个数是 1 个 2 个 3 个 4 个 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 6 C D 2x 2x 2 抛物线的对称轴是直线 1 3 0 ya xxa A B C D 1x 1x 3x 3x 4 4 抛物线平移问题 抛物线平移问题 1 把二次函数用配方法化成的形式 3 4 1 2 xxy khxay 2 A B 22 4 1 2 xy 42 4 1 2 xy C D 42 4 1 2 xy3 2 1 2 1 2 xy 2 在平面直角坐标系中 将二次函数的图象向上平移 2 个单位 所得图象的解析 2 2xy 式为 A B 22 2 xy22 2 xy C D 2 2 2 xy 2 2 2 xy 3 将抛物线 2 2yx 向下平移 1 个单位 得到的抛物线是 A 2 2 1 yx B 2 2 1 yx C 2 21yx D 2 21yx 4 将函数 2 yxx 的图象向右平移a 0 a 个单位 得到函数 2 32yxx 的图象 则a 的值为 A 1B 2C 3 D 4 5 把抛物线向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的解析式 2 yx 为 A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 6 要得到二次函数的图象 需将的图象 2 22yxx 2 yx A 向左平移 2 个单位 再向下平移 2 个单位 B 向右平移 2 个单位 再向上平移 2 个单位 C 向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 D 向右平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 7 在平面直角坐标系中 先将抛物线关于轴作轴对称变换 再将所得的抛 2 2yxx x 物线关于轴作轴对称变换 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 y A B c D 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 5 5 抛物线图像问题 抛物线图像问题 1 二次函数的图象如图 2 所示 若点 A 1 y1 B 2 y2 是它图象上的两cbxaxy 2 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 5 点 则 y1与 y2的大小关系是 A B C C D 不能确定 21 yy 21 yy 21 yy 2 抛物线的图象如图所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A y x2 x 2 B y 1 2 1 2 1 2 x C y D y 1 2 1 2 1 2 xx2 2 xx 3