范德蒙行列式.pdf

第20卷第3期大 学 数 学Vol 20 3 2004年6月COLL EGE MA THEMA T ICSJun 2004 范德蒙行列式在微积分中的应用 程伟健 贺冬冬 合肥工业大学 理学院 信息与计算科学专业02级 合肥230601 我们称形如 V 11 1 x1x2 xn x 2 1x 2 2 x 2 n x n 1 1x n 1 2 x n 1 n 1 i j n xj xi 的行列式为范德蒙 V andermonde 行列式 它构造独特 形式优美 更由于它有广泛的应用 因而成为一 个著名的行列式 本文将通过若干实例来说明这个行列式在微积分中的应用 例1 1 确定常数a b c d 使得f x acosx bcos2x ccos3x dcos4x当x 0时为最高阶的 无穷小 并给出其等价表达式 解 对f x 的各项利用泰勒公式 有 f x a1 x 2 2 x 4 4 x 6 6 o x 6 b1 2 x 2 2 2 x 4 4 2 x 6 6 o x 6 c1 3 x 2 2 3 x 4 4 3 x 6 6 o x 6 d1 4 x 2 2 4 x 4 4 4 x 6 6 o x 6 a b c d 1 2 a 22b 32c 42d x 2 1 4 a 24b 34c 44d x 4 1 6 a 26b 36c 46d x 6 o x 6 当x 0时 若f x 最高阶无穷小在6阶以上 则有方程组 a b c d 0 a 22b 32c 42d 0 a 24b 34c 44d 0 a 26b 36c 46d 0 其系数行列式 D 1111 1223242 1243444 1263646 为范德蒙行列式 由于D 0 故以a b c d为未知数的方程组只有零解 a b c d 0 从而f x 0 这显然不合题意 故以下考虑f x 当x 0时最高阶无穷小为6阶的情形 令 收稿日期 2003209220 基金项目 安徽省重点教学研究项目 2001011 a b c d 0 a 22b 32c 42d 0 a 24b 34c 44d 0 等价于 b c d a 22b 32c 42d a 24b 34c 44d a 此以b c d为未知数的线性方程组 其系数行列式为范德蒙行列式 D1 111 223242 243444 0 方程组有唯一一组依赖于a的解 b 2a c 9 7 a d 2 7 a 从而f x 在x 0的邻域内的最高阶无 穷小有下述形式的表达式 f x 1 6 a 27a 9 7 36a 2 7 46a x 6 o x 6 7 2 ax 6 o x 6 例2 2 设f x 至少有k阶导数 且对某个实数 有 li m x x f x 0 li m x x f k x 0 1 试证 li m x x f i x 0 i 0 1 2 k 其中f 0 x 表示f x 证 由条件 1 要证明li m x x f i x 0 只要将f i x 写成f x 与f k x 的线性组合即可 利用 泰勒公式 f x m f x mf x m 2 2 f x m k 1 k 1 f k 1 x m k k f k m 2 其中x m x m m 1 2 k 这是关于f x f x f k 1 x 的线性方程组 其系数行列式 为 D 11 1 2 1 k 1 12 22 2 2 k 1 k 1 1k k 2 2 k k 1 k 1 1 1 2 k 1 111 1 1222 2 k 1 1332 3 k 1 1kk2 k k 1 后一行列式为范德蒙行列式 其值为1 2 k 1 故D 1 于是可从方程组 2 把f x f x f k 1 x 写成f x m m 1 2 k 与f k m m 1 2 k 的线性组合 我们只要证明 li m x x f x m li m x x f k m 0 m 1 2 k 即可 事实上 设x t x k 于是 li m x x f i t li m x x t t f i t li m x x t li m x t f i t 0 i 0 k 在此式中分别令t x m i 0和令t m i k 则得 li m x x f x m li m x x f k m 0 m 1 2 k 注 类似的方法可证如下命题 3 设函数f在 a 上有直到n阶导数 且有 li m x f x A li m x f n x B 821大 学 数 学 第20卷 求证 li m x f k x 0 k 1 2 n 例3 1 设f x 在区间I上n阶可导 n 2 若对 x I f x M0 f n x Mn M0 Mn为 正常数 证明 存在n 1个正常数M1 M2 Mn 1 使对 x I f k x Mk k 1 2 n 1 证 设a1 a2 an 1 I 且ai 0 ai aj i j 由泰勒公式 对 i 1 2 n 1 f x ai f x n 1 k 1 f k x k a k i f n n a n i 由此得 n 1 k 1 f k x k a k i f x ai f x f n n a n i 因此 n 1 k 1 f k x k a k i f x ai f x ai n n f n 2M0 A n M n 其中A max 1 i n 1 a i n 令 n 1 k 1 a k i k f k x Ai x x I i 1 2 n 1 1 则 Ai x 2M0 A n M n x I i 1 2 n 1 由于方程组 3 的系数行列式D为 D a1 a21 2 a31 3 a n 1 1 n 1 a2 a22 2 a32 3 an 12 n 1 an 1 a2n 1 2 a3n 1 3 a n 1 n 1 n 1 a1a2 an 1 1 2 n 1 1a1a21 a n 1 1 1a2a22 a n 1 2 1an 1a2n 1 a n 1 n 1 右边的行列式为a1 a2 an 1的范德蒙行列式 由ai aj i j 及ai 0知D 0 故由克莱姆法则知 存在与x无关的常数 k 1 k 2 k n 1 使得 f k x n 1 i 1 k iAi x x I k 1 2 n 1 由此推得 x I k 1 2 n 1 f k x n 1 i 1 k i Ai x n 1 i 1 k i 2M0 A n M 0 Mk 例4 4 设函数f x 在x 0附近有连续的n阶导数 且f 0 0 f 0 0 f n 0 0 若 p1 p2 pn 1为一组两两互异的实数 证明 存在惟一的一组实数 1 2 n 1 使得当h 0时 n 1 i 1 if pih f 0 是比h n 高阶的无穷小 证 由题设条件 可得f pih i 1 2 n 1 在x 0处常有皮亚诺余项的马克劳林展开式 f p1h n k 0 p k 1h k k f k 0 o hn 1 f p2h n k 0 p k 2h k k f k 0 o hn 2 921第3期 程伟健 等 范德蒙行列式在微积分中的应用 f pn 1h n k 0 p k n 1h k k f k 0 o hn n 1 1 1 2 2 n 1 n 1 得 n 1 i 1 if pih f 0 n 1 i 1 i 1f 0 n k 1 1 k n 1 i 1 ip k if k 0 hk o hn 当h 0时 若 n 1 i 1 if pih f 0 为比h n 高阶的无穷小 则 1 2 n 1 1 p1 1 p2 2 pn 1 n 1 0 p 2 1 1 p 2 2 2 p 2 n 1 n 1 0 p n 1 1 p n 2 2 p n n 1 n 1 0 这是以 1 2 n 1为未知数的线性方程组 其系数行列式 D 11 1 p1p2 pn 1 p 2 1p 2 2 p 2 n 1 p n 1p n 2 p n n 1 1 i j n 1 pj pi 0 故上述方程组有惟一解 即存在惟一一组实数 1 2 n 1 使当h 0时 n 1 i 1 if pih f 0 是比h n 高阶无穷小 例5 5 设x0 x1 xn两两互异 函数f x 在x xi处的值为f xi yi i 0 1 n 证明 存在惟一的n次多项式Pn x 使Pn xi yi i 0 1 n 证 令Pn x a0 a1x a2x 2 anx n 由题设 有 a0 a1x0 anx n 0 y0 a0 a1x1 anx n 1 y1 a0 a1xn anx n n yn 这是以a0 a1 an为未知数的线性方程组 其系数行列式为范德蒙行列式的转置 D 1x0 x 2 0 x n 0 1x1x 2 1 x n 1 1xnx 2 n x n n 0 i j n xj xi 由于xi xj i j 故D 0 从而方程组有惟一解 即存在惟一的多项式Pn x 使Pn xi yi i 0 1 n 注 作为特例 我们不难知道 若n次多项式Pn x c0 c1x c2x 2 cnx n 对n 1个不同的x值都是零 则Pn x 0 参 考 文 献 1 邹应 数学分析习题及其解答 M 武汉 武汉大学出版社 2001 168 169