证明二 三角形.doc

第一章 证明（二）三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定：序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定理三角形全等的判定定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定理等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合“三线合一”6 定理等边三角形的判定定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形例1: 如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 例2 如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 例3： 如图：已知AB=AE，BCED，BE，AFCD，F为垂足, 求证: ACAD； CFDF。 例4 如图1、图2，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？例5 如图，在ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。证明（二）-等腰三角形专题练习1等腰三角形周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（ ）A7 B3 C7或3 D52等腰三角形的一个底角的余角等于（ ）A顶角 B底边上高与一腰的夹角 C顶角的两倍 D一腰上高与另一腰的夹角3中是内角平分线，则等于（ ）A350 B400 C1100 D7004已知等腰三角形的周长为24，其中一边长为7，则与它相邻的另一边长为（ ）A7或10 B8.5或7 C7或10或8.5 D10或8.5.5已知下列命题：有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等。其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个6等腰三角形的底角若为顶角的四分之一，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（ ）A等边三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰但非等边三角形7如图1所示，中，是上高，的平分线交于，则必为（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形8如图2所示，等边，过作，过作，垂足为，已知等边三角形的周长为则ABCDAB图1CFEDADCB图2A B C D9、如图所示中，AB=AC，点D在AC上且BD=BC=AD，求各角的度数ABCDE10、如图所示，已知：点、在的边上，求证：课外专练一、选择题1等腰三角形的对称轴是（ ） A顶角的平分线 B底边上的高 C底边上的中线 D底边上的高所在的直线2等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ） A17cm B22cm C17cm或22cm D18cm3 等腰三角形的顶角是80，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A40B50C60D304等腰三角形的一个外角是80，则其底角是（ ） A100 B100或40 C40 D805、如图1，已知OC平分AOB，CDOB，若OD=3cm，则CD等于（ ）A3cm B4cm C1.5cm D2cm 6、ABC中AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个7、如图2，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角形；DE=BD+CE；ADE的周长等于AB与AC的和；BF=CF其中正确的有（ ）A B C D8、如图3，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EFAB于F，则下列结论中不正确的是（ ） AACD=B BCH=CE=EF CCH=HD DAC=AF9、正ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则BIC等于（ ） A60 B90 C120 D15010、下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A B C D11、如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则DEF的形状是（ ） A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形 12、RtABC中，CD是斜边AB上的高，B=30，AD=2cm，则AB的长度是（ ） A2cm B4cm C8cm D16cm13、如图，E是等边ABC中AC边上的点，1=2，BE=CD，则对ADE的形状最准备的判断是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C不等边三角形 D不能确定形状二、填空题1、等腰ABC的底角是60，则顶角是_度2、等腰三角形“三线合一”是指_3、等腰三角形的顶角是n，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_4、ABC中，AB=AC点D在BC边上 （1）AD平分BAC，_=_；_； （2）AD是中线，_=_；_； （3）ADBC，_=_；_=_5ABC中，A=65，B=50，则AB：BC=_6已知AD是ABC的外角EAC的平分线，要使ADBC，则ABC的边一定满足_7ABC中，C=B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DEBC，则AD=_8一灯塔P在小岛A的北偏西25，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，此时测得灯塔P在北偏西50方向，则P与小岛B相距_9、ABC中，AB=AC，A=C，则B=_10、已知AD是等边ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则AFE=_11、等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_12、ABC中，B=C=15，AB=2cm，CDAB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_三、解答题1已知D、E分别是等边ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？2、已知ABC中AB=AC，ADBC于D，若ABC、ABD的周长分别是20cm和16cm，求AD的长 3、如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且ABD=ACE，求证：BF=CF5、如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，求证：DBE是等腰三角形6如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：ABC=ADC.7如图，ABC中，AB=AC，BAC=120，ADAC交BC于点D，求证：BC=3AD .直角三角形一、主要知识点 1、直角三角形的有关知识。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。C1.如图，在ABC中，ACB=900，AB=5，BC=3，CDAB于点D，求CD的长。2.如图，在ABC中，BC=AC，P为AB上一点，求证：PC2+PBPA=BC23.如图,在ABC中,D是BC上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.4.如图,CDAD,CBAB,AB=AD. 求证:CD=CB.5.点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过点E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD。（1）求证：BD平分EF 如图（2）若将DEC的；边EC沿AC方向平行移动变为如图1-2时，其余条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由。6.如图，P为等边ABC内一点，PC=3，PB=4，PA=5，求BPC的度数。7.如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一坚直的墙上AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将向外移动多少米？8.如图，AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交高AD于点F，且BF=AC，FD=CD。求证：BEAC9.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中ACB=DEC=900，A=450，D=300，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转150得到DCE(如图(2),这时AB与CD相交于点O,DE与AB相交于点F.（1）求OFE的度数； （2）求线段AD的长。10.如图，在RtDBC中，C=900，A=300，BD是ABC的平分线，AD=20。求BC的长。 12.如图，RtABCRtCDE，B=D=900，且B、C、D三点共线，试证明ACE=900。 13.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将OAB绕点O按逆时针方向旋转到OAB，使点B的对应点B落在y轴的正半轴上，已知OB=2，BOA=300。（1）求点B与点A的坐标；（2）求经过点B与点B的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A是否在直线BB上.直角三角形-专项训练二1.满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）. A三内角之比为1：2：3 B.三边之比为1: C.三边长为41,40,9 D.三边长为,2,82.等边三角形的高为2,则它的面积是( ). A.2 B.4 C. D.3.下列命题的逆命题是真命题的是( ). A.对顶角相等 B.若a=b,则a2=b2 C.在同一个三角形中,等边对等角 D.如果两个角都是直角,那么这两个角相等4.如图1-1, RtABC中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC落在斜边AB上,点C与点D重合,折痕为AE,则BE的长为( ). A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm5.已知直角三角形斜边长为2,周长为2+,则三角形的面积为_.6.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是_,这个逆命题是_命题.7.如图1-2,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。8.有一圆柱形油罐，如图1-3，要从A点绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，梯子最短要求 m（已知油罐底面圆周长是12cm，高AB是5m）。9.若直角三角形的三条边长分别是5，12，a，则a= 。10.如图，在ABC中，AB=AC，BDAC，BDAC，CEAB，O是BD与CE的交点。求证： BO=CO 线段的垂直平分线-角平分线一、主要知识点线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。角平分线。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。例1：在ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求BCF的周长。 例2：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。 例3：如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。例4.如图所示，RtABC中，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。 例5.在ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MNBC，与ACB的角平分线交于点E，与ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF 例5、如图所示，ABAC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，求证：BE=CF。 课堂练习1.如图，在ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q。求证：BP=2PQ2.如图，ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。 求证：点Q在PR的垂直平分线上。3.如图，ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。求证：B=CAF4.已知：如图，ABCD，BAC的角平分线与DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E。求证：点M为EF的中点【课外练习一】填空题：1.如图1-21，ABC中，A = 52, 点O是AC、AB的垂直平分线的交点，则OCB = ；2.在ABC中，AB = AC = 20cm, AB的垂直平分线交AC于点D，若BCD的周长为32cm，则BC = . 3.若某三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则该三角形是（ ）；A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定4.如图1-22，ABC中，AB = AC，C = 72, AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：A = 36；BD平分ABC；AD = DB = BC；DB2 = ABDC. 其中正确的结论共有（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.如图1-23，在ABC中，AB = AC，A = 120, AB的垂直平分线交BC于D，求证：CD = 2BD. 6.如图1-24，已知：在ABC中，ACB = 90, 延长BC到D，BD的垂直平分线交AB于E， DE交AC于F，求证：点E在AF的垂直平分线上.7.如图1-25，在ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EFAC于F，交AD于G. 问：当B具备什么.条件时，DG = DC？【课外练习二】填空题：1.如图1-26，在ABC中，B = 115, AC的垂直平分线与AB交于点D，且ACDBCD = 53, 则BDC = ；2.已知：如图1-27，在ABC中，AB = AC, A = 120, AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E, 若BC = 21cm, 则DE = cm.3.在以下各画法中，属于尺规作图的是（ ）；A. 用三角尺画一个30的角 B. 用直尺和三角尺画已知直线的平行线C. 用圆规在直线l上截取线段AB等于已知线段a D. 用量角器平分一个已知角4.已知底边和底边上的中线作等腰三角形，这样的三角形可以作出（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 已知：线段a. 求作：等腰RtABC, 使斜边AB = a.6. 如图1-28，A、B、C三点代表三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等. 试确定供水站的位置P. 7.如图1-29，在ABC中，AD是BAC的平分线，CEAD, 交AB于E. 过E作EFBC交AC于F, 求证：CEF =CED.8如图1-30，AD是ABC的中线，ADC = 45, 把ADC沿直线AD折叠，点C落在点C 处，画出C 点的位置，试问：（1）AD与CC 有什么样的位置关系？（2）CC 与BC有什么样的数量关系？九年级数学（上）单元评估试卷 第一 章 证明（二） 1、ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC边于点D，BDC=75，则A的度数为（ ）A 35 B 40 C 70 D 110 2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）A .1 个 B 2 个 C 3个 D 不确定 3、适合条件A =B =C的三角形一定是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；矩形；正方形；等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）A B C D 5、如图，D在AB上，E在AC上，且BC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是 A ADAEB AEBADCC BECDD ABAC (第5题图) (第6题图)6、如图，ABCFED，那么下列结论正确的是 （ ）A EC = BD B EFAB C DE = BD D ACED 7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ）A 17 B 22 C 13 D 17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ）A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对9、以下命题中，真命题的是 （ ）A 两条直线相交只有一个交点 B 同位角相等C 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D 等腰三角形底边中点到两腰相等10、面积相等的两个三角形 （ ）A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对11、如果等腰三角形的一个底角是80，那么顶角是 度.12、ABC中，A是B的2倍，C比A + B还大，那么B = 度13、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形.14、如图：ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。15、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是cm. (第12题图) (第13题图) 16、在ABC和ADC中，下列论断：AB=AD；BAC=DAC；BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： 17、在ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .18、已知ABC中，A = ，角平分线BE、CF交于点O，则BOC = 19、如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求ABC的度数是20、如图，ABC中，C=Rt，AD平分BAC交BC于点D，BDDC=21，BC=7.8cm，求D到AB的距离21、已知：如图，A=D=90，AC=BD.求证：OB=OC22、已知：如图，P、Q是ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的度数.23、已知：如图，等腰梯形ABCD中， ADBC，AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE24、已知：如图，CEAB，BFAC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在BAC的平分线上.25、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.九年级数学检测试卷第一章 证明（二）一、选择题1如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配. （A） （B） （C） （D） 和2如图2，P在AB上，AE=AG，BE=BG，则图中全等三角形的对数有（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）（A）形状相同（B） 周长相等（C） 面积相等（D） 全等E图2ABGP4等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）（A）30 （B）60 （C）30或150 （D）60或1205ABC中，A：B：C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）（A）5cm （B）6cm （C）cm （D）8cm6如图3，P是BAC的平分线AP上一点，PEAB于E，PFAC于F，下列结论中不正确的是（ ）APCBEF图3（A）