等差数列与等比数列的应用.doc

第25课 等差数列与等比数列的应用考试目标 主词填空1.用归纳法或已知数列an的前n项和Sn，写出数列an的通项公式，其模式为：an=.2.灵活运用等差数列、等比数列的诸种性质，解决有关问题，在等差数列中，常见的性质有与首末等距离，项之和不变，均匀抽取一些项，依原次序排出来仍成等差数列.3.考察等比数列的单调性，往往要分类讨论.4.利用等差数列、等比数列有关知识，解决实际生活中的有关问题.5.利用等差数列，等比数列有关知识，解决日常生活中的“分期付款问题”.题型示例 点津归纳【例1】 已知首项为正数的等比数列an的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且对一切正整数n都有SnTn，求数列an的公比q的取值范围.【解前点津】 由已知条件SnSn，a10，0，q(qn-1)0.若q0,所以q0.当q0且q1时，qn1，q1于是，所求q的取值范围是(0，1).【解后归纳】 只有当公比q1时，才能使用公式Sn=.【例2】 已知在数列an中，a1=-2，且an+1=Sn(nN*)，求an，Sn.【解前点津】 应用公式an+1=Sn+1-Sn.【规范解答】 an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn，Sn+1=2Sn(nN*).Sn是公比为2，首项为S1=a1=-2的一个等比数列，Sn=a12n-1=-2n，当n2时，an=Sn-Sn-1=-2n-1，an=.【解后归纳】 对任一数列an，可用Sn表示an.即：an=.【例3】 解答下列有关分期付款的问题.(1)已知贷款总值为a万元，按复利计算，期利率为r，5期还完，每期付款多少万元?(2)已知贷款a万元，按单利计算，期利率为r，5期付完，每期付款多少万元?【解前点津】 所谓分期付款，就是每期等额付款的一种付款方式，列出每期付款x万元后，剩额多少便一目了然.【规范解答】 (1)设每期付款x万元，则：第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)4；第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)3；第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)2；第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)；第五期付x万元，到结清时实值为：x. 到结清时共付款的实值为：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x.此时它应与a万元存入银行五年等值.即：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x=a(1+r)5解之：x=.(2)设每期付x万元，则：第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+4r)；第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+3r)；第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+2r)；第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)；第五期付x万元，到结清时实值为x，到结清时共付款的实值为：x(1+4r)+x(1+3r)+x(1+2r)+x(1+r)+x.此时它应与a万元存入银行五年等值，即： x(1+4r)+(1+3r)+(1+2r)+(1+r)+1=a(1+5r)x=.【解后归纳】 付款有特定的计算方式，分清单利还是复利，掌握“程序”，是解题的要领.【例4】 (1)在边长为a的正三角形内作一个内切圆，在内切圆内作一个内接正三角形，然后又在这个正三角形内作一个内切圆，将这种操作进行下去，求所有这些圆的面积之和.(2)在一个棱长为a的正方体内作一个内切球，然后在这个球内作一个内接正方体，然后又在正方体内作内切球，将这种操作一直进行下去，求所有这些球体体积之和.【解前点津】 (1)将正三角形的边长与数列an对应.(取a1=a)，将圆的半径与数列Rn对应.然后求出Rn的通项公式.(2)将正方体的棱长与数列xn对应，且x1=a，将内切球的半径与数列yn对应，然后求出yn的通项公式.【规范解答】 (1)设正三角形的边长依次构成数列an，且a1=a；内切圆的半径依次构成数列Rn.先计算R1.如图所示，R1与是两直角边，R1=tan30=a.因第n个正三角形的边长是an，所以，第n个内切圆的半径Rn=an，下面计算a2.如图所示，=R1cos30，a2=2(a)()=a，R2=a2=a，又=，Rn是一个首项为a，公比为的一个等比数列.Rn=(a)（）n-1,从而R=S=R+R+R+R+=(+)=a2.(2)设正方体的棱长依次构成数列xn，且x1=a，内切球的半径依次构成数列yn下面分别计算x2，y1，y2.2y1=x1，y1=.在球内作内接正方体时，正方体对角线的长度等于球的直径.故由2y1=x2得x2=，y2=.=，yn是一个首项为，公比为的一个等比数列，yn=()n-1=，y=.V=V1+V2+V3+Vn+=y+y+y+y+=()=a3=a3.【解后归纳】 将几何问题与数列对应，构造递推数列，计算数列的首项.推导数列的通项公式，依据通项公式计算使问题得一解决，是应用数列知识的具体体现.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.数列an+b中，a、b为常数，a0，该数列前n项和为Sn，那么当n2时，有 ( )A.Snn(a+b) B.Snan2+bnC.an2+bnSnn(a+b) D.n(a+b)Snan2+bn2.设数列an满足an-1+an+1=2an(n2，nN*)，则数列an必定是 ( )A.等差数列 B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列3.数列an是公差不为0的等差数列，且a7，a10，a15是一等比数列bn的连续三项，若该等比数列的首项b1=3，则bn为 ( )A.3 B.3 C.3 D.34.已知数列an中，a1=14，an+1=an-(nN*)，则使anan+21)，问数列an是否为等比数列，并说明理由.16.已知数列an满足条件：a1=1，a2=r(r0)，且anan+1是公比为q(q0)的等比数列，设bn=a2n-1+a2n，求数列bn的前n项和Sn.17.购买一件售价为12000元的商品，采取分期付款的办法.每期付款数相同，购买后一个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第4次付款后全部付清.如果月利率为0.5%，按复利计算，那么每期应付款多少?第4课 等差数列与等比数列的应用习题解答1.C Sn=a+bn=n2+(+b)nan2+bn.2.A 由an+1-an=an-an-1即得.3.A 由条件a=a7a15(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d)(d0)，a1=-d，a7=d，a10=d，a15=d，bn的公比q=，bn=b1qn-1=3()n-1.4.B a1=14，d=-，an=a1+(n-1)d=-n，1n21时，an0；n=22时，an=0；n23时，an0，n=21时，a21a231，T12=a10a11a12T9T9，又0a131及T13=a13T12，T130,故由n=5,故前5项和最大. 15.Sn+1-Sn=kan+1，又Sn+1-Sn=an+1，2Sn+1=(k+1)an+1即2Sn=(k+1)an(n2),以上两式相减得：2an+1=(k+1)an+1-(k+1)an(n2)，(k-1)an+1=(k+1)an(n2)，= (n2).又S1+S2