复变函数教学大纲.doc

复变函数教学大纲课程名称：复变函数学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：闭卷考试开课对象：1、 教学目的 复变函数是数学专业一门主要的专业必修课，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理、力学、工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学、科研及其他实际工作打好基础。2、 课程内容及学时分配学时分配表章节内容学时数第一章复数与复变函数9第二章解析函数9第三章复变函数的积分12第四章解析函数的基本幂级数表示法12第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点12合计54第1章 复数与复变函数（9学时）主要知识点： 复数域，复平面，复数的各种表示及运算。平面点集，区域与若当曲线。复变函数的极限与连续。复球面，扩充复平面及有关概念。要求：1、 进一步熟悉中学阶段有关复数及其运算的知识；2、 熟悉和掌握有关平面点集的概念以及定义在复平面上的函数及它的极限与连续性的概念；3、 应用复数知识解决初等数学中的有关几何代数问题。第2章 解析函数(9学时)主要知识点： 复变函数的导数与微分，解析函数及有关性质，柯西-黎曼方程。指数函数，三角函数与双曲函数。根式函数，对数函数，一般幂级数与一般指数函数，具有多个有限支点的多值函数，反三角与反双曲线函数。要求：1、 深刻理解解析函数的概念及其特性；2、 掌握判断函数可微与解析的重要条件；3、 研究初等解析和初等多值函数的性质及与实变初等函数的不同处。第3章 复变函数的积分（12学时）主要知识点： 复变函数积分的定义、计算及基本性质。柯西积分定理，不定积分，柯西积分定理的推广。柯西积分公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式与刘维尔定理，摩勒拉定理。调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系。要求：1、 掌握积分定义，性质，将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算；2、 掌握如下重要公式和定理：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的n阶导数公式，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理等；3、 用柯西积分公式及高阶导数公式计算一些常见的复积分。第4章 解析函数的基本幂级数表示法（12学时）主要知识点： 复数项级数，复函数项级数及其一致收敛性，解析函数项级数。幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级数和的解析性。泰勒定理，幂级数的和函数在其收敛圆周上的各种情况，一些初等函数的泰勒展式。解析函数零点的孤立性，唯一性定理，最大模原理。要求：1、 掌握解析函数项级数的维氏定理，泰勒定理，解析函数的零点的孤立性及唯一性定理，最大模原理等；2、 熟练地用各种方法将一些函数展开为泰勒级数。第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点（12学时）主要知识点： 双边幂级数，解析函数的洛朗展式，洛朗级数与泰勒级数的关系，解析函数在孤立奇点领域内的洛朗展式。孤立奇点的三种类型，可去奇点，施瓦茨引理，极点，本质奇点，皮卡定理。解析函数在无穷远点的性质。整函数，亚纯函数。要求：1、 能深刻理解和掌握孤立奇点的三种分类法和相应的三类奇点的性质定理；2、 能用洛朗定理将某些函数在圆环内熟练地展成洛朗级数。3、 教材及教学参考书教材：钟玉泉.复变函数论（第三版）.北京：高等教育出