安徽省舒城中学高三数学 寒假作业专题（三）数列中探索性问题.doc

安徽省舒城中学高三年级20132014学年寒假作业数学部分专题（三 ）数列中探索性问题一条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意例15设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）试确定的值，使得对任意nn*，都有成立解：（）依题意，即， 由此得 因此，所求通项公式为，（）由知， 于是，当时， ， ， 当时， 又综上，所求的的取值范围是变式训练39. 已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项。（）求数列的通项公式；（）若，求成立的正整数的最小值。二结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论例16已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的 通项公式；（）令，试比较与的大小， 并予以证明。解：（i）在中，令n=1，可得，即 当时，. . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(ii)由（i）得，所以 由-得 于是确定的大小关系等价于比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时变式训练40, 已知数列的前n项和为，且满足：()求数列的通项公式；() 若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.三存在性探索问题此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用例17各项均为正数的数列，且对满足 的正整数都有 （1）当时，求通项 （2）对任意，是否存在与有关的常数，使得对于每个正 整数，都有解：（1）由得 将代入化简得 所以 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 , 注意到,解上式得 取,即有 . 变式训练41, 已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 （1）令（2）求数列（3） 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说明理由 四规律探索性问题这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式，但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜想来探路，解题过程中创新成分比较高在数列问题研究中，经常是根据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜想，然后用数学归纳法证明例18已知数列满足， .（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；（2）证明：。 证（1）由 由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1） 当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么 = 即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立 当时，易知 变式训练42, 设实数数列的前n项和满足（）若成等比数列，求和（）求证：对有。 数学部分变式训练40, 解：（）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时，综上，数列的通项公式为（）对于任意的，且成等差数列， 证明如下：当r=0时，由（）知，对于任意的，且成等差数列；当时，若存在，使得成等差数列，则，即，由（）知，的公比r+1=-2，于是对于任意的，且，从而，即成等差数列.综上，对于任意的，且成等差数列.变式训练41 解：（1）由已知得 又 是以为首项，以为公比的等比数列 （2）由（i）知， 将以上各式相加得： （3） 存在，使数列