奥数电梯问题.doc

电梯问题大体上可以分2类：1. 人沿着扶梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时扶梯都是帮助人在行走，共同走过了扶梯的总级数： （V人+V梯）*时间=扶梯级数2. 人与扶梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。这种情况人走过的级数大于电梯的总级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数，（V人V梯）*时间=扶梯总级数下面我们通过一些例题来一起讨论此类题目的解法。例1自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的部分有多少级？ 分析：男女与电梯均同向，属于相遇类问题，设女孩速度为X，电梯速度为V，那么男孩速度为2X，根据电梯级数不变得： 27+27/（2X）*V=18+18V/X 解得V=2X，即V电梯=V男孩所以电梯级数=27+27=54 或18*2+18=54另外一种方法：找出时间比，联立级数的等式男女速度比=2：1 男女路程比=27：18=3：2那么时间比=1.5：2设梯速度=V那么有27+1.5V=18+2V解得V=18故S=27+1.5*18=54还可以利用合速度比等于时间的反比（因为都共同走过了电梯级数，而此级数是恒定的）男女速度比=2：1男女路程比=3：2时间比=1.5：2=3：4和速度比等于时间的反比=4：3（2+2）：(1+2)=4:3所以电梯速度为2份，与男孩速度一致，S=27*2=54例2. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,已知男孩的速度是女孩的两倍，结果男孩用了24秒到达楼下，女孩用了16秒到达楼上问：男孩乘电梯上楼需要用多少时间？(男孩不动)解析：1.男女速度比=2：1 设电梯速度为V （2-V）*24=(1+V)*16 解得V=4/5 那么S=6*24/5所求时间T=(6*24/5)/(4/5) =36秒 3. 男女时间比=24：16=3：2合速度比=2：3（2-V电）：（1+V电）=2：3解得V电=0.8 S=16*（1+0.8） 所求时间T=16*1.8/0.8 =36秒例3. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？ 解析：就不列方程了，直接用比例法了，时间比=5：6合速度比=6：5男女速度比=20：15=4：3（4+2）：（3+2）=6：5V电梯=2份，4份为20，2份就为10，V电=10电梯级数=（20+10）*5=150或（15+10）*6=150例4. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20 秒内男孩走27 级，女孩走了24 级，按此速度男孩2 分钟到达另一端，而女孩需要3 分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级？解析： 先转化速度： V男=27*3=81级/分 V女=24*3=72级/分 时间比=2：3 合速度比=3：2 速度比=81：72 设电梯速度V (81-V)：（72-V）=3：2 解得V=54所以电梯级数=（81-54）*2 =54级例5. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？解析：男女速度比=2：1男女路程比=80：40=2：1那么男女所用时间比=1：1合速度比=1：1设电梯速度V有（40+V）*1=（80-V）*1解得V=20所以扶梯级数=40+20=60级 例6.甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层（乙不动，由电梯运载），当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层，如果他到了顶端再从上行扶梯返回，则要往下走80级。那么，自动扶梯禁止时露在外面的有多少级？分析.这个题目既不知道时间，也比知道速度，看来我们只有通过例方程了，根据两个已知的数据60与80联立方程，设电梯速度=V，甲速度=V1，电梯级数=S，那么由题意可知乙速度=电梯速度=V由于甲乙同时出发，两梯速度一致，当他们处于同一高度时候，所用的时间也一样此时的高度H=（V+V1）*S/(V+V+V1)此时甲开始转身往下走，走下底端用时为T， T=(V+V1)*S/(V+V+V1)/(V1-V)所以60=V1.T1 80=V1*S/(V1-V)2由1/2 得(V+V1)/(V+V+V1)=3/4得到V1=2V带入2可得 80=2S所以电梯级数=40级【例】（国2005一类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?（ ）A. 80级 B. 100级 C. 120级 D.140级答案B解析设电梯每秒钟上升x级，电梯共有N级，根据顺水行船问题：N=40*(x+2) 得到N=100N=50*(x+1.5) 【例】（国2005二类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?（ ）A.40级 B.50级 C.60级 D.70级答案C解析因为男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，所以男孩走80级的时间和女孩走40级的时间相等，由此可知他们两个乘电梯的时间相同，则电梯运行距离也相等，所以有：男孩：电梯实际长度80-电梯运行距离女孩：电梯实际长度40+电梯运行距离得：电梯实际长度60例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了205 100（级），女孩6分钟走了15690（级），女孩比男孩少走了1009010（级），多用了651（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（2010）5150（级）。解：自动扶梯每分钟走（205156）（65）10（级），自动扶梯共有（2010）5150（级）。答：扶梯共有150级。 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男