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论宇宙的几何特征邓晓明潜科学杂志 1992年 第1期 (1991年10月10日收稿)摘要本文通过对宇宙学原理的认识，根据时空的拓扑性质，在分析宇宙大尺度时空基本性质的基础上，根据天文观测结果建立宇宙模型。给出宇宙膨胀公式哈勃定律的精确形式。明确遥远星系的红移是由宇宙膨胀效应本身所致，而不能用多普勒效应解释。明确了哈勃常数的几何意义。证明了类星体红移的周期性分布是本宇宙模型所揭示的基本规律之一。本文利用宇宙膨胀公式统一了表面上看来有矛盾的宇宙学红移和类星体红移的周期性，并证明了光子相对观察者的速度不但与观察者和光子之间的距离有关，也与光子相对观察者的运动方向有关。本模型已得到了天文观测结果的强有力支持。关键词：宇宙模型、哈勃定律、红移、类星体一、引言广义相对论是从等效原理出发所得到的理论。等效原理要求引力常数为一个普适的常数。虽然的常数性通过宇宙局部（宏观）时空中的实验（卡文迪许实验）得到了证实，但我们没有任何根据把的常数性推广至整个宇宙大尺度时空中去。因此，在这种意义上，我们说广义相对论是宇宙局部时空中的理论（对其的验证也都是在宏观时空范围内实现的）。基于广义相对论的宇宙论必然包涵着的常数性假设，因此，它带有一定的盲目性。本文摆开相对论理论框架的束缚，通过对宇宙学原理新的认识，直接分析宇宙大尺度时空的结构和性质，突破度规，根据天文观测结果，从新的角度建立宇宙模型（由于篇幅的限制，本文将不讨论最大对称空间，度规及其它宇宙论）。二、宇宙模型纵观人类所发展的自然科学，从中不难发现对于任何一种理论，人们所默认的时空结构和性质才是最基本的假设。因此，在研究宇宙整体状态时，最首要的任务是：直接对宇宙整体时空结构和性质作出假设。时空的拓朴性质主要包括：时空的四维性；时间和空间之间的不可转换性；时间的均质性和单方向性；空间的均匀性及各向同性等。这是我们对宏观时空的感觉经验。上述时空的拓朴性质在时空本身中的不变性（在时间方向上和空间广延上的不变性）是我们认识宇宙的基础。天文观测表明，在宇观尺度上，宇宙中的物质分布足够均匀，而且各向同性，加之“哥白尼原理”的进一步推广，我们得到了宇宙学原理。在此，对其只理解为宇宙空间的均匀性及各向同性是不全面的，它应该包括更丰富的内涵，即宇观尺度上的时空关系。宇观空间的均匀性及各向同性不但是相对其内物质而言的，也不仅是指其内各点位彼此之间的平权性质，重要的是，我们应该认识到宇观空间中各点位和宇宙时间的关系也存在着平权性质，这种性质表现为：（1）宇观空间中各点位具有等长的历史。即在宇观尺度上各点位对时间的占有是平权的；（2）在宇观尺度上，时间与空间处处垂直。即在描述宇宙事件时，宇宙时间和空间是两个相互独立的、不可互换的参照系统。宇宙时间标记了宇宙进化程度，具有绝对的性质。宇宙空间在一定的宇宙时间下通过选择适当的参照系可以标记其内物质彼此位置，它具有相对的性质。在此，不妨把所得到的宇宙大尺度空间与时间之间关系的二条性质接受为公设。事实上，和物质一样，这两条公设所蕴含的宇宙时空的拓扑性质是宇宙创生后所留下的遗迹。它不为宇宙动力学因素所决定。三、数学模型我们定义宇宙时间失量为宙，用表示。它具有时间的量纲，其模，为宇宙历史的长度（也称宇宙年龄）。根据时间的均质拓扑性质，我们设常数为时空当量。它具有速度的量纲。我们把失量的模，定义为宇宙半径。它具有空间的量纲。这样，我们就可以把宙时由失量的失端所决定的“曲面”定义为宇。很明显，宇是宇宙空间的总称。它具有空间的量纲。现在我们可以把前面的两条公设表述如下：（1）宇中各点具有等长的历史；（2）宙与宇处处垂直。根据这两条公设，我们知道失量也处处与宇垂直，并且在一定宙时，从的始点到宇中任一点的长度为。由此，我们发现四维欧氏空间中的超球面能够同时满足这两条公设及宇宙学原理。如果我们把其接受为宙和宇的真实结构，那么在一定宙时，宇是曲率为的三维常曲率空间。当时，；当时，。这是宙和宇的特殊状态，我们称其为宇宙奇点。很明显这是一个宇随宙的增长而膨胀的模型。其膨胀机制决定于宙和宇的结构及性质，不为宇宙动力学因素左右。 参看图1，在四维直角坐标系中超球面方程为：, （1）超球坐标系与共原点的笛氏直角坐标系的变换为： （2）四、宇宙的几何特征由（2），我们得拉梅系数：，；弧元：，；宙时，宇（超球面）中的度规：； （3）宙时，超球面元：， （4）对其积分得：，我们称 （5）为宙时宇的体积。五、宇宙膨胀公式在一定宙时，超球面上连接任意两点的短程线，都在过该两点的大园上。由于宇的超球对称性，要研究宇中的两点问题，我们只需考察大园上该两点的变化情况即可。取、坐标轴所在平面上的大园。这时，见（3）式，其度规形式为： （6）见图2，设、为宙时大园上任意两点的位置。其所夹的短弧长为，我们称之为该两点在宙时的实际距离。、为该两点在宙时在大园上的位置，其所夹的短弧长，是该两点在宙时的实际距离。或所对应的园心角为。我们称为宙差。结合图2的几何关系，宙时的经时间后膨胀到宙时的，其关系为：。如果我们设为该两点的膨胀速度，则：， （7） （8）由（6）式，我们定义速度为：，则： 或 （9）现在我们要讨论光子在两点之间的运动情况。设（为光速），并代入（9）式得：， （10）这就是光子在宇中运动的微分方程。解（10）式得：， （11）将（8）式代入（11）式得：， （12）我们称（12）式为宇宙膨胀公式。将（7）式代入（12）式得其另一种形式：. （13）六、三种距离的几何意义前面公式中涉及到宇中任意两点的三种距离。在此有必要加以明确（见图2）。：宇中两点在时的实际距离；：该两点在时的实际距离；由于，由（11）式得：。如果我们设光子经时间，从点到点所走的距离为，对该式积分得：，最后得： （14）可见为电磁波的传播距离，对于相对于我们地球的另外天体而言，我们称之为观测距离。三种距离的关系为：.七、宙长（宇宙年龄）将代入（12）式得：，变换其形式，并将代入该式得： （15）选一组较精确的观测值（、），就可由（15）式确定.八、对天文现象的寿命期及周期的修正设为对某一天文现象的寿命期或周期的观测长度，为其实际长度，见图3，设（、）和（、）分别为这一天文现象开始时与结束时的两组参数。则，由于，则.由于，则 （16）将，分别代入（12）式得：，.（注意：是与、相对应的）在本问题中，由于不变，所以，这样变换上面二式的形式得：，将其代入（16）式得：。由于，整理上式得： 或 （17） 由此式可知某一天文现象的寿命期或周期的观测值与实际值之间有修正因子。九、超光速与减光速光速的常数性和极值性已为宇宙局部时空中的实验所证实。但是，由于宇宙膨胀效应的存在，使光子在宇观尺度上的传播速度的实测值的大小与光子距观察者的距离及相对观察者的运动方向有关。见图4，设光子由点发出，经后到达点。由（13）式得：，设光子在点相对点观察者的速度为，间的膨胀速度为，则 ，重写该式得： （18）可见光子在点相对点观察者的速度是超光速的。在点的观察者所看到的情况则不同。设间的膨胀速度为，由（7）式得：.由图4得：，将与代入该式得：.设光子在点相对点观察者的速度为，间的膨胀速度为，则：，由于，见图4，则：，（光子射向点） （19）可见光子在点相对点观察者的速度是减光速的。由（18）及（19）式可见，当光子经过点或点时，由于，这时观察者所测得的光子速度为常数，因此我们在地球上所测得的光速恒为。十、哈勃定律的几何意义哈勃定律在研究距我们较近的星系时具有很好的近似（太近了，由于星系的本动，也会使观测值与其偏离），但严格地讲，对于相对我们很远的星系是不能成立的。其原因为，在哈勃关系式中所用的距离是观测距离。哈勃关系式为：.各量的意义为：是距我们远的星系相对我们的退行速度；是该星系到我们地球的观测距离，是哈勃常数。下面我们将明确的几何意义。将代入(12)式得: ,按幕级数展开其右边项得:().由于很小，若取展开式的第一项做为一级近似，得：. 由于，所以. 比较哈勃关系式，我们有. 可见，为（宇宙近似年龄）的倒数。哈勃关系式的严格形式就是宇宙膨胀公式。十一、遥远星系光谱的特征红移重写（17）式 . 在此各量的意义为：为退行星系（光源）的光波周期；为在地面实验室中接收器所得到的该星系的光波周期；为该星系相对地球的退行速度（膨胀速度）；为光速。如果我们设星光在光源时与在接收器时的频率分别为：、，波长分别为：、，则有：，将其代入（17）式得：， （20）由于红移量，则：. (21)该式是我们得到的又一重要公式，可称之为红移公式，或哈勃定律的红移形式。用其可解释红移问题。对红移问题的多普勒效应的解释公式为:，相对论修正后的多普勒效应的解释公式为：. 用该二式与(21)式比较(见图5)，则有:当时，恒有；当很小时，展开（21）式右边项，并取一级近似得：，这时与多普勒效应的解释形同。遥远星系相对我们退行所发射的电磁信息是按（19）式的规律传播的，又因存在宇宙的膨胀运动，所以在宇观尺度上使用伽利略变换或洛伦兹变换是盲目的。由此我们得出结论：遥远星系的红移不能用多普勒效应来解释。 十二、类星体的红移周期性分布的观测结果是对本模型的直接验证早在1967年Burbidge等人就指出类星体的红移存在着某种周期性，随后Cowan、Lake和Roeder、Karlsson、方励之和褚耀泉等、Depaquit、Pecker和Vigier的研究结果都证实了红移确实存在着周期性分布的成份。朱杏芬和褚耀泉最近的工作使类星体的红移分布规律更明确化了。他们采用功率谱方法分析了与低红移星系成协的类星体的红移分布。在较高的置信度水平上（99%）证实了红移的周期性分布。这是观测宇宙学上的重要发现，它蕴含着宇宙大尺度时空几何的结构性质的重要信息。下面我们将证明在地面实验室内所观测到的类星体的红移周期性分布是本模型所提示的宇宙重要的基本规律之一。根据类星体物理特性的分析，本文同意类星体是大爆炸早期密集物质的残迹的观点。这样，我们有理由认为类星体是现在星系的前身，是宇内物质演化的早期形态。为了方便，我们称在不同宙时宇内一定空间区域内的物质（类星体或星系）为宇内同一演化物质。见图6，点为地球所在的时空位置。1、2、点为宇内同一演化物质在宙、时的空间位置。设该宇内同一演化物质在任意宙时所发射的电磁波的波长为，在点地面实验室的观察者在宙时所接收的该宇内同一演化物质在宙、时所发射的电磁波长为、，与其对应的红移值为：、. 点为该宇内同一演化物质（这时已演化成星系）在宙时的空间位置。为地球与其的实际距离。为所对应的园心角，我们称其为初相角。将(8)式（这时）代入(20)式得: .由于该宇内同一演化物质在宙与时，红移公式中的角度相差一个周期. 所以将地面实验室所记录的、分别代入该式得：、.后两式相减得: ，设， （22） 则: 或 . 利用该式叠代，可得用该宇内同一演化物质离我们最近像的来表示其不同时代像的. 即:. (23)由于 ，所以该式亦有，或 . (24)(24)式是我们得到的又一重要公式。我们称其为红移周期公式。为了考察该式，我们设，. 见图7。下面我们将以文章中所给的观测资料为例来确定值，并对本模型进行验证。其宇内同一演化物质（类星体）离我们最近两个像的红移值为：、.将其代入(24)式得：. 将其及代入(24)的前式得:. 由此式我们确定该宇内同一演化物质（类星体）的红移周期分布为: 、。将此分布值（理论计算值）与文章所给的观测统计值，、，比较，可见符合的非常好。由（24）式我们知道0.3并不是该宇内同一演化物质离我们最近像的红移值，其离我们最近像的红移值为0.056, 这时该宇内同一演化物质可能已变成了星系。如果文章的资料的置信度为99.99%，那么由本模型所给出的宙和宇的超球结构性质就得到了观测强有力的支持。由此可以得出结论：在地面实验室所得到的与低红移星系成协的类星体的红移分布的周期性是宇内同一演化物质在、时的像的反应。在时该宇内同一演化物质所发射的电磁波已绕宇宙走了圈零一个初相。即可以在同一天区看到同一宇内演化物质在不同时代的像。据此可以解释大红移量的类星体具有大辐射功率的难题。十三、宇宙几何特征值的确定类星体的红移周期性分布规律为宇宙大尺度时空拓扑提供了重要信息。根据本模型我们可以确定宇宙的几何特征值。由(22)式可得时空当量为:(是个普适常数)。值的确定致关重要。如果文章中所给的、的置信度很高，那么是可以信赖的。由此我们可以确定宇宙所有的几何特征值：宇宙半径：；宇的曲率：；宇的体积：参考文献0 Weinberg,S.:Gravitation and Cosmology,John Wiley,New York,19721 方励之，自然杂志，9（3）（1986），163166。2 朱杏芬，褚耀泉，天文学报，31卷2期（1990），132138。3 Burbid