2014年普通高等学校招生全国统一考试_大纲全国_数学(理).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国理科数学第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014大纲全国，理1)设，则z的共轭复数为()A13i B13iC13i D13i答案：D解析：，选D.2(2014大纲全国，理2)设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN()A(0,4 B0,4)C1,0) D(1,0答案：B解析：Mx|x23x40x|1x4，Nx|0x5，MNx|0x40,4)，选B.3(2014大纲全国，理3)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()Aabc BbcaCcba Dcab答案：C解析：asin 33，bcos 55sin 35，.cba，选C.4(2014大纲全国，理4)若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B C1 D答案：B解析：(ab)a，|a|1，(ab)a0，|a|2ab0，ab1.又(2ab)b，(2ab)b0.2ab|b|20.|b|22.，选B.5(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种 C75种 D150种答案：C解析：从6名男医生中选出2名有种选法，从5名女医生中选出1名有种选法，故共有种选法，选C.6(2014大纲全国，理6)已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为，则C的方程为()A BC D答案：A解析：(ab0)的离心率为，.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B的周长为，.，椭圆方程为，选A.7(2014大纲全国，理7)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1答案：C解析：yxex1，yex1xex1，ky|x1e0e02，选C.8(2014大纲全国，理8)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A B16 C9 D答案：A解析：由图知，R2(4R)22，R2168RR22，选A.9(2014大纲全国，理9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A B C D答案：A解析：双曲线的离心率为2，abc12.又|AF1|4a，|AF2|2a，|F1F2|2c4a，选A.10(2014大纲全国，理10)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3答案：C解析：a42，a55，a4a5a1a8a2a7a3a610，lg a1lg a2lg a8lg a1a2a8lg(a1a8)4lg(a4a5)44lg a4a54lg 104，选C.11(2014大纲全国，理11)已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A B C D答案：B解析：如图，在平面内过C作CEAB，则ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角，不妨取CE1，过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H，连EH，则EHCD.因为ABCE，ABl，所以CEl.又因为EO平面，所以COl.故ECO为二面角l的平面角，所以ECO60.而ACD135，COl，所以OCH45.在RtECO中，COCEcosECO1cos 60.在RtCOH中，CHCOcosOCH.在RtECH中，.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.12(2014大纲全国，理12)函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像关于直线xy0对称，则yf(x)的反函数是()Ayg(x) Byg(x)Cyg(x) Dyg(x)答案：D解析：因为函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像关于直线xy0对称，而函数图像与其反函数的图像关于直线yx对称，所以这两个函数的反函数图像也关于直线xy0对称设函数yf(x)的反函数图像上任一点P(x，y)，则其关于直线xy0的对称点Q(y，x)在函数yg(x)的反函数的图像上，又Q(y，x)关于直线yx的对称点M(x，y)在函数yg(x)的图像上所以，yg(x)，即yg(x)故函数yf(x)的反函数为yg(x)故选D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2014大纲全国，理13)的展开式中x2y2的系数为_(用数字作答)答案：70解析：设的第r1项中含有x2y2，则，因此，即r4.故x2y2的系数为.14(2014大纲全国，理14)设x，y满足约束条件则zx4y的最大值为_答案：5解析：画出x，y的可行域如图阴影区域由zx4y，得.先画出直线，再平移直线，当经过点B(1,1)时，zx4y取得最大值为5.15(2014大纲全国，理15)直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_答案：解析：如图所示，设l1与圆O：x2y22相切于点B，l2与圆O：x2y22相切于点C，则，.16(2014大纲全国，理16)若函数f(x)cos 2xasin x在区间是减函数，则a的取值范围是_答案：(，2解析：f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x.令tsin x，x，g(t)12t2at2t2at1，由题意知，a2，a的取值范围为(，2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)(2014大纲全国，理17)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos C2ccos A，求B.分析：通过3acos C2ccos A，借助于正弦定理把a，c转化成关于A，C的三角函数值，由已知，从而求出tan C，再利用公式tan Btan(AC)求出B.解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A.故3tan Acos C2sin C，因为，所以cos C2sin C，.所以tan Btan180(AC)tan(AC)1，即B135.18(本小题满分12分)(2014大纲全国，理18)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Tn.分析：(1)通过条件分析，a2为整数，且SnS4，得到a50，a40，把a4，a5用公差d和a1表示，得到公差的取值范围，从而确定公差，进而求出an的通项公式(2)将(1)的结果代入，整理变形后利用裂项求前n项和Tn.解：(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数，又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2).于是Tnb1b2bn.19(本小题满分12分)(2014大纲全国，理19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小分析：(方法一)(逻辑推理)(1)由ACCC12，知侧面AA1C1C为菱形，借助于三垂线定理即可证得AC1A1B.(2)先作出二面角A1ABC的平面角A1FD，通过线面垂直关系得A1DF为直角三角形把A1FD放入RtA1FD中通过解直角三角形的有关知识求出A1FD.(方法二)(坐标法)(1)以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长建立空间直角坐标系设A1(a,0，c)，a2，写出，的坐标表示，利用证明AC1A1B.(2)先根据已知条件求出a，c，再求出面ABA1的法向量n和面ABC的法向量p，利用公式求解解法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，所以BC平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，.因为A1C为ACC1的平分线，故.作DFAB，F为垂足，连结A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1ABC的平面角由得D为AC中点，.所以二面角A1ABC的大小为.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a,0，c)，由题设有a2，A(2,0,0)，B(0，1,0)，则，由得，即a24ac20. 于是，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则，即，.因，故y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，m(c,0,2a)，点A到平面BCC1B1的距离为.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以.代入解得a3(舍去)或a1.于是设平面ABA1的法向量n(p，q，r)，则，即，且2pq0.令，则，r1，又p(0,0,1)为平面ABC的法向量，故.所以二面角A1ABC的大小为arccos.20(本小题满分12分)(2014大纲全国，理20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望分析：(1)设出事件的字母表示，用所设字母表示所求事件，利用事件的相互独立性求出所求问题的概率(2)明确随机变量的取值：X0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件，利用事件的相互独立性求出每个随机变量取相应值的概率，较复杂的概率可用分布列的性质去求利用数学期望公式求得X的数学期望解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1).P(B)0.6，P(C)0.4，i0,1,2，所以0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为(10.6)0.52(10.4)0.06，0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，数学期望EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.21(本小题满分12分)(2014大纲全国，理21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程分析：(1)设出Q点坐标，利用列出关于p的方程，借助于p的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l与x轴不垂直因直线l过F(1,0)，可设l的方程为xmy1(m0)直线l与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1y2，y1y2关于m的表达式，借助弦长公式得(其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，同理可得(其中M(x3，y3)，N(x4，y4)由题目中的A，M，B，N四点在同一圆上得到关于m的方程，进而求出m，得到直线l的方程解：(1)设Q(x0,4)，代入y22px得.所以，.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，又l的斜率为m，所以l的方程为.将上式代入y24x，并整理得.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则，y3y44(2m23)故MN的中点为，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于，从而，即，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.22(本小题满分12分)(2014大纲全国，理22)函数(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：.思路分析：(1)通过观察f(x)及要求的结论，先求出f(x)的定义域，借助于导数这一工具讨论f(x)的单调性由于0与a22a的大小关系不确定，因而要分类讨论再借助于导函数讨论f(x)的单调性(2)借助第(1)问的结论，利用赋值法得到.由于问题是关于n的证明问题，想到利用数学归纳法证明，注意当nk1时，要利用nk的结论及.(1)解：f(x)的定义域为(1，)，.当1a2时，若x(1，a22a)，则f(x)0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(a22a,0)是减函数；若x(0，)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0