《高等数学》教学大纲.doc

天津滨海职业学院高等数学教学大纲（适用于工科专业）课程类别：公共课课程编号：基础教学部数学教研室编制日期：2006年3月修订日期：2007年3月高等数学课程教学大纲一、 课程性质与设置的总体目的、要求（一）课程的性质与任务高等数学课程是我院工科类各专业教学计划中的一门必修的重要基础课。它是培养学生理性思维和学习能力的重要载体，是为提高学生文化素质和培养高等技术应用型、技能型人才服务的。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分的基本知识和必要的基础理论及常见的运算方法。使学生受到基本数学方法的训练和运用变量数学方法解决简单的实际问题的初步训练。另外，通过教学的各个环节，逐步培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、量化思维能力、自学能力、较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，培养学生的科学精神和科学素养，为学生学习工科类各专业的后继课程和今后工作需要奠定必要的数学基础。（二）课程的目的与要求1使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解。2初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练（三）课程的教学要求层次教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容用“知道、了解、理解”表述；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容用“会、掌握、熟练掌握”表述。二、 教学内容及具体教学目标和要求（一） 教学内容1函数函数的概念：定义域，对应法则，函数值，函数的二要素。函数的表示：解析法（含分段函数与隐函数），图象法与表格法。函数的性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。初等函数类：基本初等函数，反函数，复合函数，初等函数。2极限与连续 数列极限的概念（数列、数列极限的定义及性质），函数极限的概念（函数极限的定义及性质、左右极限及其与极限的关系），无穷大量和无穷小量（定义、性质、关系、无穷小量阶的比较、等价无穷小量在求极限过程中的应用），极限的定理（性质、四则运算法则、常见不定式的求法），两个重要极限。函数连续的概念（函数在一点处连续的定义、左右连续的概念、连续区间的概念，函数的间断点及其类型），连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及简单应用，初等函数的连续性。3、导数与微分导数的概念（导数的定义、左右导数、导数的几何意义及应用、导数的物理意义、可导与连续的关系），基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，求导方法（复合函数求导法、隐函数求导法、对数求导法、由参数方程所确定的函数的求导法），高阶导数的概念（二阶导数的概念及简单计算、含简单函数的n阶导数、隐函数和由参数方程所确定的函数的二阶导数）。微分（微分的定义、微分与导数的关系、微分法则、微分不变性、微分在近似计算中的简单应用）。4一元函数微分学的应用微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）及其简单应用，洛必达法则，函数单调性判别，函数的极值与极值点的概念及其第一、第二判别法，最值与最值点，闭区间上函数的最值及计算，函数凹凸性与拐点的概念及判断，曲线的渐进线的概念、曲线的水平渐进线与垂直渐进线的求法，极值与最值在几何和其它问题中的简单应用，利用函数的性态描绘简单函数的图形。5不定积分不定积分的概念与性质（原函数与不定积分的定义、原函数存在定理、不定积分的性质），基本积分公式，不定积分的积分方法（直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法、简单有理函数的积分），不定积分的简单应用。6定积分定积分的概念（定积分的定义、几何意义、可积条件），定积分性质，定积分计算（变上限定积分的求导和应用、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法、简单的有理函数的积分），无穷区间上的广义积分的概念与计算。7定积分的应用定积分的微元法及其在几何和物理方面的应用（平面图形的面积、旋转体的体积、变力所做的功、液体对平面薄板的侧压力）。8多元函数微分学多元函数：多元函数的概念、二元函数的定义及其几何表示，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质。二元函数偏导数与全微分：偏导数的定义及其计算，高阶偏导数的概念及其计算。二阶混合偏导数可交换求导次序的条件，二元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式。多元函数的极值及其求法（条件极值、无条件极值）及其简单应用。9多元函数积分学二重积分的概念、二重积分的性质、直角坐标系下二重积分的计算。直角坐标系下二重积分交换积分次序。二重积分的微元法极其简单应用（曲面面积、简单曲顶柱体的体积、平面薄板的质量、平面薄板的重心，平面薄板的的转动惯量）。10常微分方程微分方程的概念、常微分方程的概念。常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念。可分离变量的一阶常微分方程及解法、可化为可分离变量的一阶齐次常微分方程及解法。一阶线性微分方程及解法。简单的可降价的高阶微分方程及其解法。二阶常系数齐次线性微分方程解的结构极其解法。（二） 教学目标和要求1 函数理解函数概念（包括分段函数、复合函数、隐函数和初等函数）。掌握函数符号的意义，会求函数的定义域和表达式及函数值（包括分段函数）。掌握函数的主要性质和基本初等函数的解析式、性质及图形。熟练掌握复合函数的复合过程。会建立简单的实际问题的函数模型。了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。2极限与连续理解极限的概念，会求函数在一点处的左右极限，掌握函数在一点处极限存在的充分必要条件。了解极限的性质，理解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），掌握极限的四则运算法则和常用的求极限方法。理解无穷大量、无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质及其与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较，会用等阶无穷小求极限。会用两个重要极限求极限。理解函数在一点连续的概念，理解函数在一点连续的几何意义，掌握判断简单函数（包括分段函数）在一点的连续性。了解间断点的概念，会求函数的间断点及确定其类型。知道闭区间上连续函数的性质，掌握初等函数在其定义域上的连续性，并会用连续性求极限。3导数与微分理解和导数概念及其几何意义，会用定义求函数在一点处的导数。会求曲线上一点处的切线方程与法线方程，知道可导与连续的关系。会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题。熟练掌握导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式。熟练掌握复合函数、隐函数、由参数方程所确定的函数的导数求法，会对数求导法。了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数求法。理解函数的微分概念，掌握微分的四则运算法则，会求函数的一阶微分。了解一阶微分形式不变法了解可导、可微、连续之间的关系。 4一元函数微分学的应用知道三个中值定理的条件及结论，会求 值。熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。掌握用导数判别函数单调性的方法。理解函数极值的概念，掌握求函数极值、最值的方法，并会求简单的最大值和最小值的应用问题。会用二阶导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点，会求曲线的水平渐进线、垂直渐进线，会描绘简单函数的图形。5不定积分理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。熟练掌握不定积分的积分公式。熟练掌握直接积分法、第一换元法、第二换元法（幂代换），分部积分法。会求简单的有理函数的积分，了解第二换元法中的三角代换。6定积分理解定积分的概念及其基本性质。了解定积分的几何意义，了解函数可积的条件。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿 - 菜布尼兹公式熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。理解无穷区间上广义积分的概念，掌握其计算方法。7定积分的应用掌握定积分的微元法。会用定积分的微元法求平面图形的面积。会用定积分的微元法求旋转体的体积。知道用定积分的微元法求变力所做的功的方法。知道用定积分的微元法求液体对平面薄板的侧压力的方法。8多元函数微分学理解多元函数的概念了解二元函数的概念、几何意义，知道二元函数的极限和连续的概念以及在界域上连续函数的性质，会求二元函数的定义域。理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。掌握二元函数的一、二阶偏导数的求法，会求二元函数的全微分。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。掌握隐函数的一阶偏导数的求法。了解多元函数极限值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解多元函数条件极值的概念，了解拉格朗日乘数法求条件极值。会求一些简单的多元函数的最大值和最小值的应用问题。9多元函数积分学理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。会用二重积分解决简单的实际应用题（体积、质量）。10常微分方程了解微分方程和常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念。掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法。理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。知道简单的可降价的高阶微分方程及其解法。会用微分方程解一些简单的实际问题。（三） 课程内容的重点、难点及教学建议1函数重点：函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域难点：分段函数的概念，建立简单的实际问题的函数模型。2 极限与连续重点：极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念。难点：极限的概念，分段函数在分段点的连续性。教学建议：只讲极限的描述性定义，使学生理解无限逼近的思想。直接给出两个重要极限的结论。3导数与微分重点：导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数求法。难点：复合函数、隐函数求导。教学建议：给出导数的确切定义，用定义计算导数可以只就幂函数、多项式函数举例，其它可直接给出公式。通过练习掌握公式。导数四则运算法则及复合函数的求导法则可以不证或证明部分命题。隐函数求导，可作为复合函数求导的应用。微分用定义求。4一元函数微分学的应用重点：用洛必达法则求未定式极限，利用导数判别函数单调性与曲线的凹凸性及拐点，利用导数求函数极值。难点：求简单的最大值和最小值的应用问题。 教学建议：微分中值定理重点讲解罗尔定理、拉格朗日定理，不证明，可作几何解释。函数的单调性，极值的充要条件相关定理和洛必达法则可以不证明。5不定积分重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的计算。难点：不定积分的换元法与分部积分法教学建议：换元积分和分部积分的题目难度要适宜。第二换元法中的三角代换仅讲标准形式。6定积分重点：定积分的概念及性质，变上限的定积分函数及其求导定理，牛顿- 菜布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法。难点：定积分的概念，变上限的定积分函数及其求导定理。教学建议：牛顿-莱布尼茨公式给予证明。7定积分的应用重点：定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积、旋转体的体积。难点：定积分的微元法，利用微元法求变力所做的功、液体对平面薄板的侧压力。8多元函数微分学重点：二元函数的概念，偏导数和全微分的概念及计算，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求偏导数方法。难点：二元函数极限与连续、偏导数存在与全微分之间的关系，复合函数求偏导数，隐函数的偏导数。教学建议：直接给出二元复合函数求偏导数的锁链法则，不证明。9多元函数积分学重点：二重积分的概念，直角坐标系下二重积分的计算方法。难点：直角坐标系下二重积分的计算方法，用二重积分解决简单的实际应用。教学建议：规范直角坐标系下二重积分的主要步骤，关键点。10常微分方程重点：微分方程的通解、特解等概念，可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。难点：用微分方程解一些简单的实际问题。教学建议：讲清微分方程的各种类型特征及各自的求解方法。三、 课时计划及分配建议1本课程的课内学时为114学时，分两个学期开设。第一学期每周4学时，共15个教学周，第二学期每周3学时，共18个教学周。法定的节假日“十.一、元旦、五.一”停课。 2 学时分配序号 教学内容 课内学时 网上辅导学时 学生自学、作业学时 备 注 1 函数 6 12 2 极限与连续 12 22 3 导数与微分 16 21 4一元函数微分学的应用1218 5 不定积分14 24 6 定积分 14 18 7