安徽省阜阳一中高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版 (2).doc

安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题（理科） 1、 选择题(共10小题， 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填涂在答题卷上)1、已知是虚数单位，复数=，则=（ ）a0 b1 c.2 d. 2、已知命题p：x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是( ) a. x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 b.x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0c.x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 d.x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1) 0时，函数的图象大致是（ ）9、若点p为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则 （ ）a.4 b. 3 c.2 d.110、 已知函数的图像关于直线对称，且当时其导函数满足若，则下列表示大小关系的式子正确的是（ ）a bc d2、 填空题(共5小题25分。把答案填在答题卷的相应横线上)11、方程在上有解，则实数的取值范围是 .12、设直线与曲线的图像分别交于点，则的最小值为 13、在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下一个直角三角形按下图所标边长，由勾股定理得.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下正方体的“一个角”三条侧棱两两垂直的三棱锥oabc，若用表示三个侧面面积，表示截面面积，你类比得到，之间的关系式为_. 14、过双曲线(a0,b0)的右焦点f(c,0)作圆的切线，切点为e，若切线fe交轴于点，则双曲线的离心率为 _ 15、若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程： ； ， ； 对应的曲线中存在“自公切线”的是 _三、解答题(共6小题共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16、（12分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”（1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）。17、（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为以ab为轴，ab中点为原点建立平面直角坐标系。（i）写出该半椭圆的方程；求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（ii）设,求的最大值，并求出此时的值（均用表示）18、（12分） 已知 （1）令，求证：是其定义域上的增函数；（2）设（，用数学归纳法证明：19、(13分) 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点q，使该点到直线的距离最大。（3）试判断乘积“”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；20、(13分)在三棱锥s-abc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=2，m、n分别为ab、sb的中点.（）证明：acsb；（）求二面角n-cm-b的正切值；21（ 13分）设函数在上的最大值为（）（1）求的值；（2）求数列的通项公式； 安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题（理科）参考答案一、d c d b d a c b c c二、（11） ；（12 ）2；（13）（14）；（15） 三、16（12分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”（1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）。【答案】（1）依题意，圆的面积为，正方形的面积为因此本题只需证明要证明上式，只需证明，两边同乘以正数，得因此，只需证明恒成立，所以这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大 （2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大。17、（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为以ab为轴，ab中点为原点建立平面直角坐标系。（i）写出该半椭圆的方程；求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（ii）设,求的最大值，并求出此时的值（均用表示）解：（i）半椭圆方程设点的纵坐标，易知c点横坐标为， 则从而s=，其定义域为（ii）易知，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，的最大值为18、（12分） 已知 （1）令，求证：是其定义域上的增函数；（2）设（，用数学归纳法证明：解：（1）易知函数的定义域为r， 是其定义域r上的增函数。（2）时，由已知条件可得再由（1）知是增函数，=即时，不等式成立。假设不等式成立，即则时=，即时，不等式成立综合知时，不等式成立。19、(13分) 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点q，使该点到直线的距离最大。（3）试判断乘积“”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；解：（1）双曲线的左右焦点为,即的坐标分别为. 所以设椭圆的标准方程为,则, 且,所以,从而, 所以椭圆的标准方程为. 或 (2) 当时，故直线的方程为即， 。点q（3）设则，即 . 所以的值与点的位置无关，恒为. 20、(13分)在三棱锥s-abc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=2，m、n分别为ab、sb的中点.（）证明：acsb；（）求二面角n-cm-b的正切值；解法一：（）取ac中点d，连结sd、db.sa=sc，ab=bc，acsd且acbd，ac平面sdb，又sb平面sdb，acsb.（）ac平面sdb，ac平面abc，平面sdb平面abc.过n作nebd于e，则ne平面abc，过e作efcm于f，连结nf，则nfcm.nfe为二面角n-cm-b的平面角.平面sac平面abc，sdac，sd平面abc.又ne平面abc，nesd.sn=nb，ne=sd=，且ed=eb.在正abc中，由平几知识可求得ef=mb=，在rtnef中，tannfe=2，二面角n-cm-b的正切值为2.解法二：（）取ac中点o，连结os、ob.sa=sc，ab=bc，acso且acbo.平面sac平面abc，平面sac平面abc=acso面abc，sobo.如图所示建立空间直角坐标系o-xyz.则a（2，0，0），b（0，2，0），c（-2，0，0），s（0，0，2），m(1，0)，n(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，acsb.（）由（）得=（3，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面cmn的一个法向量，则 n=3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，n=(，-，1)，n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面abc的一个法向量， cos(n，)=.二面角n-cm-b的正切值为2.21、（ 13分）设函数在上的