（新课标）高考数学大一轮复习 空间向量及其应用板块命题点专练（十二）理（含解析）.doc

空间向量及其应用板块命题点专练（十二）命题点向量法求空间角及应用 命题指数：难度：中 题型：解答题1(2014福建高考)在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图所示(1)求证：abcd；(2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值2(2014四川高考)三棱锥abcd及其侧视图、俯视图如图所示设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mnnp.(1)证明：p是线段bc的中点；(2)求二面角anpm的余弦值3(2013新课标全国卷)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值4.(2013天津高考)如图， 四棱柱abcda1b1c1d1中， 侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明：b1c1ce; (2)求二面角b1cec1的正弦值(3)设点m在线段c1e上， 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长5(2014安徽高考)如图，四棱柱abcd a1b1c1d1中，a1a底面abcd.四边形abcd为梯形，adbc，且ad2bc.过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q.(1)证明：q为bb1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若aa14，cd2，梯形abcd的面积为6，求平面与底面abcd所成二面角的大小答案命题点1.解：(1)证明：平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab平面abd，abbd，ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd.(2)过点b在平面bcd内作bebd，如图由(1)知ab平面bcd，be平面bcd，bd平面bcd，abbe，abbd.以b为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得b(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，a(0,0,1)，m，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面mbc的一个法向量n(1，1,1)设直线ad与平面mbc所成角为，则sin |cosn，|，即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.2解：(1)证明：如图，取bd中点o，连接ao，co.由侧视图及俯视图知，abd，bcd均为正三角形，因此aobd，ocbd.因为ao，oc平面aoc，且aooco，所以bd平面aoc.又因为ac平面aoc，所以bdac.取bo的中点h，连接nh，ph.又m，n分别为线段ad，ab的中点，所以nhao，mnbd.因为aobd，所以nhbd.因为mnnp，所以npbd.因为nh，np平面nhp，且nhnpn，所以bd平面nhp.又因为hp平面nhp，所以bdhp.又ocbd，hp平面bcd，oc平面bcd，所以hpoc.因为h为bo中点，故p为bc中点(2)法一：由俯视图及(1)可知，ao平面bcd.因为oc，ob平面bcd，所以aooc，aoob.又ocob，所以直线oa，ob，oc两两垂直如图，以o为坐标原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz.则a(0,0，)，b(1,0,0)，c(0，0)，d(1,0,0)因为m，n分别为线段ad，ab的中点，又由(1)知，p为线段bc的中点，所以m，n，p.于是(1,0，)，(1，0)，(1,0,0)，.设平面abc的一个法向量n1(x1，y1，z1)，则即有从而取z11，则x1，y11，所以n1(，1,1)连接mp，设平面mnp的一个法向量n2(x2，y2，z2)，则即有从而取z21，所以n2(0,1,1)设二面角anpm的大小为.则cos .故二面角anpm的余弦值是.法二：如图，作nqac于q，连接mq.由(1)知，npac，所以nqnp.因为mnnp，所以mnq为二面角anpm的一个平面角由(1)知，abd，bcd为边长为2的正三角形，所以aooc.由俯视图可知，ao平面bcd.因为oc平面bcd，所以aooc，因此在等腰rtaoc中，ac，作brac于r.在abc中，abbc，所以br .因为在平面abc内，nqac，brac，所以nqbr.又因为n为ab的中点，所以q为ar的中点，因此nq.同理，可得mq.所以在等腰mnq中，cosmnq.故二面角anpm的余弦值是.3解：(1)证明：取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.4解：法一：如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2) (1，2，1)设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量于是cosm，从而sin m，.所以二面角b1cec1的正弦值为.(3)(0,1,0)，(1,1,1)设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量设为直线am与平面add1a1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得，所以am.法二：(1)证明：因为侧棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.经计算可得b1e，b1c1，ec1，从而b1e2b1cec，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e，cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e.又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)过b1作b1gce于点g，连接c1g.由(1)知，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1为二面角b1cec1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sin b1gc1，即二面角b1cec1的正弦值为.(3)连接d1e，过点m作mhed1于点h，可得mh平面add1a1，连接ah，am，则mah为直线am与平面add1a1所成的角设amx，从而在rtahm中，有mhx，ahx.在rtc1d1e中，c1d11，ed1，得ehmhx.在aeh中，aeh135，ae1，由ah2ae2eh22aeehcos 135，得x21x2x，整理得5x22x60，解得x.所以线段am的长为.5解：(1)证明：因为bqaa1，bcad，bcbqb，adaa1a.所以平面qbc平面a1ad.从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行，即qca1d.故qbc与a1ad的对应边相互平行，于是qbca1ad.所以，即q为bb1的中点(2)如图1，连接qa，qd.设aa1h，梯形abcd的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为v上和v下，bca，则ad2a.vqa1ad2ahdahd，vq abcddahd，所以v下vq a1advqabcdahd，又v四棱柱a1b1c1d1abcdahd，所以v上v四棱柱a1b1c1d1abcdv下ahdahdahd，故.(3)法一：如图1，在adc中，作aedc，垂足为e，连接a1e.又deaa1，且aa1aea，所以de平面aea1，于是dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角因为bcad，ad2bc，所以sadc2sbca.又因为梯形abcd的面积为6，dc2，所以sadc4，ae4.于是tanaea11，aea1.故平面与底面abcd所成二面角的大小为.法二：如图2，以d为原