利用格林公式计算积分.pdf

论文集粹 重 庆 与 世 界 2011年第 28卷第 7期 TheWorld 封闭曲线 有向曲线 中图分类号 O172 2 文献标识码 A文章编号 1007 7111 2011 07 0092 03 格林公式 设闭区域 D 由光滑 或分段光滑 的曲线 L围成 函数 P x y 及 Qx y 在 D 上具有一阶连续偏导数 则有 公式 LP dx Qdy D Q x P y dxdy 其中 L是 D 边界正向曲线 一 封闭曲线存在直接计算 如果平面有向曲线 L 是封闭的 那么 直接运用格林公式计算 例 1 计算曲线积分 L yx3 e y dx xy3 xey 2ydy 其中 L 是圆周 x 2 y2 a2的顺时针方向 解 经分析易知该曲线积分中有 P x y yx3 e y Q x y xy3 xe y 2y P x x3 ey Q y y3 ey P x Q y 利用格林公式把曲线积分化为二重积分 再利用二重积分的对称性计算其值 得 L D Q x P y dxdy D y3 x3dx dy D y3dxdy D y3dxdy 0 二 构造封闭曲线再计算 如果空间有向曲线 L不是封闭的 那么需添加辅助的有向曲线 L 0 使 L与 L0构成定向的封闭曲线 再运用格林公式进 行计算 注 添补的辅助曲线 L0的方向应选为与 L的方向相一致 方向或者都是正方向 或者都是负方向 例 2 计算 L e x siny 8ydx e x cosy 7xdy 其中 L是从 O0 0到 A6 0的上半圆弧 解 经分析本题中 Px y e x siny 8y Qx y excosy 7x 都较繁 故构造辅助线 连接AO 方向从点 A 到点 O 因 P y excosy 8 Q x excosy 7 则 L AO L AO D Q x P y dxdy D 15dxdy 135 2 而在 AO 上 y 0 dy 0 则 AO 0 6 0dx 0 所以 L 135 2 例 3 记 Oxy 平面上第一象限内星形线为 L1 x acos3t y asin3t 0 t 2 直线段 L2 x yx 0 0 y a L3 x yy 0 0 x a 其中 常数 a 0 试求 L1 L2 L3围成的平面图形 的面积与质心 其中 的边界闭曲线 L 为正 向 面密度 1 解 显然 曲线 L由 L1 L2 L3构成 对平面图形 的面积 dxdy 应用格林公式把二重积分化为第二类曲线积分 得 dxdy 1 2 L x dy ydx 1 2 L1 xdy ydx L2 xdy ydx L3 xdy ydx 1 2 2 0 acos 3 tdasin3t asin3tdacos3t 0 0 3 2 a2 2 0 sin2tcos 2 tdt 3 16a 2 2 0 1 cos4tdt 3 32 a 2 其中 显然有 L2 x dy ydx 0 L3 xdy ydx 0 由于匀质平面图形 关于直线 y x 对称 故 的质心 x y有 x 1 xd y 1 yd 同理 由格林公式得 xd 1 2 L x2dy 1 2 L1 x2dy L2 x2dy L3 x2dy 1 2 L1 x2dy 3 2 a3 2 0 cos7tsin2tdt 3 2 a3 2 0 cos 7t sin9 tdt 8 105a 3 所以 平面图形 的质心 x y 256 315 a 三 封闭曲线存在的特殊情形 如果所给的有向曲线是封闭的 但是不满足格林公式所要求的函数 P x y Qx y P y Q x 在曲线 L所包围的有界 平面闭区域 上连续的条件 那么 可以先把曲线 L的方程代入该曲线积分 若后者曲线积分已满足格林公式条件 则用 格林公式把它化为二重积分计算 例 4 计算曲线积分 I L 1 ydx x dy x2 y 1 2 其中曲线 L是以点 0 1为圆心 1为半径的圆周 取逆时针方向 解 经分析 有向曲线 L所围的平面区域 x yx2 y 1 2 1 内含有不连续的点0 1 但注意到把曲线 L 的方程代入积分 I后即消去了该不连续的奇点 再用格林公式得 I L 1 ydx xdy x2 y 1 2 L 1 ydx x dy 1 1d 2 如果封闭平面曲线 L 的方程代入某曲线积分后 仍然在 L所围的区域 上存在某些点或子区域 Px y Qx y P y Q x不连续 而在 的其他地方都连续 且 P y Q x 则构造一条有规则的封闭曲线 l 0 使其偏导数不连续的那些点 或子区域包含在 l所围的区域内 且曲线 l与 L的方向一致 于是在 L上的曲线积分等于在 l上的曲线积分 即有 L Px ydx Qx ydy l Px ydx Qx ydy 93李 波 利用格林公式计算积分 四 运用格林公式时有关曲线方向的问题 运用格林公式计算曲线积分时 曲线的有向性是至关重要的 而往往封闭曲线方向的判断正误与否也决定了解题过 程是否正确 注 1 封闭的有向曲线取正方向为 取负方向为 注意只有对单连通区域而言 逆时针才为 顺时针 才为 2 格林公式中 左边 L 的方向为正方向 例 5 计算 L e x 1 cosydx y sinydy L为 y sinx从 A0 0到 A 0的一段弧 解 添加线OA 则OA与 L构成封闭曲线 又 Q x P y e x siny y ex siny yex 所以 L OA L OA D Q x P y dxdy D ye x dxdy 0 exdx sinx 0 ydy 1 2 0 exsin2xdx 注 此封闭曲线沿逆时针方向 运用格林公式时添加 号 1 4 0 exdx 0 excos2xdx 1 4 ex 0 cos2x 2sin2x 5 0 1 5 1 e 而在 OA 上 OA 0 0dx 0 所以 L L OA OA 1 5 1 e 责任编辑 魏艳君 上接第 88页 20世纪 20年代的美国迷惘的一代 以及他 们在战争中破碎的价值理想 在战争中饱受创伤之苦的 一代文豪海明威对小说 雨中猫 中猫的困境的描写 最终 也表达了他对那个时代里的众多身处困境的雨中猫的深 切关怀 参考文献 1 Gerald B Nelson and Glory Jones He ming way L ife and Works M Ne w York Facts on File Publications 1984 2 Carlos B He ming way The W riter asArtist M Prince ton PrincetonUniversity Press 1973 3 John V Hagopian Symmetry in Cat in the Rain J College English 1962 12 3 4 胡玲玲 解读 雨中猫 中猫的隐喻 J 安徽文学 下半 月 2010 6 106 5 陶凤 简洁的叙事 含蓄的象征 谈 雨中猫 作品中的深 入浅出 J 文学评论 2010 7 39 6 贾艳萍 女人和猫 析海明威短篇小说 雨中猫 的象征 意义 J 西北农林科技大学学报 社会科