范德蒙行列式的应用探讨.pdf

收稿日期 2011 04 28 基金项目 湖北省教育厅教研项目 2010199 作者简介 张毅 女 副教授 现主要从事最优化理论和算法及高等数学方面的教学与研究工作 doi 10 3969 j issn 1673 1409 2011 08 004 范德蒙行列式的应用探讨 张 毅 长江大学信息与数学学院 湖北 荆州 434023 摘要 范德蒙行列式是 线性代数 的重要内容和研究工具 在许多方面有着广泛的应用 主要讨论了 范德蒙行列式在证明问题中的应用 关键词 范德蒙行列式 泰勒公式 克莱姆法则 中图分类号 O151 2 文献标识码 A 文章编号 1673 1409 2011 08 0010 03 在 线性代数 中 著名的范德蒙行列式 1 描述如下 Dn 111 1 x1x2x3 xn x 2 1x 2 2x 2 3 x 2 n x n 1 1x n 1 2x n 1 3 x n 1 n n i j 1 x i xj 范德蒙行列式构造很独特 形式非常的优美 在线性代数理论的研究和应用中都非常重要 下面 笔者 通过几个实例来说明范德蒙行列式在证明问题中的应用 例 1 设 x y z 0 试证明 f x y z 1 xy yz xz xx 2 yz yy 2 zx zz 2 xy y z 0 有 y x 0 z x 0 z y 0 所以有 f x y z 0 例 2 设多项式 f x a0 x n a1x n 1 an 1x an的 n 个根为 a1 a2 an 得 D f a 2n 2 0 1 j i n a i aj 2 为 f x 的判别式 证明 f x 有重根的充要条件是 10 长江大学学报 自然科学版 2011 年 8 月 第8 卷 第 8 期 Journal of Yangtze University Nat Sci Edit Aug 2011 Vol 8 No 8 N s0s1 sn 1 s1s2 sn sn 1sn s2n 2 0 其中 sk ak1 ak2 akn k 0 1 分析 D f a2n 20 1 j i n a i aj 2 的表达式符合范德蒙行列式 又根据行列式N 中元素的特点 应 想到把行列式 N 分解成 2 个行列式的乘积 证明 N 11 1 a1a2 an an 11an 12 an 1n 1a1 a n 1 1 1a2 an 12 1an an 1n 1 j i n a i aj 2 因此 f 有重根 D f 0 a 2n 0N 0 N 0 例3 证明 对平面上n个点 ai bi 1 i n a1 a2 an互不相等 必存在唯一的一个次数不超 过的 n 1 的多项式 f x 通过该 n 个点 ai bi 1 i n 即 f ai bi 1 i n 分析 要证明 n 个等式成立 也就是要证明 n 个方程组成的方程组有解 很自然地会想到克莱姆法 则 再根据系数行列式的特点 故考虑用范德蒙行列式的结论 证明 设 f x c1x n 1 c2x n 2 cn 1x cn 要使f ai bi 1 i n 即满足关于 c1 cn的线性方程组 a n 1 1c1 an 21c2 a1cn 1 cn b1 an 12c1 an 22c2 a2cn 1 cn b2 an 1nc1 an 2nc2 ancn 1 cn bn 而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式 D an 11an 21 a11 an 12an 22 a21 an 1n 1an 2n 1 an 11 a n 1 nan 2n an1 当 a1 a2 an互不相等时该行列式不为 0 由 Cramer 定理知方程组有唯一解 即对平面上的 n个点 ai bi 1 i n a1 a2 an互不相等 必存在唯一的一个次数不超过的 n 1的多项式f x 通过该 n 个点 例 4 设 f x 在区间I 上n 阶可导 n 2 若对 x I f x M0 f n x Mn M0 Mn 为正常数 证明 存在 n 1个正常数M1 M2 Mn 1 使对 x I 有 f k x Mk k 1 2 n 1 分析 题中出现n阶导数 很自然地会想到泰勒公式 2 要证明存在n 1个正常数 会想到建立方程组 证明 设 a1 a2 an 1 I 且 ai 0 ai aj i j 由泰勒公式 对于 i 1 2 n 1 有 f x ai f x n 1 k 1 f k x k aki f n n ani 由此得 n 1 k 1 f k x k aki f x ai f x f n n ani 因此 n 1 k 1 f k x k a k i f x ai f x f n n ani 2M0 A n Mn 11 第 8 卷 第 8 期张毅 范德蒙行列式的应用探讨 其中 A max 1 i n 1 ai n 令 n 1 k 1 f k x k aki Ai x x I i 1 2 n 1 1 则 Ai x 2M0 A n M n x I i 1 2 n 1 由于方程组 1 的系数行列式 D 为 D a1 a 2 1 2 a 3 1 3 a n 1 1 n 1 a2 a 2 2 2 a 3 2 3 a n 1 2 n 1 an 1 a 2 n 1 2 a 3 n 1 3 a n 1 n 1 n 1 a1 a2 an 1 1 2 n 1 1a1a21 an 11 1a2a 2 2 an 12 1an 1a 2 n 1 a n 1 n 1 右边的行列式为 a1 a2 an 1的范德蒙行列式 由 ai aj i j 及 ai 0 知D 0 故由克莱姆法 则知 存在与 x 无关的常数 k 1 k 2 k n 1 使得 f k x n 1 i 1 k i Ai x x I i 1 2 n 1 由此推得 x I k 1 2 n 1 有 f k x n 1 i 1 k i Ai x n 1 i 1 k i 2M0 A n Mn Mk 例5 3 设函数 f x 在 x 0 附近有连续的 n阶导数 且 f 0 0 f 0 0 f n 0 0 若 c1 c2 cn 1为一组两两互异的实数 证明 存在唯一的一组实数 1 2 n 1 使得当 h 0 时 n 1 i 1 if cih f 0 是比 hn高阶的无穷小 分析 根据题意 按照高阶无穷小的定义 结合泰勒公式和克莱姆法则来证明此题 证明 由题设条件 可得 f cih i 1 2 n 1 在 x 0处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式 f c1h n k 0 h kck 1 k f k 0 o h n f c2h n k 0 h kck 2 k f k 0 o h n 当 h 0 时 若 n 1 i 1 if cih f 0 为为比 hn高阶的无穷小 则 1 2 n 1 1 c1 1 c2 2 cn 1 n 1 0 c21 1 c22 2 c2n 1 n 1 0 cn1 1 cn2 2 cnn 1 n 1 0 这是以 1 2 n 1为未知数的线性方程组 其系数行列式为 D 11 1 c1c2 cn 1 c21c22 c2n 1 cn1cn2 cnn 1 1 j i n 1 c i cj 0 故上述方程组有唯一解 即存在唯一一组实数 1 2 n 1 使当 h 0时 n 1 i 1 if cih f 0 是比 hn 高阶的无穷小 参考文献 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 M 北京 高等教育出版社 1988 2 华东师范大学 数学分析 M 北京 高等教育出版社 2001 3 吴良森 毛羽辉 数学分析习题精解 多变量部分 M 北京 科学出版社 2005 编辑 洪云飞 12 长江大学学报 自然科学版 2011年 8 月 Journal of Yangtze University Nat Sci Edit Vol 8 No 8 Aug 2011 MAIN ABSTRACTS 01 The Value of Mortgage Insurance under Merton Jump Diffusion CHEN Li ping Hunan University of Finance and Economics Changsha 410205 Abstract An innovative design is provided for housing mortgage insurance on the basis of partial guarantee insurance then it obtains the pricing formula of the innovative mortgage insurance with the method of martingale pricing when the house price is driven by Merton jump diffusion Key words jump diffusion insurance option martingale pricing innovative design 04 The Assessment Model of Students Based on Fuzzy Clustering Analysis WANG Qia o yun S ichuan College of Architectural Technology Deyang 618000 Abstract According to the unreasonablity of students assessment method a mathematical model is established based on fuzzy clustering analysis and the classification problem about students assessment is discussed this method can reflect the students quality more objectively and scientifically and it provides the forceful foundation for teaching according to their amptitude Key words fuzzy clustering analysis calibration assessment 10 Application of Vandermonde Determinant on Proof Question ZHANG Yi Yangtze University Jingzhou 434023 Abstract The Vandermonde determinant is important linear algebra content and the research tool has the wide applica tion in many aspects T his article mainly discusses the Vandermonde determinant in the proof question Key words Vandermonde determinant Taylor formula Grammer principle 17 Geochemistry of Source Rocks in Hung 113 Well in the South of Western Qaidam Basin HU Yi wen ZHANG Min Key Laboratory of Exploration Technologies f or Oil and Gas Resources Yangtze University M inistry of Education Yangtze University Jingzhou 434023 Abstract Through the geochemical analysis techniques geochemical characteristics in Well Hong 113 in the segment of E13source rocks are analyzed in the south area of western Qaidam Basin The analyses of T OC hydrocarbon generating potential and types of organic matter and mat urity reveal that the source rock in E13segment is good There are strong phytane advantages and the abundance of gammacerane is high some segments have low abundance of gammacerane it indicates a strong reducing environment of deposition C27 29steranes relative composition reflects the source of hydrocar bon source rocks are mainly aquatic Key words Qaidam Basin source rocks saturated hydrocarbon geochemical characteristics 20 Evaluation of Hydrocarbon Source Rocks in Western Sag of Chadian Bongor Basin in Africa CHEN Xiao na WEN Zhi gang SONG Hua n xin Yangtze University Jingz hou 434023 Abstract Based on the geochemistry information of rock eval kerogen carbon isotope and kerogen microscope in com bination with the log geological logging and geological information the hydrocarbon generative potential of the lower Cretaceous source rocks in subdepression of the western is researched from four aspects of the vertical distribution of the source rock oganic matter abundance oganic matter type a