线段垂直平分线设计.doc

线段垂直平分线的性质教学设计一、教学目标：A、知识目标：（1）掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理； （2）能用尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线。B、能力目标：（1）培养学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力； （2）提高综合运用知识的能力.C、情感目标：（1）经历实验、观察、探究、猜想、证明、应用的数学探究过程；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。二、教学重难点：重点：线段垂直平分线性质定理及逆定理的证明；难点：线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明。三、教学方法：本节课主要采用“实验、观察、探究、猜想、证明与应用”的教学模式，突出合作性学习与探究性学习。四、教学过程：（一）情境引入，感知新知由生活中的实物图片桥梁两旁的拉索引入本节课探究内容。（二） 小组合作，探究新知1、实验与观察：探究：对折纸上的线段AB，在折痕上（折痕就是线段AB的垂直平分线所在直线）任意取点，量一量这些点到点A和点B的距离，你有什么发现？（学生可以采用直尺测量、圆规测距、对折重合等方法探究。学生以小组为单位展示测量方法和测量结果。）学生得到猜想1：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等。进一步探究：请观察另一张纸上的线段，你能找到一个与线段AB两个端点的距离相等的点吗？（如何找这样的点，可以提示学生用圆规或是折纸等方法得到）你还能再找一个吗？你能找到多少个与线段AB两个端点的距离相等的点？这些点在位置上有什么特征呢？你又发现了什么？（学生可以发现满足这个条件“与线段两个端点距离相等”的点越来越多，在一条直线上。对折线段AB，发现这些点就在折痕上，也就是在线段AB的垂直平分线上）学生得到猜想2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（设计意图：学生从实验中感受几何知识，发现规律）2、推理与证明如图，连接PA，PB，如果PA=PB，你能证明点P在线段AB的垂直平分线上吗？想一想，有哪些方法可以证明？（教师先过P点作垂线交AB于点C，再通过三角形全等证明PC是AB的垂直平分线，即证明了P点在AB的垂直平分线上。在投影上演示完整的证明过程。）已知：PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上证明：过点P作PCAB,垂足为C PCAPCB=90 PA=PB，PC=PC APCBPC （HL） CA=CB点P在线段AB的垂直平分线上（学生小组合作交流讨论其他证明方法。学生还可以作APB边AB上的中线所在直线或是APB的平分线所在直线，即过P点作一条直线满足一个条件，再证明这条直线是线段AB的垂直平分线，就证明了点P在线段AB的垂直平分线上，即证明了猜想2成立。）在证明完猜想2后，请同学们自己画图写出已知求证，证明刚才的猜想1。已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证：PAPB.证明： lAB PCA=PCB 又 AC=BC，PC=PC PCAPCB（SAS） PA=PB猜想1成立，得到线段垂直平分线的性质定理。（设计意图：学生经历观察、探究、猜想、证明的完整过程，体会研究几何问题的基本思路。）3、结论与拓广验证完两个定理之后，请同学们用数学符号语言表示这两个定理。线段垂直平分线性质定理：lAB，垂足为C，AC=BC，点P在l上PA=PB线段垂直平分线判定定理：PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上。观察几何画板中的图形，再次验证结论。 （教师展示讲解：几何画板上展示的图形是一些到点A、B两个端点距离相等的点，这些点越来越多，看上去在一条直线上，再构造出线段AB的垂直平分线，发现这些点就在线段AB的垂直平分线上 。） 引导学生从已验证的两个结论看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A，B两点距离相等的所有点的集合。（设计意图：强调几何语言的书写，告诉学生可以直接利用线段垂直平分线的性质证明线段相等，利用逆定理判定线段的垂直平分线。结合图形说明线段垂直平分线是到线段两个端点距离相等的点的集合，同时说明这条线上实际包含了满足条件的所有点，为学生今后进一步学习打基础。）（三）、当堂演练，拓展新知1、判断题：如图1，直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。 （ ) 如图2，PA=PB，点C是线段AB上一点，则PC垂直平分AB。 （ ）（设计意图：判断题1是线段垂直平分线性质应用的简单判定；判断题2，通过PC=PB，运用逆定理只能说明点P在AB的垂直平分线上，不能证明过点P的直线就是AB的垂直平分线。只有点C是AB的中点时，才有PC垂直平分AB，两点确定一条直线，为下一题铺垫。）2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？（设计意图：运用线段的垂直平分线的性质定理的逆定理解决问题，提高学生运用条件推理的能力。学生容易想到用三角形全等来证明，提醒学生利用“线段的垂直平分线的性质定理的逆定理”和“两点确定一条直线”完成此练习的证明。同时也为后面的作图题铺垫。）3、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C。作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于1/2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.（本环节教师引导学生说作法，投影演示画法，教师解释原因。要过点C作垂线，可以考虑过点C作出直线上某条线段的垂直平分线。先利用圆规，确定直线上和点C距离相等的两个点D、E。然后再找一个到D和E距离相等的点F。CF即为DE的垂直平分线，即过直线外一点C作出了已知直线的垂线）（设计意图: 利用线段垂直平分线的性质定理及逆定理尺规作图，用尺规作出已知直线外一点的垂线，增强作图技能。在简单推理的过程中，明确作图的理论依据。）（四）归纳反思，升华新知（一）、本节课你有哪些收获？1、从学习内容总结：探究得到线段垂直平分线的性质定理及逆定理，这两个定理的证明及应用。2、从学习过程总结：经历了“实验、探究、猜想、证明、应用”一个完整的数学探究过程。（二）、能力提升如图，在ABC中,AB=AC，ADBC，垂足为点D，E是AD上一点，FAE=BAC,AE=AF,连接EF、BF、BE、EC。 BE=EC吗？请说明理由。 BF=BE吗？请说明理由。 线段AB垂直平分EF吗？请说明理由。（设计意图:本题是线段垂直平分线的性质定理和逆定理的综合应用，围绕本节课内容设计问题层层递进。 中，证ABDA