高考数学一轮复习 第十四章 坐标系与参数方程课件 文.ppt

第十四章坐标系与参数方程 高考文数 考点一坐标系1 平面直角坐标系中的伸缩变换 1 设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 2 常见的伸缩变换问题的题型 已知变换前的解析式及伸缩变换 求变换后的解析式 已知伸缩变换及变换后的解析式 求变换前的解析式 已知变换前 后的解析式 求伸缩变换 知识清单 1 极坐标系的四要素 极点 极轴 单位 长度单位 角度单位 以及 正方向 2 点的极坐标是由极径和极角组成的有序实数对 即 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 r 3 直角坐标与极坐标的互化 1 两者互化的前提 直角坐标系的原点与极点重合 x轴的正半轴与极轴重合 在两种坐标系中取相同的长度单位 2 互化公式 设m是平面内的任意一点 它的直角坐标 极坐标分别为 x y 和 则有 且 3 把直角坐标化为极坐标 求极角时 应注意确定极角 的终边所在的位置 以便准确地求出 4 简单曲线的极坐标方程 2 极坐标系及极坐标 考点二参数方程1 直线 圆和椭圆的参数方程和普通方程 2 参数方程化为普通方程的关键是消参数 一要熟练掌握常用技巧 如整体代换 二要注意变量取值范围的一致性 这一点最易忽视 知识拓展1 求曲线的极坐标方程的步骤 1 建立适当的极坐标系 设p 是曲线上任意一点 2 由曲线上的点所适合的条件 列出曲线上任意一点的极径 与极角 之间的关系式 3 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线的极坐标方程 2 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义 有如下常用结论 1 直线与圆锥曲线相交 交点对应的参数分别为t1 t2 则弦长l t1 t2 2 定点m0是弦m1m2的中点 t1 t2 0 3 设弦m1m2的中点为m 则点m对应的参数值tm 由此可求 m2m 及中点坐标 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与x轴正半轴重合 并在两种坐标系中取相同的长度单位 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造 cos sin 2的形式 其中方程两边同乘以 或同时平方是常用的变形方法 要注意变形的等价性 例1 2017山西孝义三模 22 在平面直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 为参数 曲线c2的普通方程为 1 以原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线c1的普通方程和c2的极坐标方程 2 若a b是曲线c2上的两点 且oa ob 求 的值 方法技巧 解析 1 曲线c1的普通方程为 x 1 2 y2 1 即x2 2x y2 0 曲线c2的极坐标方程为 2cos2 4 2sin2 16 只要写出 的关系式均可 2 曲线c2的极坐标方程为 1 设a 1 b 代入c2的极坐标方程得 1 1 故 例2 2015课标 23 10分 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解析 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 5分 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 mn 由于c2的半径为1 所以 c2mn的面积为 10分 参数方程与普通方程的互化方法1 将参数方程化为普通方程 需要根据参数方程的结构特征选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方消参法等 对于含三角函数的参数方程 常利用同角三角函数关系式消参 如sin2 cos2 1等 2 将参数方程化为普通方程时 要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响 注意两种方法的等价性 避免产生增解 3 将普通方程化为参数方程时 应选择适当的参数 把点 x y 的横 纵坐标分别用参数表示出来 同时注意参数的意义和取值范围 例3 2017江苏 21c 10分 在平面直角坐标系xoy中 已知直线l的参数方程为 t为参数 曲线c的参数方程为 s为参数 设p为曲线c上的动点 求点p到直线l的距离的最小值 解题导引消去参数t得直线l的普通方程设p 2s2 2s 利用点到直线的距离公式得距离的表达式利用二次函数求距离的最小值 解析直线l的普通方程为x 2y 8 0 因为点p在曲线c上 设p 2s2 2s 从而点p到直线l的距离d 当s 时 dmin 因此当点p的坐标为 4 4 时 曲线c上点p到直线l的距离取到最小值 例4 2017安徽师大附中等名校联考 22 在平面直角坐标系xoy中 圆c的参数方程为 t为参数 在以原点o为极点 x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中 直线l的极坐标方程为 cos 1 求圆c的普通方程和直线l的直角坐标方程 2 设直线l与x轴 y轴分别交于a b两点 点p是圆c上任意一点 求a b两点的极坐标和 pab面积的最小值 解题导引 1 利用sin2t cos2t 1消去参数t得圆c的普通方程利用两角和的余弦公式和极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程 2 先求出a b的直角坐标 再化为极坐标利用圆c的参数方程设出点p的坐标由点到直线的距离公式和三角函数的知识求出点p到直线l距离的最小值求出 ab 利用三角形面积公式求s pab的最小值 解析 1 由 t为参数 消去参数t 得 x 5 2 y 3 2 2 所以圆c的普通方程为 x 5 2 y 3 2 2 由 cos 得 cos sin 2 可得直线l的直角坐标方程为x y 2 0 2 直线l与x轴 y轴的交点分别为a 2 0 b 0 2 化为极坐标为a 2 b 设点p的坐标为 5 cost 3 sint 则点p到直线l的距离为d 所以dmin 2 又 ab 2 所以 pab面积的最小值 2 2 4 与参数方程有关问题的求解方法1 过定点p0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程的标准式为 t为参数 使用该式时直线上任意两点p1 p2对应的参数分别为t1 t2 则 p1p2 t1 t2 线段p1p2的中点对应的参数为 t1 t2 2 对于形如 t为参数 的参数方程 当a2 b2 1时 应先化为标准式后才能利用t的几何意义解题 3 解决与直线与圆 圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时 要注意普通方程与参数方程的互化公式 主要通过互化解决与圆 圆锥曲线上动点有关的问题 如最值 范围等 例5 2017河北 五个一名校 联盟二模 22 在平面直角坐标系xoy中 曲线c的参数方程为 为参数 以坐标原点o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 cos l与c交于a b两点 1 求曲线c的普通方程及直线l的直角坐标方程 2 设点p 0 2 求 pa pb 的值 解题导引 1 利用sin2 cos2 1得曲线c的普通方程利用极直互化公式得直线l的直角坐标方程 2 写出直线l的参数方程代入曲线c的普通方程得关于t的一元二次方程利用t的几何意义及根与系数的关系