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第六章实数复习课教学案例 (一) 知识梳理,构建体系导语:我们一起来回忆一下数的产生和发展过程:数的产生和发展经历了一个漫长而又曲折的过程。远古时期,人们由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念。由记数、排序,产生数1,2,3, 这样的正整数,由表示“空位”和“没有”产生了0,由分物、测量产生了分数,为了表示像温度的零上与零下这样具有相反意义的量又产生了负数,这样数的范围扩充至有理数。当已知正方形的面积求边长时就产生了像这样的无理数,这样就将数的范围又扩充至实数.今天这节课我们就对第六章实数进行复习。首先对本章知识进行回顾:【点评】师生一起回忆数的产生和发展过程,在体验数的扩充的同时,感受数的产生和发展是由于人们生活和社会实践的需要,更好的理解数的扩充的必要性.教师:出示问题1 (1) (2)2=_,23=_;生(齐答) :4,8.师:出示问题(2)x24,则x_;x38,则x_.生(齐答) :2,2.师:解答中用到了什么运算?生(齐答) :开方.师:乘方运算与开方运算有什么关系?生(齐答) :是互逆运算.师:如x24,开平方后得x2,2与4有什么关系?生1 :2是4的平方根.师:你能说一说平方根的概念吗?生1 :一般地,如果一个数x平方等于a,即x2a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根.师:其中+2叫做4的什么?生2 :+2是4的算术平方根.师:你能说一说算术平方根的概念吗?生2 :一般地,如果一个正数x平方等于a,即x2a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.师:一个正数的平方根和它的算术平方根之间有什么关系?生2 :一个正数的平方根有两个,它们一正一负互为相反数,其中正的那个叫做它的算术平方根. 师:x38,开立方后得x2,2与8有什么关系?生3 :2是8的立方根. 师:请说出立方根的概念?生3 :一般地,如果一个数x立方等于a,即x3a,那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.这样我们就构建出乘方、开方、平方根、立方根之间的知识结构图【点评】教师用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的联系,梳理知识,构建体系师:x22,则x_.生:师:题中由开方得到的像这样的数是有理数吗?生:是无理数.师:你能说出无理数的概念吗?举出几个无理数的例子?生:无限不循环小数是无理数,如,.师:实数由哪些数组成?从小数的角度来看有理数和无理数有什么区别? 实数与数轴上的点有什么关系?有理数关于相反数和绝对值的意义是否适用于实数?随着数的不断扩充,在实数的运算中有理数的运算性质、运算法则及运算律始终保持不变吗?师:可见实数的相关的概念、运算等都是类比有理数的相关概念、运算学习的.实数还可以怎样分类?生:【点评】教师用问题串引导学生复习实数及相关概念、实数与数轴的关系,让学生体会在数的不断扩充的过程中,数的运算性质、运算律等的不变性,体会类比的数学思想方法师:经过上面的梳理,我们理清了本章所学知识的内在联系.下面请听小红和小明在学习了平方根和立方根后,在一起交流时的一段对话(播放录音):小红:36的平方根是6,所以;小明:如果一个数有立方根,那么它一定有平方根你认为他俩的说法是否正确?谁来帮他们找出错在哪?生:小红和小明的说法都不正确,36的平方根是6,所以;如果一个数有立方根,那么不一定有平方根,如8有立方根但它没有平方根.师:这位同学不仅准确的找出错误,还帮他们改正了过来。可见对知识的掌握不够好,同学们对平方根和立方根的知识掌握的怎么样呢?【点评】教师把学生日常学习中出错率较高的题目以对话的形式呈现,让学生判断,体现了复习课的纠错的特点,为自然过渡到下一环节做铺垫 (二)典型例题,深化理解师:(出示例1)已知下列各数: (1)64; (2)-8; (3) ; (4) 问题:你能求出哪些数的平方根?算术平方根?立方根?生:(独立思考后回答) ,.【点评】用各具代表性的数,设计的开放性题目引导学生对平方根与立方根的知识的运用,考查学生灵活运用知识的能力师:平方根和立方根之间有什么联系与区别:(请把答案写在你的导学案上)数a算术平方根平方根立方根表示方法a的取值性质正数0负数是本身的数生:学生独立完成后,同桌之间交流,然后在全班范围内交流展示. ,.师:数学学习中,既要掌握知识,还要会灵活的运用知识接下来,请同学们独立完成下面的练习,遇到困难的可以相互讨论完成之后,以小组为单位交流展示.【点评】用图表的方式简洁、直观地引导学生总结归纳平方根与立方根的表示方法及性质,突出平方根与立方根之间的区别与联系变式练习:1-8是_的平方根.2的平方根是_,的立方根是_.3如果一个正数的平方根是和a,则a_.4一个正数的平方根是2a与5a,则a_,这个正数是_;5已知2a1的平方根是3,2ab3的立方根是3,求ab的算术平方根.师:在解答中,有没有出错的题目?请分析一下原因?生:第2题有一个同学出错,原因是没有理解和的意义.应该是=8,因此的平方根是8,.师:这位同学分析的非常到位.认真审题是关键,解题要细心.【点评】第1,2题是考查学生对平方根与立方根正向与逆向运用及学生对用符号表示的数的意义的理解;第3,4题考查学生灵活运用平方根的性质解决问题的能力;第5题考查学生综合运用平方根及立方根的知识综合解决问题的能力师:通过前面的练习我发现同学们对平方根和立方根的知识掌握比小红和小明强多了,不过经过同学们的帮助小红和小明对平方根和立方根的认识有了很大的进步,小明又有了新发现(播放录音):小红:看来利用平方根和立方根的知识解决问题,不细心就会出现错误.小明:可不是嘛。我还发现:带根号的数都是无理数.小红:那可不一定.师:大家同意小明的观点吗?如果你是小红你会怎么说?生:不同意小明的观点,带根号的数不一定是无理数,如化简后等于3.师:你的发言很有说服力了,可见判断一个数是否是无理数不能只看形式,告诉你一组数你能找出哪些数是有理数,哪些数是无理数吗?【点评】 (出示例2)把下列各数分别填入相应的集合中:,8, 0,-0.373773777(相邻两个3之间的7的个数逐次加1) 有理数集合无理数集合生:有理数集合有:,8, 0,;无理数集合有:,-0.373773777师:请观察这些无理数,思考:无理数有哪些表现形式?生:无理数的表现形式有:1含根号且开不尽方的数;2化简后含(圆周率)的数;3有规律但不循环的无限小数.【点评】考查学生对有理数和无理数的概念的理解及运用情况变式1:请把例2中的各数填入相应的集合中:正实数集合:_;分数集合_ 生:正实数集合:,;分数集合, 变式2:下图中数轴上标有字母的各点是上述一些实数在数轴上的表示,请找出各点所对应的数: 生:A对应,B对应,C对应,D对应,师:每一个实数都可以用数轴上的一个点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,这体现上了数形结合的数学思想。变式3:你能在数轴上找出表示的点的大致位置吗?生:表示的点在3和4之间.师:更靠近3还是4,你是如何估计的?生:91516,因此.师:这位同学能灵活利用算术平方根的被开数的大小规律解决问题,无理数虽然是无限不循环小数,但是我们可以用有理数去估计它的大致范围.变式4:的整数部分是_,小数部分是_.生:的整数部分是3,小数部分是3.师:你能和同学们分享表示一个无理数小数部分的方法吗?生:是用这个数减去它的整数部分.变式5:比较下列各组数的大小:(1)_; (2)_生:; (2)师:你是怎样比较的?生:=3,3,因此;-1.732,-3.142,因此师:还有没有其它的比较方法?生:在变式2的数轴表示的点在表示的点的右边,根据数轴上的点所表示的数的大小规律得,同理可得师:实数在比较大小时,取近似值和利用数轴上的点表示数的大小规律是常用的比较实数大小的方法.【点评】考查学生对实数与数轴上的点的对应关系的理解与运用,培养学生估算的能力.体会解题策略的多样化和数形结合的数学思想变式6:3的相反数是_,3的绝对值是_生:3的相反数是,3的绝对值是变式7:计算:(1); (2).生:正实【点评】考查学生对实数的相反数和绝对值意义的理解与运用及实数的简单运算能力,进一步体会在数的不断扩充的过程中,数的运算性质和运算律的不变性变式8:结合例2中的各数和变式2中的数轴你还能提出并解决哪些数学问题?看哪个小组提出并解决的问题多,请组长做好记录,完成后请每个小组选择一个问题提出来,看哪个小组能解答提出的问题.生:与和有什么关系?生:和是的相反数.生:例2中哪些数属于负实数集合?生:如何在数轴上准确的表示出?师:刚才这个环节同学们的问题提的很精彩、很有价值,回答很正确。我知道同学们提出并解决了好多问题,下课后同学们可以继续交流探讨;善于发现并提出问题,是很好的学习习惯,希望同学们把好的学习习惯保持下去。【点评】用开放性问题引导学生对本章知识进行灵活运用,本章所学内容都能以这些数和数轴为载体提出来,具有开放性、灵活性和综合性培养学生发现问题和提出问题,分析问题和解决问题的能力,为学生提供自主、合作、探究的时空 (三)总结归纳,提炼升华 1通过对本章内容的复习,你认为本章所学知识之间有什么内在联系?2本章的学习中用到了什么数学思想和方法?本章学的一种新的运算是?开方运算又分为开平方、开立方,其中开平方运算得到一个数的平方根,开立方运算得到一个数的立方根,开方运算后的数有的是有理数,有的是无理数,有理数和无理数统称为实数,本章学习了实数的哪些知识?有关概念、大小比较、相反数、绝对值、有关运算。在此过程中实数又可分为有理数和无理数,蕴含了分类的数学思想方法、实数与数轴上的点一一对应,任何一个实数都可在数轴上找到一个和它相对应的点,体现了数形结合的数学思想,在和学习实数的相关知识时,用到了类比的数学思想方法。数学学习中,我们不仅要学习知识、解决问题的方法,还要体会其中的数学思想,这样更有利于我们用数学的眼光去看待问题和解决问题。送同学们一句话:知识诚可贵,思想价更高。结束语:经过本章的学习我相信每个同学都有自己的收获,实数中包含着许多丰富有趣的知识,如无理数是如何产生和发展的,还能化简吗,等等?我们学了有理数然后又学习了无理数,数扩充到实数后,还会学习什么数呢?这些会在以后的生活和学习中逐步找到答案。有兴趣的同学课后可以到图书馆或通过网络自己去查寻资料,拓宽自己的知识面。【点评】通过小结,学生回顾复习的内容,梳理本章知识间的内在的联系,总结方法,体验数学思想方法,升华认识 (四)目标检测,反馈矫正(略)摘要:复习课难上 ,难在使不同层次的学生在整堂课中保持旺盛的求知欲;难在一节课下来,使每位学生各取所需、各尽所能;难在使不同层次的学生都能得到充分的发展为使数学复习课课堂教学更加有效,教师教学时应正视现实、关注差异,问题设置应层次分明,题型要丰富,反例及变式应有效运用,既要重视双基复习,又要注重能力培养复习课既不像新授课那样有 “新鲜感”,又不像练习课那样有 “成就感”,因此学生常因感觉似炒 “冷饭”而热情不高复习课难上 ,难在使不同层次的学生在整堂课都保持旺盛的求知欲;难在一节课下来 ,使每位学生各取所需 、各尽所能;难在使不同层次的学生都能得到充分的发展 ;难在给学生带来心灵的震撼、理智的挑战、由衷的感动提高数学复习课课堂教学的有效性,是大家一直关注的问题张宏政老师的课堂实录,给我们广大一线初中教师提供了值得借鉴的案例 ,现结合笔者的教学实践做出如下的剖析一、问题设置,层次分明全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) (以下简称 标准)指出:数学教学过程中应充分考虑全体学生的发展,关注个体差异,因材施教在班级授课制这一教学模式下的复习课课堂教学活动中,部分教师没有正视学生原有数学基础的差异 ,通常确定统一的教学内容、采用单一的教学方法,致使部分学生上课时因听不懂而享受不到成功的快乐 ,产生厌学情绪;或因 “似曾相识”而缺乏学习热情 ,课堂上 “你讲你的,我做我的”,致使课堂效率低下;或因问题深度不够,导致 “优等生吃不饱”,不能让他们得到充分发展;等等张老师正视班级授课制的缺点,立足现实,关注差异,充分考虑了不同层次学生的需求 ,根据学生的认知特点 ,从学生已有的经验出发,创设了由易到难、梯度合理、层次分明的问题串 (教学实录见附件 1)例如 ,问题 1的起点低、人 口宽,后进生也能享受到成功的快乐;问题 2设计了3个问题,第一个问题思维含量低,绝大多数学生都能解决,第二个问题的解决需要学生有一定的思维能力,中等程度及以上的学生能正确解决,第三个问题若学生以前没接触过,部分学生就难以正确解决此题,解决此题学生要有分类讨论意识,需要学生有一定的批判意识 ;问题 3设置与问题 2设置的难度及梯度类似 ,而问题 4这一问题串,起点就比较高 ,后两小题 ,尤其是第三小题,难度是很大的,是2007年北京市中考压轴题,正确解决此题需要学生有很强的逻辑推理能力总之,问题设置层次分明,螺旋上升,符合学生的认知特点二、题型 丰富,引 “生”入胜孟子在 告 篇中说:“教亦多术矣” 际 指出:学生数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程 ;学生 的数学学 习的 内容应 当是现实 的 、有意 义的 、富有挑战性的,这些内容有利于学生主动地进行观察、实验 、猜测 、验证、推理与交流等数学活动 ;内容的呈现应采用不同的方式 ,以满足多样化的学习需求数学知识可分为陈述性知识、程序性知识、策略性知识数学知识的多样性 ,决定了数学教学形式的多样性 ;而数学教学形式的多样性,又决定了数学问题呈现形式的多样化数学问题呈现形式多样化,有利于激发学生学习数学的兴趣 ,消除大脑疲劳;有利于提高学生在不同的学习活动中发现数学知识的能力 ,有利于提高学生获取数学知识的能力,从而变数学教学从知识灌输型为发现探究型、发展型 (不排除有意义的接受型),继而达到培养学生的学习能力、探究能力和创新能力的目的“教无定法,贵在得法”,只要能激发学生的学习兴趣 ,提高学 生的学习积极 性 ,有 助于学生思维能力的培养 ,有利于所学知识的掌握和运用 ,都是好的教学方法张老师在本课例中,为学生搭建了生机盎然的数学大花园,安排了目的为构建知识体系的开放题 (问题 1)、为提高认知水平的解剖病理档案的改错题 (问题 2)、为完善认知结构查漏洞写病因的尝试题 (问题 3),为拓展问题变式、提升思维能力的变式探 究题组 (问题 4),使学生 留连 忘返在数学游乐 园中 ,学生思维的广阔性、批判性、深刻性 、独创性得以发展三、正视现 实,重视双基数学的基本概念是组成数学内容的基本细胞 ,数学的基本技能是数学能力形成的基础徐利治教授指出:“创造能力 =知识量 求异思维能力”掌握双基是发展能力的前提,没有扎实的 “双基”,能力的培养只能是水中月、镜中花双基复习教学时,应引导学生立足教材,把重点放在对基本概念的理解以及对基本技能的掌握上,并注意各部分知识在各自发展过程中的纵横联系,理清脉络,抓住知识主干,构建知识网络 ;教师应尽可能地精选 、编制系统 、典型的例习题 ,通过例习题的解决,沟通知识、技能间的联系,从而使学生的基础知识、基本技能形成 “块状”结构、“网状”联系,以不变应万变在注重教育公平,关注和谐发展的义务教育普通初级中学中,取消了重点班、特长班 ,但由于遗传素质、文化背景及生活环境的不同,班级学生的数学学习程度到初中时已参差不齐,为此 ,张老师课例中的问题设置,充分考虑了学生的差异,立足基础,从易到难,螺旋上升,注重能力的培养例如,问题 1尽管起点低 ,若改成封闭题,知识的系统性就得不到体现,学生思维的广阔性将得不到展现 ,思维的深刻性将 得不到发展 ,张老师 正视 差异 ,立 足双基 ,关 注学生发散思维能力的培养 ,把该题设置成开放题;在生,直接给出答案后 ,张老师马上追问原因,使学生不仅知其然 ,而且知其所以然;由于生,没有给出使结论成立的所有条件 ,张老师在给生以积极肯定的表扬后,再提出问题 “还有其他不同的方法吗”,从而把学生的思维引向深入 ,于是生,给出了添加 “DO=EO”这一结论同样 ,在生。给出理由后,张老师给予充分的肯定 ,并归纳了两位学生思维方式的异同,然后再次提出 “还有其他不同的方法吗”,此时,生 给出添加 “BO=CO”这一条件,在老师追问原因后,生 自己发现添加这一条件是行不通的,虽然生 给出的条件不能使问题的结论成立,但在否定这一条件的过程中,全等三角形的判定定理得到了强化,思维得到了锻炼 ,之后,张老师给予学法指导,并引导学生系统回顾三角形的有关知识,让学生头脑里存储的全等三角形的有关知识条理化、结构化 、系统化四、授人以渔 ,注重能力数学能力是顺利完成数学活动所应具备的,而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征它是在数学活动过程中形成和发展起来的,并且在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征 ,是系统化 、概括化的个体经验 ,是一种网络型的经验结构数学能力的培养不可能一蹴而就数学能力的培养要贯穿数学教学的始终数学教学实质上是数学思维活动的教学教师讲课的重点应该是知识的发生、发展过程,问题解决思路的形成过程,思想方法的产生过程教师应尽可能在学生思维最近发展区内创设新颖有趣 、活而不难 、蕴含丰富数学知识点的问题情境 ,通过对这类问题的解决 ,巩固双基 ,感悟解题思路的形成过程 ,领略数学思想方法的魅力,提升能力创新是一个民族进步的灵魂,是国家兴旺发达的不竭动力一个没有创新能力的民族,难以屹立于世界先进民族之林 准 强调数学教学要培养学生的创造性思维心理学家认为 ,发散思维是创造性思维最主要的特点,是测定创造力的主要标志为此 ,张老师在双基复习时设置了开放题 (问题 1),在提升思维能力这一环节设置了3道能力题 ,在这些问题的解决过程 中,均要求学生用尽可能多 的方法 于是 ,学生有 6种解决 问题 1的方法 ,有 3种 解决问题 3(3)的方法,部分学生在独立思考后能用 2种不同的方法解决能力提升题,张老师意在通过对这些问题的解决培养学生思维的广阔性 、深刻性 、灵活性数学思想方法是数学的灵魂 ,是人们对数学知识本质的认识,是数学思维方法与实践方法的概括,它蕴含在数学知识发生 、发展和应用的过程 中 ,是数学发展的内在动力 数学知识 以显性形式展示,而数学思想方法则以隐性形式存在 ,它们交相辉映,构建了生机勃勃的数学知识、思想、方法体系数学思想方法 的学习是一个潜移 默化 的过程 ,是在 多次领悟 、反 复应用的基础上形成的张老师不但设置了问题 2的第(2)、(3)两题 ,给学生以旋转变换、轴对称变换思想的熏陶 ,还设置了问题 4的截长法、补短法和构造法 ,通过设置问题 4的变式 1、2,把学生的思维引向更高层次,引导学生通过联想、类比、转化等方法 ,终于使学生成功解决了 2007年北京市中考压轴题;不仅如此 ,张老师还在 每一个 问题解 决后及 时归纳总结经 验 ,努力把解题经验上升为方法如 ,在问题 2的第(2)小题解决后归纳出经验为 “若有些条件不能直接运用,就需要进行必要的转化 ,这样才能把分散的条件有效地聚集起来 ,从而形成正确的思维路径”,在问题 4解决后,归纳出经验为 “无论是截长法还是补短法,关键都是把结论进行有效 的聚集 ;从方法上看,翻折也好 ,直接构造也罢,都反映了对图形本质的认识”,等等总之,张老师在教学时不仅授之于鱼,而且授之于渔,努力使学生学会学习五、反例变式,有效运用学习过程是一个知识积累、技能掌握、能力发展的过程 ,同时也是不断发现错误,改正错误的过程教育心理学认为:概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息 ;反例则传递了最有利于辨别的信息反例是辨析错误 ,纠正错误的非常有效的办法;反例是克服思维定势,抑制负迁移的有力手段 ;反例能培养学生思维的批判性、深刻性、严密性,能优化学生的思维品质学生在负迁移的影响下容易形成固定的思维模式 ,有时,教师正面反复强调却无济于事 ,此时反例恰恰是解决这一问题的行之有效 的方法如 ,张老师设 置的问题 2的第 (1)题 ,学生由 “图形面积等量加等量和相等”负迁移到图形全等上,若单凭正面强调这一证法是错误的,再给出正确的证法 ,对那些犯错的同学,印象其实是不深刻的,此时,有效的办法是像张老师那样,让学生举出反例再让学生给出正确的解法,同时也培养了学生思维的批判性、严谨性反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等特点通过反例教学 ,不但可以发现学习中的错误和漏洞,而且可以从反例中弥补知识 、技能上的不足及推理上的缺陷如,张老师设置的问题 2的第(2)题 ,通过让学生举反例说明边边角对应相等的两个三角形不一定全等 ,继而引导学生通过联想转化及挖掘隐含条件终于使问题获得解决,培养了学生思维的批判性 、深刻性数学家 BR盖尔鲍姆指出:“数学是由两大类证明和反例组成,而数学的发现也朝着两个主要的目标提出证 明和构造反例,一个数学问题用一个反例予以解决给人刺激犹如一出好戏剧”张老师设置的问题 2第(3)题教学时的处理,是对数学家 BR盖尔鲍姆这段话的最好 的佐证 张老师不仅专门设置了解剖病理档案 ,让学生改错 、举反例 、再给出证明的改错题,而且敏锐抓住生。证明中存在的问题,乘机提出问题 “这个证明是否存在漏洞”,不失时机地培养学生思维的批判性、深刻性 、严谨性变式教学是对教学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变换 ,以暴露问题的本质,揭示不 同知识点的内在联系的一种教学设计方法变式教学既能给学生以新鲜感 、唤起学生的好奇心和求知欲,又能培养学生思维的广阔性、克服思维狭窄性 、启迪学生的思维、开拓解题思路 ,还能

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