高数、现代,物理期末试题大合集.doc

光信二班第一学期期末讲义高等数学1） 已知理想气体状态方程，则。2） 设，则。函数在点的梯度为。已知，其中为可微函数，则。已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线方程为。3、设，其中均为二阶可微函数，求。解： 4、设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数。解：无妨设，则在新变量下方程可变为。5、已知，其中均为可微函数，求。解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得消去可得 6、设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。解：设 ，如图容易看出与正方向的夹角为钝角，其轴坐标为负，所以 ， 9、已知为常数，且，求证：证明：设，此问题变为求函数满足条件的最大值，其中都大于零。考虑函数解此方程组可得 所以所求最大值为 及有时，。26求下列函数的条件极值： ( 1) ；解(1) 构造拉格朗日函数 由得驻点(2，2，4)，又因为 ，从而在驻点处 因此原函数在驻点(2，2)处取得极小值4。23求下列方程所确定的隐函数的导数:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解：(1) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(2) 方程两边关于x求导，得 ， 因此，所求隐函数的导数为。(3) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(4) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。17.已知 解： ， ， ， 18.，求。解 ；19.设函数 ，求 解：20.解：， 21.计算下列函数的二阶偏导数:(1) ； (2) ；解: (1) , ， 。 (2) ,; 。1.求下列二元函数的极限:(1) (2) (4) (3) 解: (1) 当时，因此 。 (2) 当时，因此，。(3) 当时，因此，。(4) 当时，因此，。已知点 解 设所求夹角为,则 求经过直线且平行于直线的平面方程. 解 L1的参数方程为 化为标准方程为 其方向向量为而直线L2的方向向量为故所求平面法向量为 所求平面过点(0,0,2),故所求平面方程为五.(7分)求函数的极值. 解 从而驻点为列表如下x 1 （1，2） 2 （2，+） 0 + 0 +f(x) 极小值 非极值 所求函数最小值为 六.(12分)设函数求函数的单调区间与极值点;函数的凹凸区间与拐点;函数的渐近线. 解 函数的定义域为(, 1)(1,+ ),且 从而函数的驻点为0,3.又二阶导数为零的点为0,列表如下:x3 0（0,+） +0 + 0 + 0 +凸极大凸凸拐点凹函数的单调增加区间为和（0,+）,单调减少区间为(3,1).极小值点为3.凹区间为,凸区间为和,拐点为(0,0).下面再求渐近线.显然,直线x=1是垂直渐近线.而 因而曲线无水平渐近线,但 因而曲线有斜渐近线 大学物理4 一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度 ( )(A)大小为v/2，方向与B端运动方向相同；(B)大小为v/2，方向与A端运动方向相同；(C)大小为v/2, 方向沿杆身方向；(D)大小为 ，方向与水平方向成 角。5 某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为 （ ） (A)4km/h，从北方吹来； (B)4km/h，从西北方吹来；(C)km/h，从东北方吹来； (D) km/h，从西北方吹来。6 质量为0.25kg的质点，受(N)的力作用，t=0时该质点以=2m/s的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是 ( ) (A)2+2m；(B)m；(C)m；(D) 条件不足，无法确定。7 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为和，且 (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力代替，系统的加速度大小为，则有 ( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 条件不足，无法确定。8 如图所示，质点从竖直放置的圆周顶端A处分别沿不同长度的弦AB和AC (AC； (C) ； （B）；（C）=； （D）无法确定。127 “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外作功。”对此说法，有如下几种评论，哪个是正确的？ （ ）（A）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律；（B）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律；（C）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律；（D）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。128 一摩尔单原子理想气体从初态（、）准静态绝热压缩至体积为其熵（ ）（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）不能确定。129 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由增至，此过程中气体的（ ）（A）内能不变，熵增加； （B）内能不变，熵减少；（C）内能不变，熵不变； （D）内能增加，熵增加。130 一热机由温度为727的高温热源吸热，向温度为527的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ）（A）400J； （B）1450J； （C）1600J； （D）2000J； （E）2760J。131 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ）（A）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功；（B）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高；（C）热量不可能从低温物体传到高温物体；（D）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。75 有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k，（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；（2）把它们并联起来，下面挂一质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。76 质量为m的物体和一轻弹簧组成弹簧振子其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量E= 。77 产生机械波的必要条件是 和 。78 一平面简谐波的周期为2.0s，在波的传播路径上有相距为2.0cm的M、N两点，如果N点的位相比M点位相落后/6，那么该波的波长为 ，波速为 。79 处于原点（x=0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为，其中A、B、C皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。80 一列强度为I的平面简谐波通过一面积为S的平面，波的传播方向与该平面法线的夹角为，则通过该平面的能流是 。81 一平面简谐波沿ox轴正向传播，波动方程为，则处质点的振动方程为 ，处质点的振动和处质点的振动的位相差为 。82 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。83 一驻波的表达式为，两个相邻的波腹之间的距离为_。84 一驻波表式为（SI制），在x=1/6（m）处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。(4-5) D D ； （610）：B B A D C B；（1115）：A C A D C； （1620）：B D D D A ；（2126）：B D A B A CB； （2731）：E D A D A（108112）：D B D C D （113118）：D B C C D C；（119126）：C D C C B B D C；（127131）：C C A A D75、， 76、 77、波源，传播机械波的介质78、24cm，12m/s 79、， 80、81、， 82、不能 83、 84、，OAB1一质量为的小球用长的细绳悬挂在钉子O上。如质量同为的子弹以速率从水平方向击穿小球，穿过小球后，子弹速率减少到。如果要使小球刚好能在垂直面内完成一个圆周运动，则子弹的速率最小值应为多大？（10分）2如右图所示，1mol氦气在温度为300K，体积为0.001m3的状态下，经过（1）等压膨胀A1B过程，（2）等温膨胀A2C过程，（3）绝热膨胀A3D过程，气体的体积都变为原来的两倍。试分别计算前面两种过程（等压膨胀过程和等温膨胀过程）中氦气对外作的功以及吸收的热量。（10分） （k=1.3810-23J/K，R=8.31J/molK）0.0020.0013 一容器内储有氧气，其压强为1.01105Pa，温度为27oC，求气体分子的数密度；氧气的密度。（10分） （k=1.3810-23J/K，R=8.31J/molK）3一定量的氢理想气体在保持压强为4.00105Pa不变的情况下，温度由0升高到50.0时，吸收了6.0104J的热量。（10分）（1）氢气的量为多少摩尔？（2）氢气的内能变化了多少？（3）氢气对外做了多少功？（4）如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样的变化，它吸收了多少热量？ （普适气体常数 R = 8.31 J /（molK）3、如图所示，质量为m1=0.01kg的子弹以v0=1000ms-1的水平速度射向并嵌入一质量为m2 =4.99kg的木块，木块与一劲度系数为k=8000N.m-1、一端固定的轻弹簧相连接。子弹射入前，木块自由静止在光滑水平面上。试问：（1）木块被击后那一瞬时的速度；（2）木块被击后弹簧被压缩的最大长度；（3）木块振动运动学方程。（以平衡位置为坐标原点，如图所示的坐标系并以木块开始振动时为计时起点） 六、某单原子理想气体循环过程的V-T图，图中Vc=2VA。试问（1）图中所示循环是致冷机还是热机？（2）求循环效率。XO二. 一质量为m的质点系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动。设质点最初速率是v0，当它运动一周时，其速率变为v0/2，求（1）摩擦力作的功;（2）滑动摩擦系数;（3）在静止以前质点运动了多少圈？ 解： 又由 可以解得 设静止以前转动了N圈 u带入得 三. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量，其中m为圆形平板的质量）解： 取半径为r的质元，摩擦力 df = u2rdrg摩擦力矩 dM= rdf =圆盘的摩擦力矩 由功能原理摩擦力矩做的功等于圆盘的初始动能，停止时有： 设静止以前转动了N圈则：=2N、解得： 四. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1 = 410-2cos2p (SI), x2 = 310-2cos2p (SI) 求合振动方程解： =6.48cm x =6.4810-2cos(2t+1.12)m (或6.48cos (2t+1.12)cm)五. 一简谐波，振动周期 s，波长l = 10 m，振幅A = 0.1 m当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值若坐标原点和波源重合，且波沿Ox轴正方向传播，求： (1) 此波的表达式； (2) t1 = T /4时刻，x1 = l /4处质点的位移； (3) t2 = T /2时刻，x1 = l /4处质点的振动速度解：=2/T=2/（1/2）=4 =0 k=2/=2/10=0.2y=0.1cos(4t0. 2x)m t1 = T /4时刻，x1 = l /4处质点的位移y=0.1cos(4/80.210/4)m=0.1m t2 = T /2时刻，x1 = l /4处质点的振动速度v=0.14sin (4/40.210/4) =0.14=1.26m/sL0L0WE计算题1图5. 火箭相于地面以u=0.6c的匀速度向上飞离地球。在火箭发射10秒钟后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为v=0.3c，问火箭发射后多长时间导弹到达地球(地球上的钟)？计算中假设地面不动。解：设地球是S系，火箭是S系。按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后s这段时间火箭相对于地面飞行的距离导弹相对地球速度为，则导弹飞到地球的时间是s那么从火箭射后到导弹到达地面的时间s6. 一艘宇宙飞船船身固有长度为l0=90m，相对于地面以u = 0.8c的匀速度从一观测站的上空飞过。(1) 观测站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？解：(1) 地面观测站测得飞船船身的长度为m则 s(2) 宇航员测得飞船船身的长度为l0，则s9. 要使电子的速度从v1=1.2108m/s增加到v2=2.4108m/s，必须对它作多少功？（电子静止质量me=9.1110-31kg）解：根据功能原理，要做的功W=DE根据相对论能量公式根据相对论质量公式，=4.7210-14J=2.95105eV线性代数1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是实对称矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B. C.D. 15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式. 27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.C 12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 6 16. 17. 4 18. 10 19. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c为任意常数 20. n-r 21. 5 22. 2 23. 1 24. 25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1= 所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=. =-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设， 即，