广西南宁市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

广西南宁市2015届高考数学二模试卷 （理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集为r，集合a=x|x2+5x60，b=x|x或x8，则a（rb）等于（）a6，8）b3，8c3，8）d1，82（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1i）=2，则z为（）a1+ib1ic2+id2i3（5分）（x）5的展开式中，x的系数为（）a40b40c80d804（5分）如图所示的程序框图，其输出结果是（）a341b1364c1365d13665（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线4x3y+1=0垂直，则双曲线的两条渐进线方程为（）ay=by=cy=dy=6（5分）已知实数x，y满足，若xy的最小值为2，则实数m的值为（）a0b2c4d87（5分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，c=，则abc的面积是（）abcd38（5分）设抛物线c：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形记为p，则图形p的面积s等于（）a1bcd9（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xr是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的偶函数10（5分）某校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（）abcd11（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）a24b6c4d212（5分）设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且sin2a+sin2b+sin2c=，面积s1，2，则下列不等式一定成立的是（）a（a+b）16bbc（b+c）8c6abc12d12abc24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为14（5分）已知函数f（x）=，若f（0）=2，f（1）=1，则函数g（x）=f（x）+x的零点个数为15（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2，若它们的侧面积相等且=，则的值是16（5分）设椭圆中心在坐标原点，a（2，0），b（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与ab相交于点d，与椭圆相交于e，f两点，若=6，则所有k的值为三、解答题（本大题共5小题，共70分）17（12分）在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列（1）求等比数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=（n+2）log2an，求数列的前n项和tn18（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率直方图如图所示，已知次数在100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在110，130）视为达标，次数在130以上视为有优秀（1）求此次抽样的样本总数为多少人？（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校2014-2015学年高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为x，求x的分布列和期望19（12分）如图所示多面体中，ad平面pdc，abcd为平行四边形，e为ad的中点，f为线段bp上一点，cdp=120，ad=3，ap=5，pc=（）若f为bp的中点，求证：ef平面pdc；（）若bf=bp，求直线af与平面pbc所成角的正弦值20（12分）已知抛物线c：y=2x2，直线l：y=kx+2交c于a，b两点，m是线段ab的中点，过m作x轴的垂线c于点n（1）证明：抛物线c在点n处的切线与ab平行；（2）是否存在实数k使以ab为直径的圆m经过点n，若存在，求k的值，若不存在，说明理由21（12分）设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nn*）四、请考生在22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知ab为半圆o的直径，ab=4，c为半圆上一点，过点c作半圆的切线cd，过点a作adcd于d，交半圆于点e，de=1（）求证：ac平分bad；（）求bc的长23已知直线l：（t为参数，k，kz）经过椭圆c：（为参数）的左焦点f（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆c交于a，b两点，求|fa|fb|的最小值24已知函数f（x）=|xa|（1）若f（x）m的解集为x|1x5，求实数a，m的值（2）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）广西南宁市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集为r，集合a=x|x2+5x60，b=x|x或x8，则a（rb）等于（）a6，8）b3，8c3，8）d1，8考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=x|x2+5x60=x|x1或x6，b=x|x或x8，rb=x|x8，则a（rb）=x|1x8，故选：d点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础2（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1i）=2，则z为（）a1+ib1ic2+id2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：（1i）=2，（1+i）（1i）=2（1+i），=1+i，z=1i，故选：b点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3（5分）（x）5的展开式中，x的系数为（）a40b40c80d80考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数解答：解：二项式（x）5的展开式的通项公式为tr+1=（2）rx52r，令52r=1，求得r=2，二项式（x）5的展开式中x的系数为（2）2=40，故选：a点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4（5分）如图所示的程序框图，其输出结果是（）a341b1364c1365d1366考点：循环结构 专题：常规题型分析：写出前几次循环，直到不满足判断框中的条件，执行输出解答：解：由框图知，经过第一次循环得到a=5经过第二次循环得到a=21经过第三次循环得到a=85经过第四次循环得到a=341经过第五次循环得到a=1365不满足判断框的条件，执行输出1365故选c点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律5（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线4x3y+1=0垂直，则双曲线的两条渐进线方程为（）ay=by=cy=dy=考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的渐近线与直线垂直，得到a、b的关系，即可求解双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线的一条渐近线与直线4x3y+1=0垂直，可知双曲线的渐近线为y=，可得=，双曲线的渐近线方程为：y=故选：a点评：本题考查双曲线的简单性质的应用渐近线方程的求法，考查计算能力6（5分）已知实数x，y满足，若xy的最小值为2，则实数m的值为（）a0b2c4d8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=xy在解得，即点b（，）处取得最小值2，此时，解得m=8，故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，c=，则abc的面积是（）abcd3考点：余弦定理 专题：解三角形分析：将“c2=（ab）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b22abcosc，比较两式，得到ab的值，计算其面积解答：解：由题意得，c2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab，2ab+6=ab，即ab=6sabc=故选：c点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查8（5分）设抛物线c：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形记为p，则图形p的面积s等于（）a1bcd考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：由题意画出图形，把阴影部分的面积转化为长方形的面积与2的差得答案解答：解：如图，s=122=22=2=故选：d点评：本题考查了定积分，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题9（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xr是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的偶函数考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 专题：三角函数的图像与性质分析：由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=22cos4x，由周期公式可求得t，由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数解答：解：f（x）=（1+cos2x）sin2x=cos2xsin2x=4sin22x=4=22cos4x由周期公式可得：t=，由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数故选：d点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，属于基本知识的考查10（5分）某校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：先求出甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的种数，再求出甲跑第二棒的种数，然后求其概率即可解答：解：根据题意，从6人中取4人参加比赛的种数为a64，其中甲跑第一棒的情况有a53种，乙跑第四棒的情况有a53种，“甲跑第一棒”与“乙跑第四棒”都包含了“甲跑第一棒，乙跑第四棒”，此时有a42种情况，故共有a642a53+a42=252种跑法，甲跑第二棒的种数为：=48种，故甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为：，故选c点评：本题考查了古典概型的概率的计算问题，解题的关键是求出对应的不同选法种数是多少11（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）a24b6c4d2考点：球内接多面体 专题：空间位置关系与距离分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积解答：解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2r=，r=所以外接球的表面积为：4r2=6故选：b点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力12（5分）设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且sin2a+sin2b+sin2c=，面积s1，2，则下列不等式一定成立的是（）a（a+b）16bbc（b+c）8c6abc12d12abc24考点：基本不等式；三角形中的几何计算 专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：利用和差化积可得：sin2a+sin2b+sin2c=4sincsinasinb，可得sincsinasinb=，设外接圆的半径为r，利用正弦定理可得及s=，可得sinasinbsinc=，即r2=4s，由于面积s满足1s2，可得2r，即可判断出解答：解：sin2a+sin2b+sin2c=2sin（a+b）cos（ab）+2sinccosc=2sinccos（ab）cos（a+b）=4sincsinasinb，4sincsinasinb=，即sincsinasinb=，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：=2r，由s=，可得sinasinbsinc=，即r2=4s，面积s满足1s2，4r28，即2r，由sinasinbsinc=可得8abc，显然选项c，d不一定正确，aab（a+b）abc8，即ab（a+b）8，但ab（a+b）16，不一定正确，bbc（b+c）abc8，即bc（b+c）8，正确，故选：b点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由已知中|=|=2，（+2）（）=2，可求出cos=，进而根据向量夹角的范围为0，得到答案解答：解：|=|=2，|2=|2=4（+2）（）=2展开得：|2+2|2=4cos4=2，即cos=又0故=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cos=，是解答的关键14（5分）已知函数f（x）=，若f（0）=2，f（1）=1，则函数g（x）=f（x）+x的零点个数为3考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（0）=2，f（1）=1联立可解出b=4，c=2；再讨论求方程g（x）=0的解，从而确定函数g（x）=f（x）+x的零点个数解答：解：f（x）=，f（0）=c=2，f（1）=1b+c=1；解得，b=4，c=2；当x0时，令g（x）=f（x）+x=2+x=0解得，x=2；当x0时，令g（x）=f（x）+x=x24x2+x=0解得，x=1或x=2；故方程g（x）=0有3个解，故函数g（x）=f（x）+x的零点个数为3；故答案为：3点评：本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题15（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2，若它们的侧面积相等且=，则的值是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等和体积比推出底面半径的比，然后求解底面积的比解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为r，r；高分别为h，h；=，由侧面积相等得，得，则=故答案为：点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目16（5分）设椭圆中心在坐标原点，a（2，0），b（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与ab相交于点d，与椭圆相交于e，f两点，若=6，则所有k的值为或考点：椭圆的标准方程 专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：依题可得椭圆的方程，设直线ab，ef的方程分别为x+2y=2，y=kx，d（x0，kx0），e（x1，kx1），f（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据=6求得x0的表达式，由d在ab上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k解答：解：依题设得椭圆的方程为+y2=1，直线ab，ef的方程分别为x+2y=2，y=kx（k0）设d（x0，kx0），e（x1，kx1），f（x2，kx2），其中x1x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故x2=x1=，由=6知x0x1=6（x2x0），得x0=（6x2+x1）=x2=，由d在ab上知x0+2kx0=2，得x0=所以=，化简得24k225k+6=0，解得k=或k=故答案为：或点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分）17（12分）在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列（1）求等比数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=（n+2）log2an，求数列的前n项和tn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设数列列an的公比为q，由于2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a1+3a2=2a3再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由bn=（n+2）log2an=（n+2）n，可得利用“裂项求和”即可得出解答：解：（1）设数列列an的公比为q，2a1，a3，3a2成等差数列，2a1+3a2=2a3，化为2q23q2=0，解得q=2或q=q0，q=2an=2n（2）bn=（n+2）log2an=（n+2）n，数列的前n项和tn=+=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率直方图如图所示，已知次数在100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在110，130）视为达标，次数在130以上视为有优秀（1）求此次抽样的样本总数为多少人？（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校2014-2015学年高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为x，求x的分布列和期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（1）求出次数在100，110）间的频率，即可求出样本总数；（2）利用互斥事件、对立事件的概率公式，即可得出结论；（3）确定在2014-2015学年高一年级中随机抽取2名学生的成绩和的取值，求出相应的概率，即可求x的分布列和期望解答：解：（1）设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在100，110）间的频率为0.01410=0.14，1分（1分）0.14n=7，解得n=50人1分（2分）（2）记抽中不达标学生的事件为c，抽中达标学生的事件为b，抽中优秀学生的事件为ap（c）=0.00610+0.01410=0.2；1分（3分）p（b）=0.02810+0.02210=0.50；1分（4分）p（a）=1p（b）p（c）=0.301分（5分）（3）在2014-2015学年高一年级中随机抽取2名学生的成绩和x=10，15，20，25，301分（6分）p（x=10）=0.20.2=0.04； p（x=15）=20.20.5=0.2；p（x=20）=0.52+20.20.3=0.37； p（x=25）=20.30.5=0.3；p（x=30）=0.32=0.09对一个给1分，但不超过4分4分（10分）x1015202530p0.040.20.370.30.09e（x）=0.0410+0.215+0.3720+0.325+0.09301分（11分）e（x）=211分（12分）点评：本题考查频率直方图，考查概率知识，考查分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）如图所示多面体中，ad平面pdc，abcd为平行四边形，e为ad的中点，f为线段bp上一点，cdp=120，ad=3，ap=5，pc=（）若f为bp的中点，求证：ef平面pdc；（）若bf=bp，求直线af与平面pbc所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间向量及应用分析：（）先证明四边形efod是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明ef平面pdc；（）z轴建立空间直角坐标系，求得，面pbc的法向量，利用向量的夹角公式，可求af与平面pbc所成角的正弦值解答：（）证明：取pc的中点为o，连fo，do，f，o分别为bp，pc的中点，fobc，且fo=bc，又abcd为平行四边形，edbc，且ed=bc，foed，且fo=ed四边形efod是平行四边形（2分）efdo ef平面pdcef平面pdc（4分）（）解：以dc为x轴，过d点做dc的垂线为y轴，da为z轴建立空间直角坐标系，则有d（0，0，0），c（2，0，0），b（2，0，3），p（2，2，0），a（0，0，3）（6分）设f（x，y，z），则=（）f（），（8分）设平面pbc的法向量为则，即，取y=1得（10分）cos=af与平面pbc所成角的正弦值为（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查利用向量知识解决线面角问题，求得平面的法向量是关键20（12分）已知抛物线c：y=2x2，直线l：y=kx+2交c于a，b两点，m是线段ab的中点，过m作x轴的垂线c于点n（1）证明：抛物线c在点n处的切线与ab平行；（2）是否存在实数k使以ab为直径的圆m经过点n，若存在，求k的值，若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得m，n的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点n处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；（2）假设存在实数k，使ab为直径的圆m经过点n由于m是ab的中点，则|mn|=|ab|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=2，故存在实数k，使ab为直径的圆m经过点n解答：（1）证明：设a（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0，得x1+x2=xn=xm=，n点的坐标为（，）y=4x，y|=k，即抛物线在点n处的切线的斜率为k直线l：y=kx+2的斜率为k，lab；（2）解：假设存在实数k，使ab为直径的圆m经过点n由于m是ab的中点，|mn|=|ab|由（）知ym=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）=k（x1+x2）+4=（4+）=2+，由mnx轴，则|mn|=|ymyn|=2+=，|ab|=由=k=2，则存在实数k=2，使ab为直径的圆m经过点n点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题21（12分）设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nn*）考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用分析：（1）依题意得f（x）maxm，x0，e1，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）x，令，则x（0，1）代入上面不等式得：，从而可得利用叠加法可得结论解答：（1）解：依题意得f（x）maxm，x0，e1，而函数f（x）的定义域为（1，+）f（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数，f（x）在0，e1上为增函数，实数m的取值范围为me22（2）解：g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x）=2xln（1+x），显然，函数g（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数函数g（x）的最小值为g（0）=0要使方程g（x）=p至少有一个解，则p0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2xln（1+x）0在（1，+）上恒成立所以ln（1+x）x，当且仅当x=0时等号成立令，则x（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2ln11，将以上n个等式相加即可得到：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题四、请考生在22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知ab为半圆o的直径，ab=4，c为半圆上一点，过点c作半圆的切线cd，过点a作adcd于d，交半圆于点e，de=1（）求证：ac平分bad；（）求bc的长考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定 专题：综合题分析：（）连接oc，因为oa=oc，所以oac=oca，再证明ocad，即可证得ac平分bad（）由（）知，从