第九章 哈密顿理论在物理学中的应用.doc

第九章 哈密顿理论在物理学中的应用一 电磁场中的拉格朗日形式二 薛定谔波动方程的建立三 统计物理学中的刘维定理0 连续体系的拉格朗日方程质点系的拉格朗日方程：以一维弹性棒的纵向振动设：由个相同的分子按到排列；每个分子的质量均为；相邻的分子间的作用力可以看作为弹性力，劲度系数为；固有间隔为 。设：是第 个质点偏离平衡位置的位移，体系的动能为：第个质点所受到的力：取第个质点为坐标原点，则第个质点的坐标为： 为分子的序列数。 （为分子在此时刻的位置，体系平衡时所有的） ： 第 个分子对第 个分子的作用力 ： 第 个分子对第 个分子的作用力同理：第 个分子受到的合力为：势能V：所以拉格朗日函数：设弹性棒的总质量为：，总长度为：，弹性棒的线密度为：单位长度的质量为： ，取极限时：由胡克定律：其中 ：弹性模量 ； ：单位长度的伸长。胡克定律的构建正应力：应力沿无穷小有向面元外法线方向的投影固体的弹性中：以直杆的正应力为例 （ 为正应力）量纲为：线应变： 绝对伸长与原长的比。横向还有变化，设横向变化为 ，正方形边长为 纵向应变与横向应变的比胡克（1678年）定律：对于有拉伸、压缩形变的弹性体，当应力较小时，应变与应力成正比：比例系数，杨氏模量所以有：令： ， 弹性模量： 分离体系下的胡克定律为：所以：在三维空间下：由：得：由于晶格振动，所以 都是不变的，由于和 都有 ，由：得：代入：得：因为：对于第二项：对于第三项：所以：所以：连续体系的拉格朗日方程对于三维空间：例：弹性棒纵向振动的运动方程：由：得：代入连续媒质中的拉格朗日方程：令： 则：波动方程一 电磁场中的拉格朗日方程真空中的电磁场的运动规律由麦克斯韦方程组给出：无源场电磁感应定律电荷守恒定律安培定律 ：传导电流； ：电荷密度-自由电荷在麦克斯韦方程组中 和共有6个分量，但是这六个分量并非彼此都是独立的，由于洛仑兹力并非是保守力，所以在非保守力体系下应用拉格朗日方程我们选取：问题：如何选择适当的拉格朗日密度，利用连续媒质的拉格朗日方程得出电磁场的运动方程令：1） 对：代入连续媒质拉格朗日方程：2） 对于：选取分量：， 令 出现的地方：由：得，代入拉格朗日方程中：同理：拉格朗日密度的选择方法：（1）中一定包含 和，而且也一定包含激发电磁场的源 和；（2）一定是一个标量，其量纲是能量密度的量纲；（3）可以猜出一个来；（4）验证的正确性，方法是将代入连续媒质的拉格朗日方程中，得到电磁场的运动方程；（5）对于不同结构的我们可以选取最简单的形式应用拉格朗日方程建立电磁场运动方程的物理意义：应用麦克斯韦方程组我们可以清晰地解释电磁场的运动，再应用拉格朗日方程，我们已经无法在此基础上得到更多更新的内容，但是，它有力地表明，物理学的统一性“力学运动和电磁学运动具有完全相同的运动规律，因此，我们可以在如粒子物理学中应用连续媒质的拉格朗日方程得到其运动规律，然后与实验结果去对比，或预言新的实验，如果得到的结果都被验证，那么原来的未知的领域的正确理论就被建立起来了。”经典力学的拉格朗日-哈密顿理论是我们探索未知物理世界的一个有力的工具！三薛定谔波动方程的建立1经典物理学的危机之一：“以太漂移”笛卡尔（17世纪的物理学家）从朴素的唯物主义出发，为了说明“虚空不虚”最先在物理学中引进了以太。笛卡尔认为，以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但是有以太。18世纪由于力的平方反比定律得发现，超距作用的观点取得了主导的地位，但是作为传输光波的介质，以太又被重新提起。（1）近代物理学中的三大发现：a.阴极射线的发现-1897年 汤姆逊（英）b.X射线的发现-1895年 伦琴（德）c.放射线的发现-1898年 居里夫人（波兰）上述的三大发现使得物理学界感到不安，同时也使得物理学界出现的分裂，一个观点：经典物理学毁灭了，物质消灭了，没有衡量真理的标准了，洛仑兹：“我为什么没有在矛盾出现的5年前死去”。另一观点：新物理将出现。光波的进一步研究使得“以太”又具有了很多的性质，“光以太”的概念被提出来，麦克斯韦试图用以太来解释电磁现象，他在1855年论法拉弟的力线一文中还在试图用把电磁感应强度比作以太的速度。虽然以太还没有找到，但是此时以太的存在已经成为了公认的事实。（2）经典物理学的理论是基于三个基本关系基础之上的（a）牛顿定律-实物（b）麦克斯维方程组-电磁场（c）伽利略变换-时空绝对时空的实体是人们长期寻找的，但是却遭到了失败，最后，人们认为以太充满整个空间，由于以太的存在，使得牛顿的绝对时空观又获得了新的寄托和希望。（3）对以太漂移的探索：（a）斯托克斯-以太被运动物体全部拖曳的假设（b）菲索尔（c）赫兹-应用拖曳说明麦克斯韦方程（d）伽利略-以太论的最后阶段，以太静止并被运动的物体所带动2经典物理学的灾难之二：“紫外灾难”3量子论以及量子力学的发展：普朗克于年出生于德国的基尔，父亲是基尔大学著名的法律教授。普朗克先后在慕尼黑大学和柏林大学学习，曾经在基尔霍夫等人的指导下学习和研究热力学，并于年获得博士学位。年，普朗克成为慕尼黑大学物理学讲师，年后被基尔大学聘为理论物理学特约教授。年，在基尔霍夫逝世后，普朗克回到母校继任了老师的职位，成为柏林大学的教授，并一直在此工作到年退休。年，普朗克被选为普鲁士科学院院士；年，他被英国皇家学会吸收为会员。他同时还兼任柏林威廉皇家研究所所长。也就是从他被选为普鲁士科学院院士这一年开始，普朗克开始从事黑体辐射方面的研究。他先是对基尔霍夫辐射定律（任何物体在同一温度下，辐射本领与吸收本领成正比，其比值只与和有关，即： 其中是一个与物质无关的量。）中的普适函数感兴趣，决心找到这个普适函数，经过年的努力，他得到了辐射能分布的初步公式。其后一年，普朗克集前人的研究成果，结合自己的发现，于年月日在德国物理学会会议上以对维恩辐射定律的一点修正为题，宣布了自己的辐射公式，即“普朗克辐射公式”（黑体辐射中吸收本领，与和无关黑体的辐射本领为：，其中：为辐射能流动的速度，）。当天夜晚，德国实验物理学家鲁本斯将自己的实验数据与普朗克公式的理论结果作了仔细的比较，发现无论是在哪个波段二者都保持着惊人的一致。鲁本斯将这一对比结果告诉了普朗克，普朗克非常高兴，决心透彻研究辐射公式的物理意义，并确定公式中所取的两个常数的具体形式。这一决心使普朗克走上了发现量子之路。普朗克按照玻尔兹曼统计思想，认真地考虑熵与几率的关系。辐射公式的真正物理意义被一步步揭示出来，年月日，在经过“一生中最紧张的几个星期的工作”之后，他终于作出了“孤注一掷的行动”：在德国物理学会上宣读的论文关于正常光谱的能量分布定律的理论中，他提出令人感到惊讶的能量子假定，从而得到一个被赋予具体物理意义的辐射公式。他假设，物体在发射辐射和吸收辐射时，能量是不连续的，以一个最小单位的整数倍跳跃式变化，这个能量的基本单位，称作能量子。这一天被看作是量子论的诞生日，作用量子则被认为是最基本的自然常数之一。经典物理学一向认为能量是连续的，并将这一传统观念当成金科玉律。但用它研究黑体辐射时却带来了“紫外灾难”（ 1896年德国物理学家维恩根据热力学理论，把光看作一种类似于分子的东西，提出了一个经验公式。虽然这个公式在短波领域同试验数据相符，但是在长波领域与试验数据不符。后来，英国物理学家瑞利与金斯根据经典电动力学和经典统计物理学，把光看作是振动着的波的汇集，提出了另一个公式。但这个公式适用于长波领域，并不适用于短波领域。当时，特别值得指出的是，使用这个公式却推导出一个荒谬的结论：在短波紫外光区，理论值随波长的减少而很快增长，以致趋向于无穷大，即在紫色一端发散；这显然与实际不符。因为在一个有限的空腔内，根本不可能存在无限大的能量。面对理论结论与试验结果之间出现的这个巨大矛盾，当时的物理学家无法作出合理的解释，所以，后来人们就把这个科学难题称为“紫外灾难”。），表明了经典理论的局限性。普朗克冲破了传统观念的束缚，提出了能量分立性的思想，这是物理学领域基本概念的重大变革。但也由于这个理论与经典理论是如此之格格不入，当时物理学界对它的反映是极为冷淡的。从年到年的文献中，几乎找不到有关这一理论的论文。年，德国的自然科学和技术史手册发行第二版，书中详尽列出了年全世界项发现、发明，就是没有提到普朗克的名字。人们承认普朗克得到与实验相符的黑体辐射公式，却不接受他的量子假说，其重要意义没有引起物理学界应有的关注，直到爱因斯坦的光量子假说和光电效应方程于年的问世。悲剧的“倒退”经过爱因斯坦、玻尔等人的努力，量子论最终得到了人们的认可。年，普朗克作为量子理论的开拓者获得了诺贝尔物理奖。遗憾的是，普朗克虽然发现了能量子，但他不能理解这一发现的意义，对自己的发现长期惴惴不安。在发现能量子之后的长达年时间，他总想退回到经典物理学的立场。他曾在散步时对儿子说：“我现在做的事情，要么毫无意义，要么可能成为牛顿以后物理学上最大的发现。”到了年，当他重新投入量子问题的研究时，曾经告诫自己和别人，要尽可能避免采取冒险步骤，他说：“在将作用量子引入理论时，应当尽可能保守从事；这就是说，除非业已表明绝对必要，否则不要改变现有的理论。”年，普朗克提出了一个理论，认为发射过程在时间上是不连续的，但吸收则是连续的。这是一次公开的倒退。年，他又提出一个理论，干脆撤消了量子假说，认为发射过程也应假定是连续发生的，这又是一次大倒退。在普朗克犹豫徘徊甚至倒退的时候，量子论却有了很大的发展。年，爱因斯坦提出光量子假说，成功地解释了光电效应；年，他又将量子理论运用到固体比热问题，获得成功；年，玻尔将量子理论引入到原子结构理论中，克服了经典理论解释原子稳定性的困难，建立了他的原子结构模型，取得了原子物理学划时代的进展；年，康普顿通过实验最终使物理学家们确认光量子图景的实在性，从而使量子理论得到科学界的普遍承认。造成普朗克长期犹豫徘徊的原因是传统观念的束缚。自从世纪牛顿力学建立后，自然过程连续性的观念在物理学中已经根深蒂固。莱布尼兹曾经说过，“自然界无跳跃。”世纪，电磁场理论的建立更使这一观念深入人心，要冲破它确实不容易。普朗克年来犹豫徘徊带来的影响是：他没有在量子论的进一步发展中作出贡献，没有能够追随这一理论的进一步发展，科学领域的开拓者成了落伍者。在量子论创立的最初年里，爱因斯坦起到了旗手的作用。但是到了年，爱因斯坦却这样总结了他的探索工作：“整整年有意识的思考，还没有使我更接近光量子是什么的答案。当然，今天每一个不老实的人都认为他知道答案了，但他在欺骗他自己。”量子力学的深邃难解或许是让普朗克倒退的另一个原因。但普朗克在两次倒退的过程中对量子论做了深入的理论研究，这是有一定意义的，不过量子论最终获得胜利则是由于它在微观领域研究中的普遍意义和价值。面对量子论的发展与成功，以及科学界的批评，普朗克最终放弃了倒退的立场。年，在诺贝尔奖颁奖仪式上，他作了题为量子理论的创立和当前的发展状况的演讲，演讲中他说：“我觉得整个的发展过程似乎是为歌德在很久以前所说的一句名言提供了一个新的证明，这句名言是：人要奋斗就要有错误。”普朗克一直受到同事们的尊敬，这不仅是由于他的重要科学发现，而且还由于他的品德高尚。纳粹统治德国时期，普朗克留在自己的祖国，他公开反对政府的某些政策，特别是反对迫害犹太人的政策。这是他一生中遭遇痛苦和不幸的时期。年，他的一个儿子被控告参与谋杀希特勒的未遂事件，在大战即将结束时，他的家被炸成废墟。年，普朗克在格丁逝世。普朗克的工作得到了科学界的高度赞扬。年，在追悼普朗克的大会上，爱因斯坦作了这样的评价：“作用量子这一发现成为世纪物理学研究的基础，从那时起几乎完全决定了物理学的发现。要是没有这一发现，那就不可能建立起分子、原子以及支配它们变化的能量过程的理论。而且，它还粉碎了古典力学和电动力学的这个框架，并给科学提出了一项新任务：为全部物理学找出一个新的概念基础。”3等价的量子力学表述：（1）海森堡矩阵力学表述（1901-1976） 量子泊松括号表示的正则方程（荻拉克1902-1984）（2）薛定谔波动力学表述（1887-1961） 哈密顿雅可比方程（3）费曼的路径积分表述（1901-1988） 哈密顿原理薛定谔从哈密顿-雅可比方程开始，对氢原子进行研究：哈密顿-雅可比方程： 为哈密顿特征函数。其中：，对 作如下变换：其中：为常量；量纲为零。因此与具有相同的量纲。所以：上式没有任何经典假设。假设：电子不是经典粒子，具有波粒二象性，由于不知道运动规律，我们可以假想电子象电磁波一样具有物质波，假设一个适当的拉格朗日量密度通过最小作用里昂原理，我们就可以推导出电子的波动方程。薛定谔的做法：设：他认为：凡是具有波粒二象性的非经典粒子都可以由上式推导出运动方程。上式与：一致。问题是如何确定或选取 ？对于物质波,一个普遍的结论是：体系的平均动能恒等于平均势能，因此，所以上式中。上面是紧紧考虑波动性的结果，如果将粒子性也考虑在内：由哈密顿-雅可比方程：可以得到运动方程，结合：我们可以选取：上式即为薛定谔给出的氢原子中电子的波动力学方程，计算上式：上式中积分方程是一个面积分为零的表示式，是一个包围氢原子的封闭曲面，该曲面的法线方向，由于该曲面是任意的，因此若使上式为零，我们可以取：当曲面足够大时，在这个曲线上， 他们是上式偏微分方程的一个边界条件。若：则：哈