高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4.ppt

2 3 1平面向量基本定理 第二章 2 3平面向量的基本定理及坐标表示 学习目标1 理解平面向量基本定理的内容 了解向量的一组基底的含义 2 在平面内 当一组基底选定后 会用这组基底来表示其他向量 3 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量基本定理 思考1 如果e1 e2是两个不共线的确定向量 那么与e1 e2在同一平面内的任一向量a能否用e1 e2表示 依据是什么 答案能 依据是数乘向量和平行四边形法则 答案 思考2 如果e1 e2是共线向量 那么向量a能否用e1 e2表示 为什么 答案不一定 当a与e1共线时可以表示 否则不能表示 梳理 1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的向量a 实数 1 2 使a 1e1 2e2 2 基底 的向量e1 e2叫做表示这一平面内向量的一组基底 不共线 任意 有且只有一对 不共线 所有 思考1 知识点二两向量的夹角与垂直 平面中的任意两个向量都可以平移至起点 它们存在夹角吗 若存在 向量的夹角与直线的夹角一样吗 答案 答案存在夹角 不一样 思考2 abc为等边三角形 abc 60 则 cbd 120 故向量a与b的夹角为120 答案 梳理 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 2 垂直 如果a与b的夹角是90 则称a与b垂直 记作a b 非零向量 aob 反向 同向 题型探究 类型一对基底概念的理解 例1如果e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 e1 e2 r 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a 使a e1 e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则有且只有一个实数 使得 1e1 1e2 2e1 2e2 若存在实数 使得 e1 e2 0 则 0 a b c d 答案 解析 解析由平面向量基本定理可知 是正确的 对于 由平面向量基本定理可知 一旦一个平面的基底确定 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当两向量的系数均为零 即 1 2 1 2 0时 这样的 有无数个 故选b 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底 主要看两向量是否非零且不共线 此外 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 答案 解析 跟踪训练1若e1 e2是平面内的一组基底 则下列四组向量能作为平面向量的基底的是a e1 e2 e2 e1b 2e1 e2 e1 e2c 2e2 3e1 6e1 4e2d e1 e2 e1 e2 解析选项a中 两个向量为相反向量 即e1 e2 e2 e1 则e1 e2 e2 e1为共线向量 选项b中 2e1 e2 2 e1 e2 也为共线向量 选项c中 6e1 4e2 2 2e2 3e1 为共线向量 根据不共线的向量可以作为基底 只有选项d符合 类型二向量的夹角 解答 例2已知 a b 2 且a与b的夹角为60 设a b与a的夹角为 a b与a的夹角是 求 以oa ob为邻边作 oacb 因为 a b 2 所以 oab为正三角形 所以 oab 60 abc 即a b与a的夹角 60 因为 a b 所以平行四边形oacb为菱形 所以oc ab 所以 coa 90 60 30 即a b与a的夹角 30 所以 90 反思与感悟 1 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合 作两个向量的夹角 按照 一作二证三算 的步骤求出 2 特别地 a与b的夹角为 1a与 2b 1 2是非零常数 的夹角为 0 当 1 20时 0 答案 解析 90 且o是线段bc的中点 故线段bc是圆o的直径 类型三平面向量基本定理的应用 解答 解 四边形abcd是平行四边形 e f分别是bc dc边上的中点 解答 引申探究 解取cf的中点g 连接eg e g分别为bc cf的中点 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种 一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化 直至能用基底表示为止 另一种是列向量方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 解答 a b不共线 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 1 下列关于基底的说法正确的是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定 该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 a b c d 解析零向量与任意向量共线 故零向量不能作为基底中的向量 故 错 正确 2 3 4 5 1 答案 解析 a 30 b 60 c 120 d 150 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知向量e1 e2不共线 实数x y满足 2x 3y e1 3x 4y e2 6e1 3e2 则x y 15 12 解析 向量e1 e2不共线 答案 解析 2 3 4 5 1 a b 2a c 再由三角形法则和平行四边形法则即可得到 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解连接fd dc ab ab 2cd e f分别是dc ab的中点 dc綊fb 四边形dcbf为平行四边形 规律与方法 1 对基底的理解 1 基底的特征基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是