高等数学教程教学大纲.doc

高等数学A教学大纲课程名称：高等数学A课程编码：学 分：9总 学 时：144适用专业：全校理工类各专业（本科）先修课程：选用教材：高教出版社出版、高等数学教程一、课程的性质、目的与任务高等数学课程是高等工业学校各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、教学基本要求(一) 向量代数与空间解析几何1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积法），了解两个向量垂直、平行的条件。3. 掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。6. 了解空间曲线在坐标平面上的投影。7. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。 (二) 函数、极限、连续1.了解集合概念及集合的运算，了解映射概念，理解函数的概念。2.了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.会建立简单实际问题中的函数关系式。6.理解极限的概念（对极限的eN、ed定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出e 求N或d不作过高要求。）理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。7.掌握极限四则运算法则。8.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。9.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。10. 理解函数在一点连续的概念。11. 了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。(三) 一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。理解函数的可导性与连续性之间的关系。2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。会求函数的微分。3. 了解高阶导数的概念。会求简单函数的n阶导数。4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。6. 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。7. 了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。8. 理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。9. 会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。10. 会用罗必塔（LHospital）法则求未定式的极限。 (四) 一元函数积分学1. 理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质。2. 掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。3. 会求简单的有理函数的积分。4. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）一莱布尼兹（Leibniz）公式。5. 了解反常积分的概念，并会计算反常积分6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量（如平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长等）的方法。（五） 无穷级数1.理解无穷级数收敛、发散以及收剑级数的和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2.掌握几何级数和P级数的收敛性。 3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，会正项级数的根值审敛法。 4.了解交错级数的莱布尼兹定理。 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.掌握比较简单的幂级数的收敛半径、收敛区间的求法。 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数。 (五) 多元函数微分学1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4. 了解方向导数的概念及其计算方法。5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6. 会求隐函数的偏导数。7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。（六） 多元函数积分学1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4. 会计算两类曲线积分。5. 掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。6. 了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式并会计算两类 曲面积分。7. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量（如体积、曲面面积、弧长等）。（七） 常微分方程1. 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3. 会解齐次方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。4. 会用降阶法解下列方程： y(n)=f(x), y=f(x,y)。5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。7. 会求自由项形如：Pn(x)eax的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。8. 会用微分方程解一些简单的几何。三、教学内容章 次内 容总学时讲 课1空间解析几何与向量代数16162函数、极限、连续12123导数与微分12124中值定理与导数的应用12125一元函数积分学18186无穷级数10107多元函数微分学16168重积分12129曲线积分与曲面积分141410积分学的应用101011微分方程1212合计144144总学时讲课习题课上机课外辅导测验144144上学期80(周5)向量代数与空间解析几何，函数、极限、连续，一元函数微分学，一元函数积分学，无穷级数。下学期64(周4)多元函数微分学，多元函数积分学，积分学的应用，常微分方程。课次讲课内容教学研究内容第一章 空间解析几何与向量代数（上学期）1第一节空间曲面的轨迹与方程1、向量的数量积与向量积的概念与计算；2第二节空间曲线及其方程 3第二节空间曲线及其方程4第三节向量及其运算5第三节向量及其运算 6第三节向量及其运算 7第四节平面及其方程8第五节空间直线及其方程第二章 函数与极限（上学期）9第一节 函 数1、如何处理理好极限的“-N”和“-”定义，使学生逐步理解极限的概念。2、数列极限与函数极限的分类研究，总结求极限的方法。3、分段函数在分段点处的连续性研究。10第二节极限的概念11第三节极限运算第四节极限存在准则 两个重要极限12第四节极限存在准则 两个重要极限 13第五节无穷小量的比较14第六节函数的连续性第三章 导数与微分（上学期）15第一节 导数概念1、导数概念如何理解与应用（如何用定义求导数）2、分段函数在分段点处的可导性的研究。3、导数与微分之间有什么联系与区别？16第二节 函数的求导法则17第二节 函数的求导法则18第三节 高阶导数19第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数20第五节 微分及其在近似计算中的应用第四章 导数的应用（上学期）21第一节 中值定理1、应用中值定理和函数的特性证明不等式、恒等式和方程的根。2、应用罗必达法则时应注意什么？3、应用导数研究函数的性态应注意什么？22第二节 洛必达法则23第三节 泰勒公式24第四节函数的单调性与凹凸性25第五节 函数的极值第与最值26第六节 函数图形的描绘 期中考试第五章 一元函数微分学（上学期）27 第一节 定积分的概念与性质1、如何灵活掌握不定积分的基本方法和常用技巧？2、对特殊函数积分方法的总结3、变上限函数的研究；4、如何证明积分恒等式和不等式？5、计算定积分时的注意问题（特殊应用）28第二节 微积分基本定理29第三节 不定积分的概念与性质30第四节 积分方法（一）换元积分法31第四节 积分方法（一）换元积分法32第四节 （二）分部积分法33第四节 （二）分部积分法34第四节 （三）几类特殊函数的积分法35第五节 反常积分第六章 无穷级数（上学期）36第一节 无穷级数的敛散性及其性质1、如何讨论数项级数的敛散性？2、如何求无穷和及幂级数的和函数？3、如何用间接法求函数的展开式37第二节 常数项级数的审敛法38第二节 常数项级数的审敛法39第三节 函数项级数与幂级数40第四节 函数展开成幂级数第七章 多元函数微分法及其应用（下学期）41第一节 多元函数的基本概念1、没有具体表达式的多元复合函数（隐函数）求偏导数；2、隐函数求偏导数的三种方法；3、曲面法向量与曲线切向量的求法；4、条件极值点的充分条件是什么？42第一节 多元函数的基本概念43第二节 偏导数第三节 全微分44第四节 多元复合函数求导法则45第五节 隐函数的求导公式46第六节 多元函数微分学的几何应用47第八节 多元函数的极值及其求法(无条件极值)48第八节 多元函数的极值及其求法(条件极值)第八章 重积分（下学期）49第一节 定积分的元素法第二节 二重积分的概念与性质1、二重积分计算中的对称性、积分次序、坐标系选择和绝对值问题；2、计算三重积分的“先二后一”法；3、直角坐标与柱面坐标、球面坐标之间的转化。50第三节 二重积分的计算法（直角坐标）51第四节 二重积分的计算法（极坐标）52第五节 三重积分（概念与直标计算法）53第六节 三重积分（用柱面坐标和球面坐标计算）54第六节 三重积分（用柱面坐标和球面坐标计算）第九章 曲线积分与曲面积分（下学期）55第一节对弧长的曲线积分、总结对坐标的曲线积分和曲面积分的计算法。2、格林公式与高斯公式应用中注意什么问题？3、平面曲线积分与路径无关的等价条件。4、求全微分的原函数的三种方。56第二节 对坐标的曲线积分57第三节格林公式及其应用58第三节格林公式及其应用59第四节对面积的曲面积分60第五节对坐标的曲面积分61第六节高斯公式 第十章积分学的应用（下学期）62第一节积分学在几何上的应用1、元素法应用的条件和注意的问题；2、定积分的几何应用与最值问题的综合应用；3、如何讲解功、水压力的坐标系的选择？