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数学物理方法 笔记摘要 数学物理方法 笔记摘要 写在学习本课程之前 写在学习本课程之前 对于本课程本人的学习目标是熟悉数学物理方程本身的 物理实质 对常见的分离变量法等要掌握解法 但公式等不必记住 会解决简单 条件下的实际问题 如扩散方程 电测深问题 三维电场问题等 第一章 数学物理方程基本概念 第一章 数学物理方程基本概念 一 数学物理方程的提出 一 数学物理方程的提出 要解决物理量在时间和多维空间上的变化规律问题 这就导致了偏微分方程的 产生 注意 所谓变化规律就是微分的思想 而在时间和空间上的多维变化就是 偏微分方程 二 定解问题 二 定解问题 定解问题由泛定方程 边界条件 初始条件组成 泛定方程 数学物理方程本身叫做泛定方程 不含有边界条件和初始条件 边界条件 即物理问题所处的 环境 也就是物理量在边界上的状况 初始条件 及物理问题的 历史 也就是开始时刻物理量的状况 所以 解决物理问题 泛定方程是纽带 将边界值和初始值通过纽带推算到每个 点 每个时刻 这就是解决数学物理问题的实质过程解决数学物理问题的实质过程 三 泊松方程和拉普拉斯方程的物理本质 三 泊松方程和拉普拉斯方程的物理本质 泊松方程是解决的物理场中的 有源 问题 拉普拉斯方程解决的是物理场中的 无源 问题 四 扩散方程 四 扩散方程 详见课本 p145 将在后面的部分解决常见的扩散方程 五 边界条件分类 五 边界条件分类 1 第一类边界条件 指的是在边界上物理量本身的值 2 第二类边界条件 指的是在边界上物理量法向导数的值 物理意义 针对电场 热传导 扩散问题来说就是在边界上的 对外 或 对内 的流量问题 3 第三类边界条件 对于热传导问题就是描述的自由冷却问题 即杆端热流强度与温度差之间的 关系 详见课本 p156 六 线性偏微分方程的分类 六 线性偏微分方程的分类 1 线性偏微分方程的定义 2 分类 双曲型 抛物线型 椭圆型 第二章 分离变量法 第二章 分离变量法 一 偏微分方程能够进行分离变量的条件 一 偏微分方程能够进行分离变量的条件 1 方程是常系数线性偏微分方程 2 边界条件是齐次的 二 分离变量法解决偏微分方程的步骤 二 分离变量法解决偏微分方程的步骤 1 将非齐次边界条件化为齐次边界条件 2 将非齐次泛定方程表示成两个泛定方程的线性组合 3 将分离变量形式代入泛定方程 得到两个常微分方程 4 将分离变量代入边界条件 和一个常微分方程组成特征方程 解出特征值 5 将特征值代入另一个常微分方程并解之 6 综合两个常微分方程的解 写出偏微分方程的解 然后代入初始条件 接 触系数 三 常见问题和所用到的基础数学知识 三 常见问题和所用到的基础数学知识 1 解特征方程的问题 2 常微分方程的解 3 傅立叶级数 4 常见的分部积分 四 齐次泛定方程和齐次边界条件的方程的解法 四 齐次泛定方程和齐次边界条件的方程的解法 例 在铀块中 除了中子的扩散运动外 还进行着中子的繁殖过程 每秒钟在 单位体积中产生的中子数目正比于该处的中子的浓度u 可以表示为u 研究 厚度为l的层状铀块 求临界厚度 铀块厚度超过临界厚度 则中子浓度将随时 间而增长 最终导致核爆炸 解解 根据题意 可以得出一个非齐次的泛定方程和齐次的边界条件 如下 u x u a t u 2 2 2 1 0 0 lxxxx uu 2 经过分析 1 为常系数偏微分方程 2 为齐次边界条件 所以可以直接使用分离变量 的方法来解方程 设 代入 1 有 tTxXtxU 0 2 tTxXtTXatTxX 整理得 2 tTa tTtT xX xX 3 得 4 0 xXxX 5 0 0 lXX 6 0 2 tTatT 根据特征值方程 4 5 得 cos x l n AxX n 0 1 3 7 2 l n 8 将 8 代入另一个常微分方程 6 得 t l an CetT 2 9 从而可以得到中子浓度的表达式 0 cos 2 x l n eCtxu t l an n n 0 1 2 3 10 分析上式 可以看到 如果 e 的指数大于零 那么浓度就是增加的 所以临界厚度就是 e 的指数等于零 故临界厚度为 a 注注 通过这个题目可以总结如下几点 分离变量法的最核心的部分就是在于求解特征值方程 这是基础 在计算特征值方程的时候 n 是否取零 要注意 这点非常容易忽视 上述题目与已经推导出来的用 E 表示的激电方程有类似之处 解决激电方 程时可以效仿该题目 五 非齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理方法 五 非齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理方法 该部分要看书 非齐次边界条件的处理很简单 非齐次泛定方程需要用冲量 定理来解决 目前还没有掌握该方法 另外看看解的结垢定理是怎么回事 第三章 球坐标下的拉普拉斯方程的解法 第三章 球坐标下的拉普拉斯方程的解法 一 各种坐标下的拉普拉斯方程的表