高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3 数学归纳法与贝努利不等式课件 北师大版选修45.ppt

第二章几个重要的不等式 3数学归纳法与贝努利不等式 3 1数学归纳法3 2数学归纳法的应用 一 阅读教材p36 p37 数学归纳法 的有关内容 完成下列问题 1 数学归纳法 1 数学归纳法的概念 设有一个关于正整数n的命题 若当n取第1个值n0时该命题成立 又在假设当n取第 个值时该命题成立后可以推出n取第 个值时该命题成立 则该命题对 都成立 这种证明方法叫作数学归纳法 2 数学归纳法适用范围 可用于证明与 有关的命题 k k n k n0 k 1 一切自然数n n0 正整数 2 数学归纳法证明命题的步骤 1 验证当n取 如n0 1或2等 时命题正确 2 假设当n k k n k n0 时命题正确 证明当 时命题也正确 在完成了上述两个步骤之后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确 第一个值n0 n k 1 1 1 数学归纳法中 n取得的第一个值n0是否一定是1 2 如何理解归纳假设在证明中的作用 提示 1 n0不一定是1 是符合命题的第一个正整数 2 归纳假设在证明中起一个桥梁的作用 用于联系第一个值n0和后续的n值所对应的情形 在归纳递推的证明中 必须以归纳假设为基础进行证明 否则 就不是数学归纳法 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程如下 1 当n 1时 左边 20 1 右边 21 1 1 等式成立 2 假设n k k 1 且k n 时 等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 没有用到归纳假设 二 阅读教材p38 p39 数学归纳法的应用 的有关内容 完成下列问题 3 贝努利不等式对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 2 在贝努利不等式中 当指数n推广到任意实数且x 1时 不等式形式将有何变化 提示 当指数n推广到任意实数且x 1时 若01 则 1 x a 1 ax 用数学归纳法证明等式 点评 应用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在运用归纳假设 分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放等手段 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求两者的结合点 以便顺利过渡 利用归纳假设 经过恒等变形 得到结论需要的形式 用数学归纳法证明不等式 点评 在用数学归纳法证明不等式问题中 从n k到n k 1的过渡中 利用归纳假设是比较困难的一步 它不像用数学归纳法证明恒等式问题 只需拼凑出所需要的结构来 而证明不等式的第二步中 从n k到n k 1 只用拼凑的方法 有时也行不通 因为对不等式来说 它还涉及放缩的问题 它可能需通过放大或缩小的过程 才能利用上归纳假设 因此 我们可以利用比较法 综合法 分析法等来分析从n k到n k 1的变化 从中找到放缩尺度 准确地拼凑出所需要的结构 贝努利不等式的应用 点评 贝努利不等式可把二项式的乘方 1 x n缩小为1 nx的形式 这在用数值估计和放缩法证明不等式中可发挥较大的作用 3 已知n为正整数 求证 1 cosx n 1 n cosx 证明 因为 cosx 1 所以由贝努利不等式 得 1 cosx n 1 cosx n 1 ncosx 又1 ncosx 1 cosx 1 n cosx 1 n cosx 所以 1 cosx n 1 n cosx 用数学归纳法解决与正整数n有关的探索型问题 点评 解决该类问题的思路 先通过给n赋一些特殊值 通过对得到的结果观察 判断 猜想出一般性结论 然后用数学归纳法证明 1 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步中验证n的初始值至关重要 它是递推的基础 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范围内的最小值 2 第二步证明的关键是运用归纳假设 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异与联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 3 数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明 既可以是恒等式也可以是不等式 有一定的综合性 其中用不完全归纳