迭代法与超松弛法求解线性方程组.doc

实验名称高斯-赛德尔、超松弛迭代法求解线性方程组实验时间2012-5-30姓名班级学号成绩一 实验目的1 掌握Gauss顺序消去和选列主元消去解线性方程组基本原理和方法2 用MATLAB编写程序实现Gauss顺序消去和选列主元消去解线性方程组二 实验内容1.编写MATLAB程序实现雅可比迭代法、高斯-赛德尔、超松弛迭代法求解线性方程组 2.编写MATLAB程序实现超松弛迭代法求解线性方程组 ， 二 程序代码1.（1）雅可比迭代法： function x,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps= 1.0e-6; M = 1000;elseif nargin=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！); return; endend（2）高斯赛德尔法：1.function x=gaussMethod(A,b)%高斯列主元消去法，要求系数矩阵非奇异的， n = size(A,1);if abs(det(A)= 1e-8 error(系数矩阵是奇异的); return;endfor k=1:n ak = max(abs(A(k:n,k); index = find(A(:,k)=ak); if length(index) = 0 index = find(A(:,k)=-ak); end %交换列主元 temp = A(index,:); A(index,:) = A(k,:); A(k,:) = temp; temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp; %消元过程 for i=k+1:n m=A(i,k)/A(k,k); %消除列元素 A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(i)=b(i)-m*b(k); endend %回代过程 x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1; x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k); end x=x;end 2. 超松弛法：function x,n=SOR(A,b,x0,w,eps,M)if nargin=4 eps= 1.0e-6; M = 200;elseif nargin4 error returnelseif nargin =5 M = 200;end if(w=2) error; return;endD=diag(diag(A); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！); return; endend三 数据结果A=-0.98 -0.05 -0.02;-0.04 -0.9 0.07;-0.02 0.09 0.94;x0=0 0 0;b=1 1 1;x,n=jacobi(A,b,x0) %雅克比迭代法求解线性方程组X1=inv(A)*b %原线性方程组的精确解x11=gaussMethod(A,b) %高斯赛德儿法求解线性方程组x = -0.9937 -0.9786 1.1364n = 6X1 = -0.9937 -0.9786 1.1364x11 = -0.9937 -0.9786 1.1364 B=0.68 0.01 0.12;0.03 -0.54 -0.05;0.2 0.08 0.74 ; x=0 0 0;b=1 1 1;w=1.07;x2=Bb %原线性方程组的精确解x22,n=SOR(B,b,x0,w) %超松弛法求解线性方程组x2 = 1.2851 -1.8924 1.2086x22 = 1.2851 -1.8924 1.2086n = 7四 计算结果分析高斯-赛德尔迭代和雅克比迭代的算法很类似。只不过，雅克比迭代的时候每次只用到上次迭代的值。而高斯-赛德尔则是算出分量后立即用于后面的运算五 计算中