高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 抛物线及其性质课件 文.ppt

第九章平面解析几何 高考文数 9 5抛物线及其性质 知识清单 考点一抛物线的定义及性质1 抛物线的定义及性质 2 点p x0 y0 和抛物线y2 2px p 0 的关系 1 p在抛物线内 含焦点 2px0 3 焦半径 抛物线上的点p x0 y0 与焦点f的距离称作焦半径 记作r pf 1 y2 2px p 0 r x0 2 y2 2px p 0 r x0 3 x2 2py p 0 r y0 4 x2 2py p 0 r y0 考点二直线与抛物线的位置关系1 ab为抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 a x1 y1 b x2 y2 1 x1x2 2 y1y2 p2 3 弦长 ab x1 x2 p x1 x2 2 p 当且仅当x1 x2时 弦长 ab 最短 最小长度为2p 4 弦长 ab 为ab的倾斜角 5 若直线ab的倾斜角为 且a位于x轴上方 b位于x轴下方 则 af bf 6 s aob 其中 为直线ab的倾斜角 7 8 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 9 以af 或bf 为直径的圆与y轴相切 2 ab为抛物线y2 2px p 0 的弦 a x1 y1 b x2 y2 弦中点m x0 y0 设直线ab的斜率k存在 且k 0 1 弦长 ab x1 x2 y1 y2 2 k 3 直线ab的方程为y y0 x x0 4 弦ab的垂直平分线方程为y y0 x x0 知识拓展1 如图所示 ab是抛物线x2 2py p 0 的过焦点的一条弦 焦点弦 分别过a b作抛物线的切线 交于点p 连接pf 则有以下结论 1 点p的轨迹是一条直线 为抛物线的准线l y 2 两切线互相垂直 即pa pb 3 pf ab 4 点p的坐标为 2 非焦点弦性质 1 已知直线l与抛物线y2 2px p 0 交于a b两点 若oa ob 则直线l过定点 2p 0 反之亦成立 2 已知m x0 y0 是抛物线y2 2px p 0 上任意一点 点n a 0 是抛物线的对称轴上一点 则 mn min 求抛物线标准方程的方法1 定义法 根据条件确定动点满足的几何特征 利用抛物线的定义确定轨迹类型 从而确定p的值 得到抛物线的标准方程 2 待定系数法 根据条件设出标准方程 再确定p的值 这里应注意抛物线的标准方程有四种形式 从简单化角度出发 焦点在x轴上的 设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的 设为x2 ay a 0 例1 2017河北六校模拟 14 抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点o是坐标原点 过点o f的圆与抛物线c的准线相切 且该圆的面积为36 则抛物线的方程为 方法技巧 解题导引由抛物线定义知圆心m在抛物线上 利用圆的面积得 mf 6 以点m的横坐标为桥梁建立关于p的方程 解方程 得结论 解析设满足题意的圆的圆心为m 根据题意可知圆心m在抛物线上 又 圆的面积为36 圆的半径为6 则 mf xm 6 即xm 6 又由题意可知xm 6 解得p 8 抛物线方程为y2 16x 答案y2 16x 例2 2017福建福州模拟 14 函数y ax 1 a 0且a 1 的图象恒过点p 则焦点在x轴上且过点p的抛物线的标准方程是 解题导引利用指数函数的图象及性质求出点p的坐标设出抛物线的方程 代入点的坐标求得结论 解析设抛物线的方程为y2 mx m 0 由题意知点p的坐标为 1 1 代入y2 mx 可得m 1 焦点在x轴上且过点p的抛物线的标准方程是y2 x 答案y2 x 利用抛物线的定义解决有关问题的方法抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹 利用抛物线的定义解决问题 应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化 看到准线想到焦点 看到焦点应该想到准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径 例3 2017河南天一大联考 二 6 已知f是抛物线y2 x的焦点 a b是该抛物线上的两点 且 af bf 3 则线段ab的中点到y轴的距离为 c a b 1c d 解题导引利用抛物线的定义将 af bf 3转化成线段ab两端点到准线的距离和得到线段ab的中点到y轴的距离 解析如图所示 设抛物线的准线为l ab的中点为m 作aa1 l于a1 bb1 l于b1 mm1 l于m1 由抛物线的方程知p 由抛物线定义知 aa1 bb1 af bf 3 所以点m到y轴的距离为 mm1 aa1 bb1 3 故选c 例4 2017课标全国 12 5分 过抛物线c y2 4x的焦点f 且斜率为的直线交c于点m m在x轴的上方 l为c的准线 点n在l上且mn l 则m到直线nf的距离为 c a b 2c 2d 3 解题导引由抛物线定义得 mn mf mnf为等边三角形由等边三角形性质得m到直线nf的距离 解析如图 因为直线mf的斜率为 所以直线mf的倾斜角为60 则 fmn 60 由抛物线的定义得 mf mn 所以 mnf为等边三角形 过f作fh mn 垂足为h 易知f 1 0 l的方程为x 1 所以 of 1 nh 2 所以 mf 2 即 mf 4 所以m到直线nf的距离d fh mf sin60 4 2 故选c 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1 直线和抛物线的位置关系有三种 相交 相切 相离 判断方法有 把直线方程和抛物线方程联立 若得到的是一元二次方程 则 若方程的判别式 0 则直线与抛物线相交 若方程的判别式 0 则直线与抛物线相切 若方程的判别式 0 则直线与抛物线相离 若得到的是一元一次方程 则直线与抛物线交于一点 此时直线与对称轴平行 或重合 2 直线与抛物线相交时 常采用根与系数关系和点差法求解 直线与抛物线相离时 常考查最值问题 利用数形结合法进行求解 直线和抛物线相切时 切线的斜率可以用导数求解 3 当求解直线与抛物线相交的弦长问题时 利用弦长公式 ab k为直线的斜率 k 0 进行求解 例5 2017课标全国 20 12分 设a b为曲线c y 上两点 a与b的横坐标之和为4 1 求直线ab的斜率 2 设m为曲线c上一点 c在m处的切线与直线ab平行 且am bm 求直线ab的方程 解题导引 1 设a x1 y1 b x2 y2 利用点差法及斜率公式求得ab的斜率 2 利用导数几何意义得点m的坐标设出直线ab的方程 联立抛物线方程由弦长公式得 mn 及 ab 由 ab 2 mn 得直线ab方程中的参数直线ab的方程 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 于是直线ab的斜率k 1 2 由y 得y 设m x3 y3 由题设知 1 解得x3 2 于是m 2 1